陕西省西安市 九年级(上)第一次月考数学试卷

九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.已知mx=ny≠0，则下面结论成立的是（）
A. xy=nm
B. yn=my
C. xy=mn
D. xm=yn
2.下列线段中，能成比例的是（）
A. 3cm、6cm、8cm、9cm
B. 3cm、5cm、6cm、9cm
C. 3cm、6cm、7cm、9cm
D. 3cm、6cm、9cm、18cm
3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部
分）与△ABC相似的是（）
A. B. C. D.
4.若a5=b7=c8，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c的值是（）
A. 14
B. 42
C. 7
D. 143
5.如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，若AO=3，BO=6，CO=2，
则BD的长为（）
A. 4
B. 10
C. 11
D. 12
6.如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（）
A. 3：2
B. 4：3
C. 6：5
D. 8：5
7.下列说法正确的是（）
A. 矩形都是相似图形
B. 各角对应相等的两个五边形相似
C. 等边三角形都是相似三角形
D. 各边对应成比例的两个六边形相似
8.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，
AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为
（）
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3
9.有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形
（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）
A. 67
B. 3037
C. 127
D. 6037
10.如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD
上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于
点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线
DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上
运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；
②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是22．其
中正确结论是（）
A. ①③
B. ②③
C. ②③④
D. ②④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.若a+bc=b+ca=c+ab=k（a+b+c≠0），则k=______．
12.一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果
也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为______米．
13.如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是______．（只要
写出一种）
14.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的
影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为______．
15.如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形
相似，那么原矩形中AD：AB=______．
16.如图，在直线m上摆放着三个三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=12CE，
F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依
次是S1，S2，S3，若S1+S3=20，则S2=______．
三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）
17.计算：（-3）×（-6）+|2-1|+（5-2π）0
18.化简：（a+1a−1-aa+1）÷3a+1a2+a．
19.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，a4=b5=c7，求△ABC三边的长．
四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
20.如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连
接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使
△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）
21.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若DEEF=25，
AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
22.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．
23.已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，
延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC=AB•DE．
24.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，
沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
25.问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，
交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD=3时，S′S=______；
（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示S′S．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD 的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示S′S．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、，正确；
B、，错误；
C、，错误；
D、，错误；
故选：A．
根据比例的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
2.【答案】D
【解析】
解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有D符合，3×18=6×9，故选D．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3.【答案】B
【解析】
解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，
故两三角形不相似，
故选：B．
设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3．
4.【答案】D
【解析】
解：设a=5k，则b=7k，c=8k，
又3a-2b+c=3，则15k-14k+8k=3，
得k=，
即a=，b=，c=，
所以2a+4b-3c=．故选D．
根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达到约分的目的即可．
根据已知条件得到关于未知数的方程，从而求得各个字母，再进一步计算代数式的值．
5.【答案】B
【解析】
解：∵AB∥CD，
∴=，
∵AO=3，BO=6，CO=2，
∴DO=4，
∴BD=4+6=10，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出OD，即可求出答案．
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】
解：过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，
∴=，
而BD：DC=2：3，
∴=，则CE=DF，
∵DF∥AE，
∴=，
∵AG：GD=4：1，
∴=，则AE=4DF，
∴==．
故选：D．
过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE 得到==，则CE=DF，由DF∥AE得到===，则
AE=4DF，然后计算的值．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
7.【答案】C
【解析】
解：A．矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；
B．各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，
所以不一定是相似图形，故本选项错误；
C．等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；
D．各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；
故选：C．
根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边与角两个方面考虑解答．
8.【答案】B
【解析】
解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴=（）2=4．
∵S△ACD=3，
∴S△ABC=4•S△ACD=12，
∴S△BCD=S△ABC-S△ACD=9．
故选：B．
由∠ACD=∠B、∠CAD=∠BAC可得出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质结合S△ACD=3，可求出S△ABC的值，将其代入S△BCD=S△ABC-S△ACD中即可求出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出S△ABC的值是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长
度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．
【解答】
解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=AB•BC=AC•BP，
∴BP===．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE=x，则有：，
解得x=，
故选：D．
10.【答案】B
【解析】
解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知
∠DAP=∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF=OC，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠OFC=∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD=90°，
∴∠GFM+∠AMD=90°，
∴∠FGM=90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠PCM，
∴∠PCM=∠H，
∵∠CPM=∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴=，
∴PC2=PM•PH，
根据对称性可知：PA=PC，
∴PA2=PM•PH．
④正错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC=2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故选：B．
①错误，
②正确．想办法证明∠GFM+∠AMD=90°即可；
③正确．只要证明△CPM∽△HPC，可得=，推出PC2=PM•PH，根据对称性可知：PA=PC，可得PA2=PM•PH；
④错误．利用矩形的性质可知EF=PC，当PC⊥BD时，EF的值最小，最小值为1；
本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】2
【解析】
解：∵===k，
∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，
∴（a+b）+（b+c）+（c+a）=ck+ak+bk，
∴（a+b+c）k=2（a+b+c），
∵a+b+c≠0，
∴k=2．
故答案为：2．
去掉分母，然后整理求解即可．
本题考查了比例的性质，比较简单，用含k的式子表示出分子是解题的关键．
12.【答案】（15-55）
【解析】
解：如图，设舞台AB的长度为10米，C是黄金分割点，AC
＞BC，
则AC=AB=5（-1）米，
∴BC=AB-AC=10-5（-1）=15-5米，
故答案为：15-5．
根据黄金比为进行计算，即可得到答案．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比．
13.【答案】∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB
【解析】
解：∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．
要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．
这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性的题，答案不唯一．
14.【答案】11.8米
【解析】
解：根据题意可构造相似三角形模型如图，
其中AB为树高，EF为树影在第一级台阶上的影长，BD为树
影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知BC
即为树影在地上的全长；
延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF，
∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.4
∴GF=0.4AG
又∵GF=GE+EF，BD=GE，GE=4.4m，EF=0.2m，
∴GF=4.6
∴AG=11.5
∴AB=AG+GB=11.8，即树高为11.8米．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体
顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．据此可构造出相似三角形．本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，构造直
角三角形是解决本题关键，属于中等题目．
15.【答案】1+32或2
【解析】
解：∵四边形ABFE是正方形，
∴DE=AD-AB，
∵剩下的矩形对开后与原矩形相似，
∴=，
即=，
整理得，2AD2-2AD•AB-AB2=0，
解得AD=AB，AD=AB（舍去），
∴AD：AB=，
或=，
=，
整理得AD=2AB，
∴AD：AB=2，
综上所述，AD：AB=或2．
故答案为：或2．
用AD和AB表示出DE，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．
16.【答案】8
【解析】
解：由已知三个平行四边形得：
AB∥HF∥DC∥GN，
设AC与FH交于P，CD与HG交
于Q，
∵F是BC的中点，
∴S2与S1两个平行四边形的高相等，
∵G是CE的中点，CD∥GN，GN∥CD，
∴GN=CQ，
∴S3与S2的底相等，
∵BC=2CF=CE=CG，
∵∠PFC=∠QCG，∠PCF=∠QGC，
∴△PFC∽△QCG，
∴，
∴S2与S1两个平行四边形的底的比是2：1，
S3与S2的高的比为2：1，
∴S3=2S2=4S1，
∵S1+S3=20，
∴S1=4，
∴S2=8，
故答案为：8．
根据题意，证明S2与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的2倍，S3与S2
的长相等，高是S3的一半，把S2和S3用S1来表示，从而计算出S2的值．
本题考查了面积及等积变换、三角形中位线定理和平行线等分线段定理及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．
17.【答案】解：原式=3×6+2-1+1
=32+2-1+1
=42．
【解析】
先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功
倍．
18.【答案】解：原式=[(a+1)2(a+1)(a−1)-a(a−1)(a+1)(a−1)]÷3a+1a(a+1)
=a2+2a+1−a2+a(a+1)(a−1)÷3a+1a(a+1)
=3a+1(a+1)(a−1)•a(a+1)3a+1
=aa−1．
【解析】
先将括号内分式通分、除式的分母因式分解，再计算减法，最后除法转化为乘法后约分即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：设a4=b5=c7=x，
得a=4x，b=5x，c=7x．
∵a+b+c=48，
∴4x+5x+7x=48，
解得x=3，
∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．
【解析】
根据等式的性质，可用x表示a，b，c，根据解方程，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出a=4x，b=5x，c=7x是解题关键．20.【答案】解：如图所示，点P即为所求：
∵DP⊥AM，
∴∠APD=∠ABM=90°，
∵∠BAM+∠PAD=90°，∠PAD+∠ADP=90°，
∴∠BAM=∠ADP，
∴△DPA∽△ABM．
【解析】
过D点作DP⊥AM，利用相似三角形的判定解答即可．
此题考查作图-相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答．
21.【答案】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF=25，
∴ABAC=22+5=27，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14-7=7，
∵BE∥CF，
∴BHCG=ABAC=27，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【解析】
（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段
成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成
比例求出BH是解决问题的关键．
22.【答案】解∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴C=∠G，∠A=∠E=118°，ABEF=BCFG，
∵四边ABCD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠C=80°，
∴∠α=∠G=80°，
∵AB=12，EF=6，FG=7，
∴126=x7，
∴x=14．
【解析】
根据四边形ABCD∽四边形EFGH相似的性质，得出对应边的比相等，对应角相等即可．
本题考查了相似四边形的性质，掌握相似四边形的性质对应边的比相等，对
应角相等是解题的关键．
23.【答案】证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BDE=∠ACE，
∴△ACE∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE，
∴BEAE=EDEC，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴AEEC=ABCD，
∴BEED=ABCD，
∴BE•DC=AB•DE．
【解析】
（1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到，等量代换得到，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴CDAB=DFBF，
同理可得EGAB=GHBH，
∴DFBF=GHBH，
∴3BD+3=59+BD，
解得BD=6，
∴1.7AB=33+6，
解得AB=5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
【解析】
利用△CDF∽△ABF及△EGH∽△ABH得到相关比例式，求得BD的值，进而代入和AB有关的比例式，求得AB的值即可．
考查相似三角形的应用；利用相似三角形的知识得到BD的长是解决本题的关键．
25.【答案】316
【解析】
解：问题1：
（1）∵AB=4，AD=3，
∴BD=4-3=1，
∵DE∥BC，
∴，
∴==，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴=，即，
故答案为：；
（2）解法一：∵AB=4，AD=m，
∴BD=4-m，
∵DE∥BC，
∴==，
∴==，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴===，
即=；
解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC
于F，则DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴=，
∴===，
即=；
问题2：如图②，
解法一：如图2，分别延长BD、CE交于点O，
∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴，
∴OA=AB=4，
∴OB=8，
∵AE=n，
∴OE=4+n，
∵EF∥BC，
由问题1的解法可知：===，∵==，
∴=，
∴===，即=
；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，
∵AD∥BC，且AD=BC，
∴=，
∴S△ADC=，
∴S△ADC=S，S△ABC=，
由问题1的结论可知：=，
∵MF∥AD，
∴△CFM∽△CDA，
∴===，
∴S△CFM=×S，
∴S△EFC=S△EMC+S△CFM=+×S=，
∴=．
问题1：
（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则==，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：==，可得结论；
（2）解法一：同理根据（1）可得结论；
解法二：作高线DF、BH，根据三角形面积公式可得：=，分别表示和的值，代入可得结论；
问题2：
解法一：如图2，作辅助线，构建△OBC，证明△OAD∽△OBC，得OB=8，由问题1的解法可知：===，根据相似三角形的性质得：=，可得结论；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，根据AD=BC，可得=，得：
S△ADC=S，S△ABC=，由问题1的结论可知：=，证明
△CFM∽△CDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论．
本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度．。