大学物理刚体习题
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7 ml 48
2
(2)
6 g sin 由(1)、(2)得： 2 7l 应用质心运动定理： N mg ma c l$方向： mg sin Nl macl t$方向： mg cos Nt mact
(3) (4)
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l 2 6 g sin a cl (5) 4 7 l l l 4 mg cos 3 g cos a (6) ct 4 4 J 7 o 13 N mg sin , 由 (3)(4)(5)(6) 可解得： l 7
(2)角动量定理
与同向
dL d ( J ) M 或 Mdt J 2 2 J 1 1 dt dt
当刚体(系统)所受外力矩为零时，则刚体(系统) 对此轴的总角动量为恒量。
(3)角动量守恒定律
M 0
J i i
恒量
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例题 1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端 分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所示 。设滑轮的质量为 m ， 半径为 r ， 所受的摩擦阻力矩为 M 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。
解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ，
M
碰撞过程角动量守恒,得：
3 mv 4 L = ( Jm+ JM )ω 2 1 3 2 JM = 3 M L Jm = m ( 4 L )
3L 4 M θ m L
ω
3 mv L 3 mv 4 =9 4 2 1 = 2 9 mL 1 M L m L M L +3 +3 16 16
v
上摆过程机械能守恒，得：
θ） ω = ω（
解一：
A Md
1 M mgL cos 2
L 2
θ
L
0
1 mgL cos d 2
2
1 mgL sin 2
1 ω W= J 2
2
1 A J 2 0 2 3g sin 0 L=
mg 3 g sinθ
L
ω
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4 Nt mg cos 7 13 4 $ $ N mgsin l mg cos t 7 7 mg N 153 sin 2 16 7 |N | 4 1 1 t tg ( ctg ) tg N 13 l 返回 退出 上页 下页
4、一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时 处于水平位置，然后让它自由下落。求：
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2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 3 2 0
由此求得
3 R t 0 4 g
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3 、 已知：均匀直杆 m ，长为 l，初始水平静止，轴光滑， l AO 。 求 : 杆下摆 角后，角速度 ? 4 轴对杆作用力 N ?
(2)刚体转动动能定理
A Md
1 1 J 2 J 0 2 2 2
(3)刚体机械能守恒定律 只有保守力的力矩作功时，刚体的转动动能与 势能之和为常量。
1 2 J mghc 常量 2
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5、刚体角动量和角动量守恒定律
(1)角动量 L J
式中是滑轮的角加速度， a是物体的加速度。滑轮边 缘上的切向加速度和物体的 加速度相等，即
T1 T
1
T2
T
2
am
1
m
1
a m
2 1
a G2
G m2
a r
从以上各式即可解得
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a
1 m2 m1 m 2 而 1 m1 2m2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
计算转动惯量的方法：
(1)已知质量分布，由定义式求转动惯量 (2)已知两轴间距离，用平行轴定理求解 2 J J c md
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(3)已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量， 由叠加法求解。 J J i
i
4、刚体力学中的功和能 (1)力矩的功
A Md
1 2
2 1 3 ω = mg 4 2 (JM +Jm )
L L ( 1 cos θ) θ ) +M g 2(1 cos
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θ max= arc
3 9 9 2 2 1 1 ( 4 m + 2M )( 16m + 3M )g L 16m v cos 3 1 m ( 4 + 2 M )g L
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例题2 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ， 令圆 盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转 ，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
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m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
J m2 m1 2 r
a m2 m1 g M / r r m m 1 m r 2 1 2
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有
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5、一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平 轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有 一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全 非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。 试求： 1. 碰撞后系统的角速度； 2. 碰撞后杆子能上摆的最 大角度。
3L 4 m v
θ
L
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此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M r dmg g r red dr g e
2 0
d r 2 dr
0
R
2 g e R 3 3
因m=eR2，代入得
2 M mgR 3
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.
1 2
2、转动定律
d M J J dt
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值得注意的是：J和M必须是一个刚体对同一转轴 的转动惯量J和力矩M。若同时存在几个刚体，原 则上应对每个刚体列出 M i J i i
3、转动惯量
J mi ri
i
2
(离散)
J r 2 dm (连续)
刚体的转动惯量与刚体的质量、形状以及转轴的 位置有关。
刚体的转动 习题课
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本章提要
1、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式
d d 角速度 角加速度 dt dt 距转轴r处质元的线量和角量的关系 v r a r an r 2
匀角加速转动公式
0 t 0t 2t 2 0 2 2 2
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
m1 m2
T1 T1
T2 T2
a m1 G1
a m2
a G2
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因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺 时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程
T1 G1 m1a G2 T2 m2 a T2r T1r M J
解：杆 地球系统， ∵只有重力作功，∴ E 守恒。 初始： E 令 E 末态： E E 则：
k1
0， 0 1 J o 2 ,
P1
l 1 2 Jo mg sin 0 2 4
P2
2 l mg sin 4
(1)
k2
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由平行轴定理
l 2 2 1 2 Jo Jc md ml m( ) 12 4
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体 1和2的加速度a， 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和 m2 相近，从而使它们的加速度 a 和速度 v 都较小， 这样就能角精确地测出a来。
解二：
M J 1 mg L cos M 3g cos 2 1 2 J 2L mL 3
d d d d dt d dt d
L
θ
2
L 2
mg
0
d d
0
0
3 g cos d 2L
3g sin L
7 ml 48
2
(2)
6 g sin 由(1)、(2)得： 2 7l 应用质心运动定理： N mg ma c l$方向： mg sin Nl macl t$方向： mg cos Nt mact
(3) (4)
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l 2 6 g sin a cl (5) 4 7 l l l 4 mg cos 3 g cos a (6) ct 4 4 J 7 o 13 N mg sin , 由 (3)(4)(5)(6) 可解得： l 7
(2)角动量定理
与同向
dL d ( J ) M 或 Mdt J 2 2 J 1 1 dt dt
当刚体(系统)所受外力矩为零时，则刚体(系统) 对此轴的总角动量为恒量。
(3)角动量守恒定律
M 0
J i i
恒量
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例题 1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端 分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所示 。设滑轮的质量为 m ， 半径为 r ， 所受的摩擦阻力矩为 M 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。
解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ，
M
碰撞过程角动量守恒,得：
3 mv 4 L = ( Jm+ JM )ω 2 1 3 2 JM = 3 M L Jm = m ( 4 L )
3L 4 M θ m L
ω
3 mv L 3 mv 4 =9 4 2 1 = 2 9 mL 1 M L m L M L +3 +3 16 16
v
上摆过程机械能守恒，得：
θ） ω = ω（
解一：
A Md
1 M mgL cos 2
L 2
θ
L
0
1 mgL cos d 2
2
1 mgL sin 2
1 ω W= J 2
2
1 A J 2 0 2 3g sin 0 L=
mg 3 g sinθ
L
ω
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4 Nt mg cos 7 13 4 $ $ N mgsin l mg cos t 7 7 mg N 153 sin 2 16 7 |N | 4 1 1 t tg ( ctg ) tg N 13 l 返回 退出 上页 下页
4、一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时 处于水平位置，然后让它自由下落。求：
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2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 3 2 0
由此求得
3 R t 0 4 g
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3 、 已知：均匀直杆 m ，长为 l，初始水平静止，轴光滑， l AO 。 求 : 杆下摆 角后，角速度 ? 4 轴对杆作用力 N ?
(2)刚体转动动能定理
A Md
1 1 J 2 J 0 2 2 2
(3)刚体机械能守恒定律 只有保守力的力矩作功时，刚体的转动动能与 势能之和为常量。
1 2 J mghc 常量 2
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5、刚体角动量和角动量守恒定律
(1)角动量 L J
式中是滑轮的角加速度， a是物体的加速度。滑轮边 缘上的切向加速度和物体的 加速度相等，即
T1 T
1
T2
T
2
am
1
m
1
a m
2 1
a G2
G m2
a r
从以上各式即可解得
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a
1 m2 m1 m 2 而 1 m1 2m2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
计算转动惯量的方法：
(1)已知质量分布，由定义式求转动惯量 (2)已知两轴间距离，用平行轴定理求解 2 J J c md
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(3)已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量， 由叠加法求解。 J J i
i
4、刚体力学中的功和能 (1)力矩的功
A Md
1 2
2 1 3 ω = mg 4 2 (JM +Jm )
L L ( 1 cos θ) θ ) +M g 2(1 cos
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θ max= arc
3 9 9 2 2 1 1 ( 4 m + 2M )( 16m + 3M )g L 16m v cos 3 1 m ( 4 + 2 M )g L
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例题2 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ， 令圆 盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转 ，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
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m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
J m2 m1 2 r
a m2 m1 g M / r r m m 1 m r 2 1 2
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有
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5、一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平 轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有 一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全 非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。 试求： 1. 碰撞后系统的角速度； 2. 碰撞后杆子能上摆的最 大角度。
3L 4 m v
θ
L
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此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M r dmg g r red dr g e
2 0
d r 2 dr
0
R
2 g e R 3 3
因m=eR2，代入得
2 M mgR 3
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.
1 2
2、转动定律
d M J J dt
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值得注意的是：J和M必须是一个刚体对同一转轴 的转动惯量J和力矩M。若同时存在几个刚体，原 则上应对每个刚体列出 M i J i i
3、转动惯量
J mi ri
i
2
(离散)
J r 2 dm (连续)
刚体的转动惯量与刚体的质量、形状以及转轴的 位置有关。
刚体的转动 习题课
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本章提要
1、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式
d d 角速度 角加速度 dt dt 距转轴r处质元的线量和角量的关系 v r a r an r 2
匀角加速转动公式
0 t 0t 2t 2 0 2 2 2
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
m1 m2
T1 T1
T2 T2
a m1 G1
a m2
a G2
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因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺 时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程
T1 G1 m1a G2 T2 m2 a T2r T1r M J
解：杆 地球系统， ∵只有重力作功，∴ E 守恒。 初始： E 令 E 末态： E E 则：
k1
0， 0 1 J o 2 ,
P1
l 1 2 Jo mg sin 0 2 4
P2
2 l mg sin 4
(1)
k2
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由平行轴定理
l 2 2 1 2 Jo Jc md ml m( ) 12 4
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体 1和2的加速度a， 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和 m2 相近，从而使它们的加速度 a 和速度 v 都较小， 这样就能角精确地测出a来。
解二：
M J 1 mg L cos M 3g cos 2 1 2 J 2L mL 3
d d d d dt d dt d
L
θ
2
L 2
mg
0
d d
0
0
3 g cos d 2L
3g sin L