2016年四川省广安市华蓥市高一下学期期末数学试卷与解析答案(文科)

2015-2016学年四川省广安市华蓥市高一（下）期末数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）2sin cos的值是（）
A．B．C．D．1
2．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3≥0的解集为（）
A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≥3或x≤﹣1}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}
3．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）
A．B．C．D．
4．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56
5．（5分）已知某正方体的外接球的表面积是16π，则这个正方体的棱长是（）A．B．C．D．
6．（5分）函数y=log2（x++5）（x＞1）的最小值为（）
A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣4
7．（5分）在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）
A．3 B．C．±3D．以上皆非
8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范
围是（）
A．B．C．[﹣1，6]D．
9．（5分）已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．B．﹣ C．﹣ D．
10．（5分）已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）
A．8 B．9 C．10 D．16
11．（5分）一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）
A．北偏东80°，20（+）B．北偏东65°，20（+2）
C．北偏东65°，20（+）D．北偏东80°，20（+2）
12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷的相应位置．
13．（5分）已知sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，则α+β的值为．14．（5分）若不等式ax2+2ax﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则a n=．
16．（5分）已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a3=﹣6，a6=0．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
19．（12分）已知cos（α+β）=，cos（α﹣β）=．
（1）求tanαtanβ的值；
（2）若α+β∈（0，π），α﹣β∈（﹣π，0），求cos2β的值．
20．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx，ω＞0，x∈R，且函数f （x）的最小正周期为π；
（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f（+）=，b=2，△ABC的面积等于3，求边长a的值．
21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=9，a5+a7=30，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；
，a n（n∈N*）成等差数列，且（2）已知数列{b n}的第n项为b n，若b n，b n
+1
b1=3，设数列{}的前n项和T n．求数列{}的前n项和T n．
22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足，对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤（x+2）2成立．
（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表达式；
（3）在（2）的条件下，设g（x）=f（x）﹣x，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都位于直线y=的上方，求实数m的取值范围．
2015-2016学年四川省广安市华蓥市高一（下）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）2sin cos的值是（）
A．B．C．D．1
【解答】解：2sin cos=sin=．
故选：C．
2．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3≥0的解集为（）
A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≥3或x≤﹣1}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}
【解答】解：∵﹣x2﹣2x+3≥0，
∴x2+2x﹣3≤0，即（x+3）（x﹣1）≤0，
解得﹣3≤x≤1．
∴不等式﹣x2﹣2x+3≥0的解集为{x|﹣3≤x≤1}．
故选：C．
3．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）
A．B．C．D．
【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，
看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，
故选：C．
4．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56
【解答】解：由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10，∴其前10项之和为：
==140．
5．（5分）已知某正方体的外接球的表面积是16π，则这个正方体的棱长是（）A．B．C．D．
【解答】解：设正方体的棱长为a，则正方体的体对角线的长就是外接球的直径，∴外接球的半径为：a，
∵正方体外接球表面积是16π，
∴4π（a）2=16π，
解得a=．
故选：D．
6．（5分）函数y=log2（x++5）（x＞1）的最小值为（）
A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣4
【解答】解：由题意y=log2（x++5）=log2（x﹣1++6）≥log2（2+6）=log28=3，
当且仅当x﹣1=，即x=2时取等号，
故函数y=log2（x++5）（x＞1）的最小值为3，
故选：B．
7．（5分）在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）
A．3 B．C．±3D．以上皆非
【解答】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，
∴a3a9=，a3+a9=＞0，
∵a3a9=（a6）2，
则a6=±
则a5a6a7=（a6）2a6=±3，
故选：C．
8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范
围是（）
A．B．C．[﹣1，6]D．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小
结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大
由可得B（，3），
由可得C（2，0），z max=6
∴
故选：A．
9．（5分）已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=sin（α+）=，
∴sin（α+）=，
则sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣，
故选：B．
10．（5分）已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）
A．8 B．9 C．10 D．16
【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0
∴a8+a9＞0，
a9＜0，
∴a8＞0，
∴数列的前8项和最大
故选：A．
11．（5分）一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）
A．北偏东80°，20（+）B．北偏东65°，20（+2）
C．北偏东65°，20（+）D．北偏东80°，20（+2）
【解答】解：由题意，在△ABC中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40，BC=40
根据余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cos∠ABC=402+（40）2﹣2×40×40×
=3200+1600，
∴AC=20（+）．
根据正弦定理=，∴∠CAB=45°，
∴此船航行的方向和路程（海里）分别为北偏东65°、20（+）．
故选：C．
12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，【解答】解：由于数列{a n}满足a n
+1
a4﹣a3=5，
a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．
从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷的相应位置．
13．（5分）已知sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，则α+β的值为．【解答】解：∵sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，
∴cosα==，cosβ==，
则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣=．
再根据α+β∈（0，π），求得α+β=，
故答案为：．
14．（5分）若不等式ax2+2ax﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围是（﹣
4，0] ．
【解答】解：（1）当a=0时，得到﹣4＜0，显然不等式的解集为R；
（2）当a＞0时，二次函数y=ax2+2ax﹣4开口向上，函数值y不恒小于0，故解集为R不可能．
（3）当a＜0时，二次函数y=ax2+2ax﹣4开口向下，由不等式的解集为R，
得到二次函数与x轴没有交点，即△=4a2+16a＜0，即a（a+4）＜0，解得﹣4＜a ＜0；
综上，a的取值范围为（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则a n=．
【解答】解：∵S n=3+2n，
∴当n=1时，S1=a1=3+2=5，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，
当n=1时，不符合n≥2时的表达式．
∴a n=．
故答案为：a n=．
16．（5分）已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存
在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．
【解答】解：设各项皆为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0（n∈N*），∵a7=a6+2a5，∴=a5q+2a5，
化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．
∵存在两项a m、a n使得，
∴=4a1，
∴2m+n﹣2=24，
∴m+n=6．
则==≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a3=﹣6，a6=0．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
∵a3=﹣6，a6=0，
∴a1+2d=﹣6，a1+5d=0，
解得：a1=﹣10，d=2，
∴a n=﹣10+2（n﹣1）=2n﹣12；
（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，
∵a2=2×2﹣12=﹣8，a1=﹣10，a3=﹣6，
∴b1=a2=﹣8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，
∴q===3，
∴S n===4（1﹣3n）．
18．（12分）如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
【解答】解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h′．（1）圆锥的高h==2，
又∵h′=，
∴h′=h．∴=，∴r=1．
∴S
表面积=2S
底
+S
侧
=2πr2+2πrh′
=2π+2π×=2（1+）π．…（6分）
（2）所求体积
=…（12分）
19．（12分）已知cos（α+β）=，cos（α﹣β）=．
（1）求tanαtanβ的值；
（2）若α+β∈（0，π），α﹣β∈（﹣π，0），求cos2β的值．
【解答】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ﹣s inαsinβ=，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=，
∴cosαcosβ=，sinαsinβ=，
相除可得tanαtanβ==．
（2）由α+β∈（0，π），α﹣β∈（﹣π，0），cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，可得sin（α+β）==，α﹣β∈（﹣π，0），
∴sin（α﹣β）=﹣，
∴cos2β=cos[（α+β）﹣（α﹣β）]=cos（α+β）cos（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β）
=+×（﹣）=．
20．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx，ω＞0，x∈R，且函数f （x）的最小正周期为π；
（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f（+）=，b=2，△ABC的面积等于3，求边长a的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）因为f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx ﹣），…（2分）
由f（x）的最小正周期为π，得：ω=1，…（3分）
∵2kπ﹣≤2x﹣≤2x+，k∈Z，
即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，…（5分）
所以，函数的增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，…（6分）
（2）∵f（）=sin（A+）=，A∈（0，π），
∴cosA=，sinA=，…（8分）
∵S=bcsinA=3，b=2，sinA=，
∴c=5．…（10分）
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=13，
∴a=．…（12分）
21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=9，a5+a7=30，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；
（2）已知数列{b n}的第n项为b n，若b n，b n
，a n（n∈N*）成等差数列，且
+1
b1=3，设数列{}的前n项和T n．求数列{}的前n项和T n．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），因为a5+a7=30，
又∵a5+a7=2a6，
∴a6=15；
∴d==2，又a3=9，
∴a n=a3+（n﹣3）d=9+（n﹣3）×2=2n+3，
∴a1=5，
∴S n===n2+4n．
（2）由（1）知b1=3，
∵b n，b n
，a n成等差数列，
+1
∴a n+b n=2×b n+1（n∈N*），
﹣b n=a n，
∴b n
+1
=a n﹣1（n≥2，n∈N*），
∴b n﹣b n
﹣1
故b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1
=（a n﹣1+a n﹣2+…+a1）+b1
=+3
=（n﹣1）（n+3）+3
=n2+2n
=n（n+2）（n≥2，n∈N*）．
又因为b1=3满足上式，
∴b n=n（n+2）（n∈N*）．
∴==（﹣）．
故T n=（1﹣+﹣+…+﹣）
=（1+﹣﹣）
=．
22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足，对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤（x+2）2成立．
（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表达式；
（3）在（2）的条件下，设g（x）=f（x）﹣x，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都位于直线y=的上方，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由条件知：f（2）=4a+2b+c≥2成立，
又另取x=2时，成立，
∴f（2）=2；
（2）∵，∴，4a+c=1，
又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0在R上恒成立，
∴a＞0且△=（b﹣1）2﹣4ac≤0，，
解得：，
所以，
（3）由题意可得：g（x）=+在[0，+∞）时必须恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在[0，+∞）时恒成立，
则有以下两种情况：
①△＜0，即16（1﹣m）2﹣8＜0，解得
②，解得：，
综上所述：．
赠送初中数学几何模型
【模型三】
双垂型：图形特征：
60°
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

C
D
B。