2017-2018学年北京市通州区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝（）
A．{1，2，3，4，5}B．{3}C．{5}D．∅
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝cos x D．f（x）＝（）|x| 3．（5分）曲线y＝x2与y＝2x公共点的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）
A．﹣B．﹣C．D．
5．（5分）lgx＞lgy”是“＞”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
7．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，则f（），f（﹣1），f（﹣）的大小关系为（）A．f（）＞f（﹣1）＞f（）B．f（﹣1）＞f（﹣）＞f（）
C．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣）D．f（）＞f（﹣）＞f（﹣1）8．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
9．（5分）函数f（x）＝的定义域是．
10．（5分）的值是．
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝．
12．（5分）已知，tan α＝2，则cosα＝．
13．（5分）已知函数f（x）＝cos x，对于[﹣]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2，其中能使f（x1）＜f（x2）恒成立的条件的序号是．14．（5分）已知函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2有且只有一个零点，则a＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
15．（13分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求f[f（2）]的值；
（Ⅱ）求f（a2+1）（a∈R）的值；
（Ⅲ）当﹣4≤x≤3时，求函数f（x）的值域．
16．（13分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣sin2x+cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及取得最小值时所对应的x的值；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．
17．（13分）已知△ABC的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝．
（Ⅰ）若b＝4，求sin A的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝4，求b，c的值．
18．（13分）已知函数f（x）＝log2（4x+1）．
（Ⅰ）求f（1）﹣f（﹣1）的值；
（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+kx（k∈R），当k为何值时，g（x）是偶函数？
19．（14分）已知函数f（x）＝（x∈R）是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性（不用证明）；
（Ⅲ）若关于x的不等式f（﹣2x2+1）+f（x2﹣tx）≤0在x∈（1，2）恒成立，求t的最大值．
20．（14分）已知函数f（x）＝e x sin x．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若x∈[0，]，f（x）≥ax，求实数a的取值范围．
2017-2018学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝（）
A．{1，2，3，4，5}B．{3}C．{5}D．∅
【解答】解：A∩B＝{3}．
故选：B．
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝cos x D．f（x）＝（）|x|【解答】解：由于函数f（x）＝是奇函数，故排除A；
由于f（x）＝x2是偶函数，但在（0，+∞）上单调递增，故排除B；
由于函数f（x）＝cos x是偶函数，但不满足在（0，+∞）上单调递减，故排除C；
由于y＝是偶函数，且又在（0，+∞）上单调递减，故D满足条件，
故选：D．
3．（5分）曲线y＝x2与y＝2x公共点的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：y＝x2与y＝2x公共点的个数
即为方程x2﹣2x＝0的解的个数，
显然x＝2，x＝4为方程的解，
当x＜0时，由y＝x2﹣2x的导数y′＝2x﹣2x ln2＜0，
可得函数y在x＜0递减，且x＝﹣1时，y＝1﹣＞0，
x＝﹣时，y＝﹣＜0，可得函数y在x＜0只有一个零点，
由y＝x2和y＝2x的图象可得它们均为递增函数，可得：
它们在x＞0只有两个零点2，4，
则曲线y＝x2与y＝2x公共点的个数是3，
故选：C．
4．（5分）已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）
A．﹣B．﹣C．D．
【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，
∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α＝，
∴sin2α＝﹣，
故选：A．
5．（5分）lgx＞lgy”是“＞”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵lgx＞lg y，
∴x＞y．
∴＞
∴lgx＞lg y”是“＞”的充分条件．
反之不成立．
故选：A．
6．（5分）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图
象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x+）＝cos（2x+）＝sin（2x+）的图象，即曲线C2，
故选：D．
7．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，则f（），f（﹣1），f（﹣）的大小关系为（）A．f（）＞f（﹣1）＞f（）B．f（﹣1）＞f（﹣）＞f（）C．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣）D．f（）＞f（﹣）＞f（﹣1）
【解答】解：因为f（x）＝x sin x是偶函数，f（﹣1）＝f（1），f（﹣）＝f（），
又x∈[0，]时，
得f′（x）＝sin x+x cos x＞0，所以此时函数是增函数，
而＜1＜，
故f（）＜f（﹣1）＜f（﹣），
故选：A．
8．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x＝﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，
函数f（x）在区间[0，1]上单调，
此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，
函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，
且f（0）＞f（1），
此时M﹣m＝f（0）﹣f（﹣）＝，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，
函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M﹣m＝f（1）﹣f（﹣）＝1+a+，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
9．（5分）函数f（x）＝的定义域是[0，+∞）．
【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，
解不等式可得x≥0
所以函数的定义域是[0，+∞）
故答案为：[0，+∞）
10．（5分）的值是1．
【解答】解：原式＝＝﹣1，
故答案为：1
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝12．
【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，
∴f（﹣2）＝﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）＝12，
故答案为：12
12．（5分）已知，tan α＝2，则cosα＝．
【解答】解：∵已知，∴sinα＞0，cosα＞0，
∵tan α＝2＝，sin2α+cos2α＝1，则cosα＝，
故答案为：．
13．（5分）已知函数f（x）＝cos x，对于[﹣]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2，其中能使f（x1）＜f（x2）恒成立的条件的序号是②．【解答】解：函数f（x）＝cos x，
∵[﹣]上的任意x1，x2，
∴f（x）在[﹣，0]递增，在[0，]递增．
∴f（x）＝cos x的值域范围是[0，1]．
∴对任意x1，x2，f（x1）＜f（x2）恒成立的条件：对于①x1＞x2；显然不成立；
对于：②x12＞x22＞0，单调递减，f（x1）＜f（x2）成立；
对于：③|x1|＞x2，若＞x1＞，0＞x2＞，结合余弦函数的性质，显然不成立．故答案为：②．
14．（5分）已知函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2有且只有一个零点，则a＝1．
【解答】解：根据题意，对于函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2，
有f（﹣x）＝（﹣x）2+a（e﹣x+e x）﹣2＝f（x），则函数f（x）为偶函数，
若函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2有且只有一个零点，则有f（0）＝2a﹣2＝0，解可得a ＝1，
当a＝1时，f（x）＝x2+（e x+e﹣x）﹣2，
当x≥0时，f′（x）＝2x+（e x﹣e﹣x）≥0，函数f（x）在[0，+∞）为增函数，在函数f（x）在[0，+∞）上只有1个零点，即x＝0；
又由函数f（x）为偶函数，则函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2有且只有一个零点，符合题意；
故a＝1；
故答案为：1．
三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15．（13分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求f[f（2）]的值；
（Ⅱ）求f（a2+1）（a∈R）的值；
（Ⅲ）当﹣4≤x≤3时，求函数f（x）的值域．
【解答】解：函数f（x）＝，
（Ⅰ）f[f（2）]＝f（4﹣4）＝f（0）＝2；
（Ⅱ）f（a2+1）＝4﹣（a2+1）2＝﹣a4﹣2a2+3；
（Ⅲ）当﹣4≤x＜0时，f（x）＝1﹣2x递减，可得f（x）∈（1，9]；
当x＝0时，f（x）＝2；
当0＜x≤3时，f（x）＝4﹣x2递减，可得f（x）∈[﹣5，4）．
综上可得f（x）的值域为[﹣5，9]．
16．（13分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣sin2x+cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及取得最小值时所对应的x的值；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣sin2x+cos2x＝，∴函数f（x）的最小正周期T＝；
（Ⅱ）当2x+，即x＝k，k∈Z时，
函数f（x）取得最小值﹣2；
（Ⅲ）当2k，
即k，k∈Z时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
17．（13分）已知△ABC的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝．
（Ⅰ）若b＝4，求sin A的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝4，求b，c的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵cos B＝，
∴sin B＝＝，
由正弦定理，得sin A＝＝＝；
（Ⅱ）∵a＝2，sin B＝，S△ABC＝4＝ac sin B＝，
∴解得：c＝5，
又∵cos B＝．
∴b＝＝＝．
18．（13分）已知函数f（x）＝log2（4x+1）．
（Ⅰ）求f（1）﹣f（﹣1）的值；
（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+kx（k∈R），当k为何值时，g（x）是偶函数？
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝log2（4x+1），
则f（1）﹣f（﹣1）＝log25﹣log2＝log24＝2，
（Ⅱ）根据题意，函数g（x）＝f（x）+kx＝log2（4x+1）+kx，
其定义域为R，
若函数g（x）为偶函数，则g（﹣x）＝g（x），
即log2（4x+1）+kx＝log2（4﹣x+1）﹣kx，
变形可得2kx＝log2（4﹣x+1）﹣log2（4x+1），
解可得k＝﹣1，
此时g（x）＝log2（4x+1）﹣x，为偶函数．
故k＝﹣1．
19．（14分）已知函数f（x）＝（x∈R）是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性（不用证明）；
（Ⅲ）若关于x的不等式f（﹣2x2+1）+f（x2﹣tx）≤0在x∈（1，2）恒成立，求t的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意：函数f（x）＝（x∈R）是奇函数．
∴f（0）＝0．即﹣+＝0，∴a＝1．
（Ⅱ）函数f（x）＝（x∈R）是R上的单调递增函数；（Ⅲ）f（﹣2x2+1）+f（x2﹣tx）≤0等价于f（﹣2x2+1）≤f（﹣x2+tx）．∵函数f（x）是R上的单调递增函数，∴﹣2x2+1≤﹣x2+tx．．
即tx≤﹣x2+1，∴t
∵g（x）＝﹣x+在（1，2）单调递减，
∴，∴t的最大值为﹣．
20．（14分）已知函数f（x）＝e x sin x．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若x∈[0，]，f（x）≥ax，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝e x sin x，
∴f′（x）＝e x（sin x+cos x），x∈R，
故f′（0）＝1，
又f（0）＝0，
故曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程是y＝x；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，则g（x）≥0在[0，]恒成立，
由（Ⅰ）知，g′（x）＝f′（x）﹣a＝e x（sin x+cos x）﹣a，
令h（x）＝f′（x），
则h′（x）＝2e x cos x，
∵当x∈[0，]时，cos x≥0，
∴当x∈[0，]时，h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，]递增，即f′（x）在[0，]递增，
故g′（x）在[0，]递增，
∵f′（0）＝1，f′（）＝，
∴1≤f′（x）≤，
当a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，]递增，
故g（x）≥g（0）＝0，不合题意，
当1＜a＜时，由于g′（0）＝1﹣a＜0，g′（）＝﹣a＞0，∴∃x0∈（0，），使得g′（x0）＝0，
故在x∈[0，x0]时，g′（x）≤0，g（x）在[0，x0]递减，
故g（x0）＜g（0）＝0，不合题意，
综上，a∈（﹣∞，1]．。