2.2.2椭圆的简单几何性质 课件(人教A版选修2-1)

设P(x,y)为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)上任一点, 则
| PO |
x2 y2
x2
b2 a2
(a2
x2 )
c2x2 a2b2 ,
a
∵-a≤x≤a,∴当x=0时,|PO|有最小值b,这时P在短轴端点处;当
x=±a时,|PO|有最大值a,这时P在长轴端点处,这一性质在
实际解题中会经常用到.如椭圆
C.有相同的焦点 D.有相等的焦距
解析:当0<k<9时,(25-k)-(9-k)=25-9=16=c2,∴c=4,而焦点一个 在x轴上,一个在y轴上,∴两椭圆的焦点不同,因此,有相同的 焦距,故选D.
答案:D
3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 则椭圆的离心率等于( )
A. 1 B. 3 C. 1
1, ①
x22 y22 1, ②① ②得 43
(x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0,
4
3
y1 y2 3 x1 x2 .又M(1,1)为AB的中点, x1 x2 4 y1 y2
x1
14e 5 0.
e 1 或e 5 (舍去).
2
4
规律技巧:求椭圆离心率的一般方法是:求出a,c的值或找出a 与c的关系式,解方程求出离心率e.(注意应用条件 a2=b2+c2).
变式训练3:椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此 椭圆的离心率是( )
A. 1 B. 3 C. 3
D. 1
点对称. (2)椭圆具备上述①､②､③条,因此椭圆关于､x\,y轴和坐标原
点对称.
2.椭圆性质的分类
椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系无关的本身的 固有性质,如长轴长､短轴长､焦距､离心率;一类是与坐标系 有关的性质,如顶点､焦点､中心坐标､x,y的范围.
3.椭圆顶点的性质
椭圆上离中心最近点是短轴的端点,最远点是长轴的端点.证 明如下:
a,b,c,e 的关系
(±c,0) (0,±c) 2c
关于x轴,y轴和原点对称
0<e<1 a2 b2 c2e c
a
名 师 讲 解 (学生用书P36)
1.椭圆的对称性 (1)判断曲线关于x轴､y轴､原点对称的依据 ①若把方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称; ②若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称; ③若把方程中的x\,y同时换成-x\,-y,方程不变,则曲线关于原
答案 : 长轴长2a 1 ,短轴长2b 2 ,离心率e c 3 ,
2
5
a5
焦点坐标F1
(
3 20
,
0),
F2
(
3 20
,
0),
顶点坐标
1
1
1
1
A1( 4 , 0), A2 ( 4 , 0), B1(0, 5), B2 (0, 5).
题型二 利用椭圆的性质求标准方程
例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程.
解析:如图,切线PA､PB互相垂直,又半径OA垂直于PA,所以
△OAP为等腰直角三角形.∴
∴ e c 2. a2
a2 2a c
8.椭圆
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)的两焦点为
F1 0, c,F2 0,cc 0,离心率e
3, 2
焦点到椭圆上点的最短距离为2 3,求椭圆的方程.
解 : 椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短,
解 : 如下图,过点F1作F1P AB,交AB于点
P,| AB |
a2 b2 ,| AF1| a c,| F1P |
b, 7
由 AF1B的面积公式得 a2 b2
b (a c) b. 7
又 b2 a2 c2 ,整理得8c2 14ac 5a2 0.
8
c2 a2
14
c a
5 0,即8e2
∴c=3. 故椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=8,离心率
e c 3, a5
焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),顶点坐标为A1(0,-5),A2(0,5),B1(-
4,0),B2(4,0).
规律技巧:已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标 准形式,找准a和b,正确写出其性质.
变式训练1:已知椭圆16x2+25y2=1,求它的长轴长､短轴长､离 心率､焦点坐标和顶点坐标.
3
3
2
答案:D
D. 3 2
解析 : 依题意2a 4b,即a 2b,又a2 b2 c2 ,
a2 1 a2 c2 ,即 3 a2 c2 , c2 3 ,
4
4
a2 4
e c 3 . a2
4.若椭圆 x2 y2 1的离心率为1 ,
16 m
3
则m的值为( )
A.128 9
B.128 或18 C.18 9
a c 2 3,又e c 3 , a2
a 2,c 3,b2 1, 椭圆的方程为 y2 x2 1.
4
能力提升
9.直线l过点M(1,1),与椭圆
x2 y2 1 43
若AB的中点为M,求直线l的方程.
相交于A､B两点,
解
:
设A(x1
,
y1
),
B(x2
,
y
2
),
则
x12 4
y12 3
得x1
x2
2m 5
,
x1x2
1 5
(m2
1).所以
d (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2 )2 2[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
2[ 4m 4 (m2 1)] 2 10 8m2 ,
225 5
5
所以当m 0时,d最大,此时直线方程为y x.
规律技巧:(1)直线与椭圆有公共点的问题常转化为对应方程 联立方程组的解的问题,进而转化为一元二次方程有根来 解决;
准方程为 x2 y2 1. 94
(2)由已知得 2a 20, e c 3 . a5
∴a=10,c=6,b2=a2-c2=64.
由于椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以椭圆的标
准方程为
x2 y2 1 100 64
或
y2 x2 1. 100 64
(3)
e
c a
, a
c e
8 2
3
解 :因为椭圆的长轴长为6,cosOFA 2 , 3
所以点A不是长轴的端点, 而是短轴的端点,
所以 OF c, AF a 3,所以 c 2 ,c 2. 33
b2 a2 c2 9 4 5,故椭圆的方程为
x2 y2 1或 x2 y2 1.
95
59
题型三 求椭圆的离心率
在y轴上
图形
标准方程 范围
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
|x|≤a,|y|≤b
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
|x|≤b,|y|≤a
顶点 轴长
(±a,0),(0,±b)
(±b,0),(0,±a)
长轴长=___2_a____,短轴长=___2_b____
焦点 焦距 对称性 离心率
例3:椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
的0) 左焦点为F1(-c,0),A(-a,0)､
B(0,b)是椭圆的两个顶点1 ,如果点F1到直线AB的距离为
b, 7
则椭圆的离心率e=_____2 ___.
分析:要求e的值就要求出a､c的值,或a与c的关系,为此需利用
F1到直线AB的距离为
b 7
建立方程,从而求解.
直线方程.
解:
(1)由
4
x2
y2
1,得5x2
2mx
m2
1
0.
y x m,
因为直线与椭圆有公共点,所以 4m2 20(m2 1) 0,
解得 5 m 5 .
2
2
(2)设直线与椭圆交于A(x1, y1), B(x2, y2 ), 由(1)知, 5x2 2mx m2 1 0,由韦达定理,
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
上的点到焦点的最大值为a+c,最小值为a-c.
典 例 剖 析 (学生用书P36)
题型一 已知椭圆的方程求几何性质 例1:求椭圆25x2+16y2=400的长轴和短轴的长､离心率､焦点
坐标和顶点坐标.
解:将方程变形为
y2 x2 1
,得a=5,b=4,
25 16
解析 : 把y x 1代入x2 2y2 4得, x2 2(x2 2x 1) 4,
即3x2 4x 2 0.设直线与椭圆的两个交点为
A(x1, y1), B(x2 , y2 ),则x1
x2
4 3
,
y1
y2
( x1
x2 )
2
4 3
2
2 3
.
x1 x2 2 , y1 y2 1 .
答案:B
D.128 或6 3
解析 :当焦点在x轴上时,a2 16,b2 m,
c2 a2 b2 16 m,
e2
c2 a2
16 m 16
1 3
2
,
m 128 ,当焦点在y轴上时,同理可求得m 18. 9
综上知m的值为128 或18. 9
5.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是 _(__23_,_13_) __.
2a
2R
r1
r2
,
2c
r2
r1 , e
c a
r2 r1 2R r1
r2
.
7.(2008·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆
半ax径22 作 圆by22M,若1 过点(Pa>( ab2>,00))的所焦作距圆为M2的c两.以条点切O线为互圆相心垂,a为直.
c2 则该椭圆的离心率为__ a2 c2 122 82 80,
所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1或 144 80
y2 x2 1. 144 80
规律技巧:由椭圆的几何性质,求椭圆标准方程的一般步骤是: ①求出a,b的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程.
变式训练2:已知椭圆的对称轴为坐标轴,O为坐标原点,F是一 个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长为6,且cos∠OFA 2 , 求椭圆的方程.
(2)涉及椭圆的最值问题建立函数模型是关键.
变式训练4:已知斜率为1的直线l过椭圆 x2 y2 1 的右焦点
F,交椭圆于A,B两点,求|AB|.
4
解
:
设A(x1
,
y1
),
B(x2
,
y
2
),由
x2 4
y2
1,知F (
3, 0).
直线l的方程为y x
x2 3,由 4
y2
1,
y x 3,
2.2.2 椭圆的简单几何性质
自 学 导 引 (学生用书P36) 1.掌握椭圆的几何图形及其简单性质. 2.熟悉基本量a､b､c､e的几何意义及它们之间的关系.
课 前 热 身 (学生用书P36)
完成下表: 名称
椭圆
几何条件 到两个定点的距离和等于常数(该常数大于两定 点的距离)
焦点位置 在x轴上
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);
(2)长轴长为20,离心率等于
(3)已知 c 8, e 2 .
3; 5
3
分析:根据椭圆的几何性质,正确运用a､b､c､e四个参数之间 的相互关系,确定椭圆的标准方程.
解:(1)由椭圆的性质知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的 交点就是椭圆的顶点,所以P和Q分别是椭圆的长轴和短轴 的一个端点,于是有a=3,b=2,又长轴在x轴上,所求椭圆的标
答案:C
x2 y2 1 的焦距是2,则m的值为( )
m4
B.8
D.8或5
解析:当焦点在x轴上时,m=4+1=5;当焦点在y轴上 时,4=m+1,∴m=3,综上知,m=5或3.
2.椭圆 x2 y2 1 与
x2
y2
1(0 k 9)
25 9
9 k 25 k
的关系为( )
A.有相等的长轴 B.有相等的短轴
5
4
3
2
答案:D
解析:如图,△AF1F2为等边三角形,由椭圆的对称性 知,∠F2AO=30°,且
|
F2O
c,
OA
|
b,tan30
c b
3, 3
b
3c.又a2
b2
c2
4c
2
,
c2 a2
1, 4
e2 1 即e 1 .
4
2
题型四 直线和椭圆的位置关系 例4:已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 分析:(1)转化为关于x的一元二次方程有解来解决; (2)将弦长表示为m的函数,求出当弦长最大时的m值,再确定
2
32 3
因此得弦AB中点的坐标为
2 3
,
1 3
.
6.人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地 球半径为R,卫星近地点､远地点离r2地 r面1 的距离分别为r1､r2, 则卫星远行轨道的离心率是___2_R__r1__r_2 _.
解析
:由题意得
a
a
c c
r2 r1
R, R,
得5x2 8
3x
8
0, x1
x2
83 5
, x1
x2
8 5
,
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2 )2 2[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
2[
8 35
2
32 ] 5
8 5
.
技 能 演 练 (学生用书P38)
基础强化
1.椭圆 A.5 C.5或3