湖南省衡阳市2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试题(理科实验班)

衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考试卷
数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★
第I卷选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）
A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0
B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0
C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0
D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0
2.已知命题,命题,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
4.执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足
（A）y=2x（B）y=3x
（C）y=4x（D）y=5x
5.已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），
若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）
A．[，1] B．[0，] C．[，1] D．[0，1]
6.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为（）
A． B．
C．D．
7.抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m 等于（）
A．B．2 C．D．3
8.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）
A．B．C． D.
9.已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）
A．24 B．20 C．16 D．12
10.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）
A．4 B．3 C．2 D．1
11.已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1f （x2）的取值范围为
（）
A．B．
C．D．
12.数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.若命题“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．
14.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为．
15.平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
①m，使曲线E过坐标原点；
②对m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。

其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）
16.已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤
（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.（本题满分12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
19.（本题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．下
图是按上述分组方法得到的频率分布直方图
（Ⅰ）若成绩大于或等60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“”概率。

20.（本题满分12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．
21.（本题满分12分）已知Q为椭圆的上顶点，是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F。

（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆相较于两点，为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求的取值范围。

22.（本题满分12分）已知椭圆过点，其焦距为. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切
点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第一次月考数学
参考答案
13.（0，1）
14.
15.①④⑤
16.（1，）
17.p：，q：a≤x≤
a+1；
∴（1）若a=，则q：
；
∵p∧q为真，∴p，q都为
真；
∴，∴
；
∴实数x的取值范围为
；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到
p；
∴，∴
；
∴实数a的取值范围为．
18.（1）由题意可得，∴n=160；
（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；
（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，
由条件得到的区域为图中的阴影部分
由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1
∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=
∴该代表中奖的概率为=．
19.（I）由直方图知，成绩在内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29.
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人。

………………3分
（II）由直方图知，成绩在内的人数为：50×10×0.004=2，
设成绩为x、y ……………………5分
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，………………6分
若一种情况，………………7分
若三种情况，………………8分
若内时，有
共有6种情况，所以基本事件总数为10种，………………9分
事件“”所包含的基本事件个数有6种………………10分
………………12分
20.（1）由已知可得 b=2，，
∴所求椭圆方程为．…2分
（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则
由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得 (6)
分
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．
设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．则，．
∵k1+k2=8，∴+=8，
∴2k+（m﹣2）×=8．…8分
∴k﹣=4，整理得m=．
故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．
所以直线AB过定点（，﹣2）．…10分
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，
设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），
由已知+=8，得x0=﹣．
此时AB方程为x=﹣，显然过点（，﹣
2）．
综上，直线AB过定点（，﹣2）．…12分
21.（1）因为，，，，，
由题设可知，则
①……………………2分
又点在椭圆上，∴，解得，所以②
①②联立解得，，，
故所求椭圆的方程为．……………………5分
（2）设三点的坐标分别为，，，
由两点在椭圆上，则，则
由（1）－（2），得（3）．
由线段的中点与线段的中点重合，则．
又，即（6）……………………8分
把（4）（5）（6）代入（3）整理，得，
于是由，得，，
所以．……………………10分
因为，所以，有，
所以，即的取值范围为．……………………12分
22.（I）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：
，所以椭圆的方程为.
（II）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为
令，，令，所以
又点B在椭圆的第一象限上，所以
，
，当且仅当
所以当时，三角形OCD的面积的最小值为
（Ⅲ）设，则椭圆在点处的切线为：
又过点，所以，同理点也满足，所以都在直线上，即：直线MN的方程为
所以原点O到直线MN的距离，所以直线MN始终与圆相切.。