2015高考数学真题 天津理科

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =
ð（ ）.
A.{}2,5
B.{}3,6
C.{}2,5,6
D.{}2,3,5,6,8
2. 设变量,x y 满足约束条件20
30230x x y x y +⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
……… ，则目标函数6z x y =+的最大
值为（ ）.
A. 3
B. 4
C. 18
D. 40
3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）. A.10- B.6 C.14 D.18
4. 设x ∈R ，则“21x -< ”是“2
20x x +->”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 如图所示，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分
别经过点M ，N .若2CM =，4MD =，3CN = ，则线段NE 的长为（ ）.
A.8
3
B.3
C.103
D.52
6. 已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线
2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）.
A.
2212128x y -= B.2212821x y -= C.22134x y -= D.22
143
x y -= O N
M E D C
B
A
.
7. 已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5lo
g 3a f =，
()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.
A.a b c <<
B.a c b <<
C.c a b <<
D.c b a <<
8. 已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩… 函数()()2g x b f x =-- ，其中b ∈R ，若函数 ()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）.
A.7,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫
⎪⎝⎭
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.
9. i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .
10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3
m .
11. 曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 .
12. 在6
14x x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
的展开式中，2
x 的系数为 . 13. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △
的面积为，
2b c -=，1
cos 4
A =-
，则a 的值为 . 14. 在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠= ，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE BC λ=，1
9DF DC λ
=，则AE AF ⋅的最小值为 .
正视图
侧视图
俯视图
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数()22πsin sin 6f x x x ⎛
⎫
=-- ⎪⎝
⎭
，x ∈R . （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间ππ,34⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值.
16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；
（2）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
17. （本小题满分13分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面
ABCD ，
AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1BC 和1D D 的中点.
（1）求证：//MN 平面ABCD . （2）求二面角11D AC B --的正弦值；
（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1
3
，求线段1A E 的长.
18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠），*
n ∈N ，11a =，22a =，
且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列. （1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设*2221
log ,n
n n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项
19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222+=10x y a b a b >>的左焦点为(),0F c -，
，点M
N M
A 1
B 1
C 1
D 1
D
B
A
在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆22
2
+4b x y =截得的线段的长为c ，=3
FM .
（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；
（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
20. （本小题满分14分）已知函数(),n
f x nx x x =-∈R ，其中*
n ∈N ，2n ….
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x …；
（3）若关于x 的方程()f x a =（a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：2121a
x x n
-<
+-.。