《精编》湖北省武汉市高三数学9月调考试题 文 新人教A版.doc

武汉市2021届高三9月调研测试
数 学〔文科〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项
为哪一项符合题目要求的．
1．如图，在复平面内，点M 表示复数z ，那么z 的共轭复数对应的点是
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q
2．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2
＝1相切于第一象限的直线方程是
A ．x ＋y －2＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋2＝0 3．某校从高一年级学生中随机抽取局部学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如以下列图的频率分布直方图．高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 A ．588 B ．480 C ．450 D ．120 4．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π
2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x
＝π
2
对称．那么以下判断正确的选项是 A ．p 为真 B ．﹁q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 5．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF 〔该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常〕．假设在该矩形区域内随机地选一地点，那么该地点无信号的概率是
A ．1－π4
B ．π2－1
C ．2－π2
D ．π
4
6．设函数D (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，x 为有理数，
0，x 为无理数．那么以下结论错误的选项是．．．．．．
A ．D (x )的值域为{0，1}
B ．D (x )是偶函数
C ．
D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数 7．一个几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的外表积是
A ．4＋2 6
B ．4＋ 6
C ．4＋2 2
D ．4＋ 2
8．函数y ＝f (x )的图象是以下四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，那么该函数的图象是
9．抛物线y 2
＝2px 〔p ＞0〕与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1〔a ＞0，b ＞0〕有相同的焦点F ，点A 是两曲
线的一个交点，且AF ⊥x 轴，那么双曲线的离心率为
A ．2＋2
B ．5＋1
C ．3＋1
D ．2＋1
10．函数f (x )＝2x
|log x |－1的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．集合A 、B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，那么A ∩(∁
U B )＝ ．
12．某高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从
该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取 名学生． 13．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，那么输出的s 值等于 ．
14．△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足→PC ＝2→
BP ，那
么→AB ·→
AP ＝ ．
15．记不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4．
所表示的平面区域为D ．假设直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共
点，那么实数a 的取值范围是 ．
16．设θ为第二象限角，假设tan(θ＋π4)＝1
2
，那么sin θ＋cos θ＝ ．
17．数列{a n }的各项均为正整数，对于n ＝1，2，3，…，有
a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3a n ＋5，a n 为奇数，a n
2
k ，其中k 是使a n ＋1为奇数的正整数，a n 为偶数．
〔Ⅰ〕当a 1＝19时，a 2021＝ ；
〔Ⅱ〕假设a n 是不为1的奇数，且a n 为常数，那么a n ＝ ．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．〔本小题总分值12分〕
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．2cos(B －C )＋1＝4cos B cos C ． 〔Ⅰ〕求A ；
〔Ⅱ〕假设a ＝27，△ABC 的面积为23，求b ＋c ． 19．〔本小题总分值12分〕
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1． 〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；
〔Ⅱ〕证明：对一切正整数n ，有
1
a 1a 2＋
1
a 2a 3
＋…＋
1
a n a n ＋1＜12
． 20．〔本小题总分值13分〕
如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AD ＝EF ＝1．
〔Ⅰ〕设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ； 〔Ⅱ〕设平面CBF 将几何体EF-ABCD 分割成的两个锥体的体积分别为V F-ABCD 、V F-CBE ，求V F-ABCD ：V F-CBE 的值． 21．〔本小题总分值14分〕
函数f (x )＝x －1
2
a ln x ，a ∈R ．
〔Ⅰ〕当f (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的解析式； 〔Ⅱ〕对〔Ⅰ〕中的φ(a )，
〔ⅰ〕当a ∈(0，＋∞)时，证明：φ(a )≤1；
〔ⅱ〕当a ＞0，b ＞0时，证明：φ′(
a ＋b
2
)≤
φ′(a )＋φ′(b )
2
≤φ′(
2ab
a ＋b
)． 22．〔本小题总分值14分〕
椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1〔a ＞b ＞0〕的离心率为3
3
，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B
两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为
22
． 〔Ⅰ〕求a ，b 的值；
〔Ⅱ〕C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有→OP ＝→OA ＋→
OB 成立？假设存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；假设不存在，说明理由．
武汉市2021届高三9月调研测试 数学〔文科〕试题参考答案及评分标准
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B 二、填空题
11．{3} 12．15 13．－3 14．56 15．[1
2，4]
16．－
10
5
17．〔Ⅰ〕98；〔Ⅱ〕5 三、解答题 18．〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由2cos(B －C )＋1＝4cos B cos C ，得
2(cos B cos C ＋sin B sin C )＋1＝4cos B cos C ，
即2(cos B cos C －sin B sin C )＝1，亦即2cos(B ＋C )＝1，
∴cos(B ＋C )＝1
2
．
∵0＜B ＋C ＜π，∴B ＋C ＝π
3
．
∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝2π
3．………………………………………………………6分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，得A ＝2π
3
．
由S △ABC ＝23，得12bc sin 2π
3＝23，∴bc ＝8． ①
由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，得
(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3
，即b 2＋c 2
＋bc ＝28，
∴(b ＋c )2
－bc ＝28． ②
将①代入②，得(b ＋c )2
－8＝28，
∴b ＋c ＝6．………………………………………………………………………12分
19．〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕设等差数列{a n }的公差为d ，那么
⎩
⎪⎨
⎪⎧
4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，
a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1．解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
d ＝2．
∴a n ＝2n －1，n ∈N *
．……………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕∵
1a n a n ＋1
＝
1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－1
2n ＋1)，
∴
1
a 1a 2＋
1
a 2a 3
＋…＋
1
a n a n ＋1
＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1
)] ＝12(1－12n ＋1)＜12
．………………………………………………………………12分 20．〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕如图，设FD 的中点为N ，连结AN ，MN ．
∵M 为FC 的中点，
∴MN ∥CD ，MN ＝1
2CD ．
又AO ∥CD ，AO ＝1
2
CD ，
∴MN ∥AO ，MN ＝AO ， ∴MNAO 为平行四边形， ∴OM ∥AN ，
又OM ⊄平面DAF ，AN ⊂平面DAF ，
∴OM ∥平面DAF ．………………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ．
∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， ∴FG ⊥平面ABCD ，
∴V F-ABCD ＝13S ABCD ·FG ＝2
3FG ．
∵CB ⊥平面ABEF ，
∴V F-CBE ＝V C-BEF ＝13S △BEF ·CB ＝13·12EF ·FG ·CB ＝1
6
FG ．
∴V F-ABCD ：V F-CBE ＝4．……………………………………………………………13分
21．〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕求导数，得f ′(x )＝12x －a 2x
＝x －a 2x 〔x ＞0〕．
〔1〕当a ≤0时，f ′(x )＝
x －a
2x
＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，无最小值． 〔2〕当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a 2
．
当0＜x ＜a 2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，a 2
)上是减函数；
当x ＞a 2时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(a 2
，＋∞)上是增函数．
∴f (x )在x ＝a 2处取得最小值f (a 2
)＝a －a ln a ． 故f (x )的最小值φ(a )的解析式为φ(a )＝a －a ln a 〔a ＞0〕．………………………
6分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，知φ(a )＝a －a ln a 〔a ＞0〕，
求导数，得φ′(a )＝－ln a ．
〔ⅰ〕令φ′(a )＝0，解得a ＝1．
当0＜a ＜1时，φ′(a )＞0，∴φ(a )在(0，1)上是增函数； 当a ＞1时，φ′(a )＜0，∴φ(a )在(1，＋∞)上是减函数． ∴φ(a )在a ＝1处取得最大值φ(1)＝1．
故当a ∈(0，＋∞)时，总有φ(a )≤1． (10)
分
〔ⅱ〕当a ＞0，b ＞0时，
φ′(a )＋φ′(b )
2＝－ln a ＋ln b 2＝－ln ab ， ①
φ′(a ＋b 2
)＝－ln(a ＋b 2
)≤－ln ab ， ②
φ′(2ab a ＋b )＝－ln(2ab a ＋b )≥－ln 2ab 2ab ＝－ln ab ， ③
由①②③，得φ′(
a ＋b
2
)≤
φ′(a )＋φ′(b )
2
≤
φ′(2ab
a ＋b
)．………………………14分
22．〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕设F (c ，0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，
∴O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c
2
，
由，得
c
2
＝
2
2
，∴c ＝1． 由e ＝c a ＝
33
，得a ＝3，b ＝a 2－c 2
＝2．……………………………………4分
〔Ⅱ〕假设C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有→OP ＝→OA ＋→
OB 成立，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由〔Ⅰ〕，知C 的方程为x 23＋y 2
2
＝1．
由题意知，l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝ty ＋1．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty ＋1，x 23＋y
22
＝1．消去x 并化简整理，得(2t 2＋3)y 2
＋4ty －4＝0．
由韦达定理，得y 1＋y 2＝－
4t
2t 2
＋3
， ∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2＝－4t 2
2t 2＋3＋2＝6
2t 2＋3，
∴P (62t 2＋3，－4t
2t 2＋3
)．
∵点P 在C 上，∴(62t 2＋3)2
3＋(－4t 2t 2＋3
)22
＝1，
化简整理，得4t 4＋4t 2－3＝0，即(2t 2＋3)(2t 2－1)＝0，解得t 2
＝12
．
当t ＝
22时，P (32，－2
2)，l 的方程为2x －y －2＝0； 当t ＝－
22时，P (32，2
2
)，l 的方程为2x ＋y －2＝0． 故C 上存在点P (32，±22)，使→OP ＝→OA ＋→
OB 成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝
0．…………………………………………………………………………………14分。