吉林省延吉市延边第二中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

吉林省延吉市延边第二中学2023-2024学年高一下学期5月期
中考试数学试题
一、单选题
1．()()32i 22i +-=（ ）
A ．102i -+
B ．102i --
C ．102i +
D ．102i -
2．下列各式中不能．．
化简为PQ u u u r
的是（ ） A ．()
AB PA BQ ++u u u r u u u r u u u r
B ．PA AB BQ +-u u u r u u u r u u u r
C ．QC QP CQ -+u u u r u u u r u u u r
D ．()()
AB PC BA QC ++-u u u r u u u r u u u r u u u r
3．已知1e u r ，2e u
u r 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A ．0a =r r ，12b e e =+u
r u u r r B ．1233a e e =+r u r u u r ，12b e e =+u
r u u r r
C ．122a e e =-r u r u r ，12b e e =+r u
r u u r
D ．122a e e =-r u r u r ，1224b e e =-r
u r u u r
4．在水流速度10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ） A ．北偏西30︒，20km/h
B ．北偏西60︒，
C ．北偏东30︒，
D ．北偏东60︒，20km/h
5．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知π3
A =，a =1b =，则c 等于（ ）
A
．1
B ．2
C 1
D 6．在ABC V 中，2
π,3
ABC D ∠=在边AC 上，且BD 平分ABC ∠，若24AD CD ==，则BD 的长为（ ）
A B C D
7．在ABC V 中，若
1AB =u u u r
，
AC =u u u r AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ，则||
AB BC
BC ⋅u u u r u u u r
u u u r ＝（ ）
A ．
B ．12
-
C ．12
D 8．如图所示，已知点G 是ABC V 的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，
且AM xAB =uuu r uu u r ，AN yAC =uuu
r uuu r ，则2x y +的最小值为（ ）
A B ．3 C ．4 D ．2
二、多选题
9．已知平面向量()()2,1,4,8a b =-=r r
， 则（ ） A ．//a b
r r B ．a b
⊥r r C ．()()
75a b a b +⋅-=-r r
r r
D ．()6,7a b -=--r
r
10．若复数z 满足()1i 15i z -+⋅=+（i 是虚数单位），则下列说法错误的是（ ）
A ．z 的虚部为3i -
B ．z
C ．z 的共轭复数为32i -
D ．z 在复平面内对应点在第一象限
11．下列命题错误的是（ ）
A ．若向量a r 与b r 满足()
22a b b -⋅=r r r ，且2b =r ，则a r 在b r 方向上的投影向量的模为5
2
B ．在AB
C V 中，若O 点满足0OA OB OC ++=r
u u u r u u u r u u u r ，则O 点是ABC V 的重心
C ．已知向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=r r r ．若向量a kc +r r 与向量2b c -r r 共线，则实数k 的值为7
6
D ．平面向量()3,4a =r ，()2,1b =-r .若a r
与a b λ+r r 夹角为锐角，则实数λ的取值范围
()25,00,
2⎛⎫
-∞⋃ ⎪⎝⎭
. 12．下列说法正确的是（ ）
A ．已知ABC V 的内角A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c =，π3
A =，且BE 为边
AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD BE ⋅u u u r u u u r
的值为6-
B ．在AB
C V 中，
D 为ABC V 所在平面内一点，且1132
+=u u u r u u r u u r u u AD AB AC ，则
1
6BCD ABD S S =△△ C ．已知在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin sin sin()A B C B -=-．若ABC V
的面积2
S =
，则c b
． D ．在ABC V 中，,,a b c 分别是ABC V 的内角,,A B C 所对的边，且sin sin sin sin b a c
A C
B
C -=+-.若1sin sin 4
B C =，2bc =，则a
三、填空题
13．已知复数z
满足1z ≤≤z 在复平面内对应点的集合所构成的图形面积为 14．若满足条件60A =︒，a x =，2b =的ABC V 有两个，则x 的取值范围是. 15．如图平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=o ，平面上任一点P 的斜坐标定义为：若
12OP xe ye =+u u u r u r u u r （21,e e u r u u r
为与x 轴、y 轴同方向单位向量），则点P 的斜坐标为(),x y .若在该斜坐标系中，()()1,2,,4OA OB a ==u u u r u u u r ， //OA OB u u u r u u u r
，则||OB u u u r 为
16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
sin sin sin sin sin c b a a
A B C A B
-=+++
．若
AC =D 是边AC
的中点，且BD ABC V 的内切圆的半径为．
四、解答题
17．已知i 是虚数单位，复数()()22
232i z m m m m -+-=-+，m 为实数．
(1)当实数m 满足什么条件时，z 为纯虚数
(2)若复数z 在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数z
18．已知向量,a b r r 的夹角为60o ，且||2,||1a b ==r r ，若2,2,c a b d a b =-=+r r r r r r
求：
(1)c d ⋅r u r
；
(2)2c d +r r
.
19．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin c C b B
c a A A
⋅⋅+=-. (1)求B ；
(2)若b =ABC V 面积的最大值
20．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为,2S S AC ⋅u u r u u u r
.
(1)求A ；
(2)若ABC V 的周长为20，面积为a .
21．海岸上建有相距C ，D ，某一时刻接到海上B 船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A 船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为
45304575BCA ACD BDC ADB αβγδ=∠=︒=∠=︒=∠=︒=∠=︒，，，.
(1)救援出发时，A 船距离雷达站C 距离为多少？
(2)求A B ，之间的距离，并判断若A 船以30海里每小时的速度前往B 处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？
22．在圆内接四边形ABCD 中，已知2AB =，3AD =，AC 平分BAD ∠．
(1)若2BC =，求BD 的长度；
(2)求AC BD ⋅u u u r u u u r
的值．。