常德市一中2021届高三年级第一次月考答案

常德市一中2021届高三年级第一次月考
数 学 试 题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、已知2
2
cos -=α，则()=-︒α270sin （ B ） A 、22- B 、22 C 、23
D 、23-
2、已知集合{}{}01,2,1=+==mx x B A ，若A B A = ，则=m （ D ）
A 、21,1-
- B 、21,1 C 、2,0,1 D 、2
1,0,1-- 3、给出下列命题：①命题“正五边形都相似”的否命题是真命题；②x x x
3
1log 21,31,0<⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀；③函数()x x x f -+-=
11既是奇函数也是偶函数；④01sin 2sin ,0020=-+∈∃x x R x 使．其
中正确命题的个数是（ C ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
4、函数()3
5
+-+=
a x x x f 在()+∞,1上是减函数，则实数a 的范围是（ C ）
A 、()∞+-，
2 B 、()4,2- C 、(]4,2- D 、[)∞+，4 5、已知0>>b a ，则下列不等式中总成立的是（ A ）
A 、a b b a 11+>+
B 、b b a a 11+>+
C 、11++>a b a b
D 、a
a b b 1
1->-
6、设211,521=-==⎪⎭
⎫
⎝⎛b a m b a
且，则=m （ D ）
A 、10
1
B 、10
C 、10
D 、1010
7、已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-23,21,21,2B A ，则与向量AB 同方向的单位向量为（ C ）
A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53
B 、⎪⎭
⎫
⎝⎛-53,54 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54
8、函数()()1,023log 2≠>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a x x x f a 在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21内恒有()0>x f ，则()x f 的单调递增
区间为（ A ）
A 、()+∞,0
B 、()+∞,2
C 、()+∞,1
D 、⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21 9、在等比数列{}n a 中，4,3133115=+=a a a a ，则
=2
12
a a （ C ） A 、3 B 、31- C 、3或31 D 、3-或31
-
10、方程[]9,5,2
1
2sin -∈-=x x x π的所有实根之和为（ B ）
A 、0
B 、12
C 、8
D 、10
11、设210x x <<，()为自然对数的底e x x e
p x x 2
12log )22(21--=，则（ A ）
A 、21
22
x x p << B 、12x p ≤ C 、22x p > D 、的大小关系不确定与2122x x ，p
12、在ABC ∆中，1,3
1
32,cos 2cos cos =+==+AM AC AB AM A a C b B c ，其中c b a ,,为角
C B A ,,的对边，则c b 2+的最大值为（ C ）
A 、3
B 、3
C 、32
D 、6 二、填空题（每小题5分，共20分）
13、若y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≥+-030
5y x x y x ，则y x z 42+=的最小值为 6-
14、已知()x x f y +=是偶函数，且()12=f ，则()=-2f 5 15、已知α为第三象限角，532cos -
=α，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ24tan 71- 16、已知5
4
58<，4
5
138<，设8log ,5log ,3log 1385===c b a ，则c b a ,,的大小关系为a b c >> 三、解答题（共70分）
17、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()2,11,111≥∈-+=-=+-n N n n n nS S n a n n ．（1）求证：数列⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧n S n 为等差数列；（2）记数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，求n T 解：（1）由()()n n nS S n n n 111-+=--得
()2111≥=---n n S n S n n ，∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列。

（2）由（1）得()212,2
≥-=∴=n n a n S n n ，又()+∈-=∴=N n n a a n 12,11
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-=∴
+121121*********n n n n a a n n ，
1
2+=
∴n n
T n
18、已知命题p ：关于x 的方程022
2
=-+a ax x 在[]1,1-上有两不等实根；命题q ：存在实数0x 满
足不等式022020
≤++a ax x ．若 “p 或q ”是真命题，“p ∧q ”假命题，求a 的取值范围．
解：设()2
2
2a ax x x f -+=，则方程022
2=-+a ax x 在[]1,1-上有两不等实根等价于
()()11,0
90210
211412
22≤≤-∴⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧
>=∆≥-+=≥--=-≤-≤-a a a a f a a f a ，且0≠a ∴p 真[]1,1-∈⇔a ，且0≠a 不等式0222≤++a ax x 有解20842
≥⇔≥-=∆⇔a a a 或0≤a ， ∴q 真2≥⇔a 或0≤a
①p 真q 假：10≤<a ；②p 假q 真：2≥a 或1-<a 或0=a 故a 的范围为1-<a 或10≤≤a 或2≥a
19、已知函数()()()x f x x x x x x ⋅=+=
-=,sin cos ,cos 3,cos sin ,sin 2．
（1）求()x f 的最小正周期及()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值；（2）若()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=2,4,5600ππx x f ，求
02cos x 的值．
解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=
62sin 22cos 2sin 3πx x x x f ，其最小正周期为π
又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈65,662,2,0ππππx x ，∴()()1,2min max -==x f x f （2）()5362sin ,5600=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴=πx x f ，又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈πππππ,262,2,400x x
103436sin 62sin 6cos 62cos 2cos ,5462cos 0000+-
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πππππx x x x 20、某工厂有一段旧墙长14米，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为4
a
元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为
2
a
元．经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x ()14<x 米为矩形厂房一面的边长；⑵矩形厂房利用旧墙的一面边长()14≥x x 米．问如何利用旧墙，建造费用最
省？
解：设建造厂房费用为y 元。

方案一：需建矩形边长为x
x 252
2+米，其中旧墙利用x 米，旧墙剩余x -14米，需建新墙14252
2-+
x
x 米，所以总费用为=y ()a a x x x a x a x x a 357252471424142522≥⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+(12=x 时取等号） 方案二：需建矩形边长为x x 2522+米，其中旧墙14米，需建新墙14252
2-+x
x 米，所以总费用14,2211262142522414≥-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⨯
=x a x x a a x x a y a x x a y x a y 2
211262,0126122-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=∴>⎪⎭⎫ ⎝⎛-='在[)+∞,14递增，a a y 355.35>≥∴
故应采用方案一，即取旧墙12米作为矩形一边长建造厂房费用最少。

21、设关于x 的方程012
=--mx x 有两个实根βα,，且βα<．定义函数()1
22
+-=
x m
x x f ．（1）求()()ββααf f +的值；（2）若()βα,,21∈x x ，求证：()()βα-<-21x f x f ．
解：（1）()()()()21212,1,2
2=+-++-=
+∴-==+βββαααββαααββαm m f f m （2）当()βα,∈x 时，()()()
()
()
()
0112122122
2
22
2
2>++-=
+--+='x
mx x x
m x x x x f ，()x f 递增
故()()()()αβαββα-≤-⇔-<
-f f x f x f 21
()()()()()()
αββα
βααβαβ-=++++-=-1
122
222f f ，故结论成立。

22、已知函数()x
b
x x a x f ++=
1ln ，曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为032=-+y x ．（1）求b a ,的值；（2）如果当1>x 时，()x
k
x x x f +->
1ln ，求k 的取值范围． 解：（1）由()11=f 得1=b 。

()()()
2
21
1ln 11
x x x a x x a
x f -+-+=
'，由()211-='f 得1=b ∴1,1==b a （2）()01
1
ln 21ln 11ln 1ln 2<-+-⇔+->++⇔+->
x k x x x k x x x x x x k x x x f
()011ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⇔x x k x ，令()()1,11ln 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛
--+=x x x k x x g ，则
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-+=
'121111112222x x k x x k x x g 令()()11212
>++-=x x x k x h ，则()()
()x h x x x h ,01
22222
<+-='单调递减，()()k h x h =<1 ①若0≤k ，则()()x g x g ,0≤'单调递减，()()01=<g x g ，满足条件； ②若1≥k ，则()()x g x g ,0>'单调递增，()()01=>g x g ，不满足条件； ③若10<<k ，则()012,01<⎪⎭
⎫
⎝⎛->k h h ，此时存在唯一()+∞∈,1s ，使()0=s h 且当()s x ,1∈时，()()()x g x g x h ,0,0>'>单调递增，()()01=>g x g ，不满足条件 综上所述，所求的k 的范围为0≤k。