高考数学压轴专题新备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编含答案解析

《坐标系与参数方程》考试知识点
一、13
1．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=︒，点P 在弧BC 上运动，
AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v
，则3m n -
的最大值是（）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．23
【答案】C 【解析】 【分析】
以A 为原点可建立坐标系，设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o
；根据AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v 可求得cos 3sin 2sin m n θθθ
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩，从而得到()
32sin 60m n θ-=+o
，利用三角函数值域求
解方法可求得结果. 【详解】
以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：
设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ，则()0,0A ，()10B ,，31,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，3122AC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v
AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v Q 3
cos 21sin 2m n n
θθ⎧=-⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩
，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o
0150θ≤≤o o Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1sin 6012
θ∴-≤+≤o
132m n ∴-≤-≤，即3m n -的最大值为2
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.
2．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系
是( ) A ．相切 B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆
心 【答案】D 【解析】 【分析】
分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】
圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=
圆心到直线的距离为：9
25
d r =
<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.
3．参数方程
（为参数）所表示的图象是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

【详解】
由题意知将代入，得，
解得，因为，所以.故选：D。

【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。

消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。

4．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。

【详解】
曲线表示半圆：，
所以.
取，结合图象可得.故选：D。

【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

5．在同一直角坐标系中，曲线
经过伸缩变换
后所得到的曲线
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】 由，得
代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析
式。

【详解】 由伸缩变换得，代入
，有，
即.所以变换后的曲线方程为
.故选：C 。

【点睛】
本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

6．若实数x ，y 满足()()2
2
512196x y ++-=，则2
2x y +的最大值为( )
A ．1
B ．14
C ．729
D ．27
【答案】C 【解析】
设14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，利用辅助角公式可得
22x y +()364sin 365t α=-+，由三角函数的有界性可得结果.
【详解】
由222(5)(12)19614x y ++-==，
22
51211414x y +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 令5cos 14x t +=， 12
sin 14
y t -=， 则14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，
因此2
2x
y +22(14cos 5)(14sin 12)t t =-++
140cos 336sin 365t t =-++
1252813sin cos 3651313t t ⎛⎫
=⨯⨯⨯-⨯+ ⎪⎝⎭
()364sin 365t α=-+（其中5sin 13α=
,12
cos 13
α=） 又1sin()1t α-≤-≤Q
221729x y ∴≤+≤
因此最大值为729，故选C. 【点睛】
本题主要考查圆的参数方程的应用，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于综合题.
7．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ）
A ．2
B ．4
C D ．【答案】D 【解析】 【分析】
把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离d r =+求得答案。

【详解】
因为2cos 4sin ρθθ=-，所以22cos 4sin ρρθρθ=-， 22
24x y x y +=-，即
22
(-1）+（y+2）5x =。

圆心为（1，-2），半径r =O 到圆上的最大距离，
等于点O 到圆心的距离d 加上半径r ，且d ==
，所以PO
的最大值为D 。

本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法。

8．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的
1
2
；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）
A ．1'2'3x x y y
⎧=⎪⎨⎪=⎩
B ．'2'3x x
y y =⎧⎨
=⎩
C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【答案】A 【解析】 【分析】
首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

【详解】
解：由sin y x =变成3sin 2y x =''
设伸缩变换为(,0)x x
y y λλμμ'=⎧>⎨
'=⎩，代入3sin 2y x =''，得3sin 2y x μλ=，又因为sin y x =，则312μλ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，得123x x y y ⎧
'=⎪⎨
⎪'=⎩，故选A 。

【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系的伸缩变换。

9．
设曲线:sin x C y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数）与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴上，则直线PM 与PN 的斜率之积为（ ） A ．
1
3
B ．13
-
C ．
34
D ．43
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由曲线C 的参数方程，求得曲线C 的普通方程为2
213
x y +=，可设
(3,0),(3,0)M N -，(3cos ,sin )P ϕϕ，再根据斜率公式，得到
22sin 3cos 3
PM PN
k k ϕϕ⋅=-，即可求解． 【详解】
由题意，曲线3cos :sin x C y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数），所以曲线C 的普通方程为2213x
y +=，
又由曲线C 与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴
上，
可设(3,0),(3,0),(3cos ,sin )M N P ϕϕ-， 则直线PM 与PN 的斜率之积：
22
sin 13cos 333cos 33cos 3
PM PN
k k ϕϕϕϕ⋅=⋅==--+-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程的互化公式，利用直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．参数方程21,11x t
y t t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）所表示的曲线是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
消参化简整理得2
2
1x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】 将1
t x =代入211y t t
=
-，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选:D. 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．椭圆22
1164
x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离是（ ）
A ．3
B 11
C ．22
D 10
【答案】D 【解析】【分析】
设椭圆
22
1
164
x y
+=上的点P（4cosθ，2sinθ
），由点到直线20
x y
+=的距离公
式，计算可得答案．【详解】
设椭圆
22
1
164
x y
+=上的点P（4cosθ，2sinθ）
则点P
到直线20
x y
+=的距离
=
，
max
d==，故选D．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
12．已知圆的极坐标方程为4sin
4
P
π
θ⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，则其圆心坐标为（）
A．2,
4
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
3
2,
4
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．2,
4
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
D．()
2,0
【答案】B
【解析】
【分析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.
【详解】
由题意知，圆的极坐标方程为4sin
4
π
ρθ⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，即ρθθ
=-，
即2sin cos
ρθθ
=-
，所以220
x y
++-=，
所以圆心坐标为(，
又由
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
，可得圆心的极坐标为
3
(2,)
4
π
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直
角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13．在极坐标系中，曲线C 的方程为2
23
12sin ρθ
=
+，以极点O 为直角坐标系的原点，
极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）
A ．1⎡⎤⎣⎦
B ．[]3,1-
C ．[]22-,
D ．[]
2,1--
【答案】B 【解析】 【分析】
将曲线C 的方程2
2
312sin ρθ=+化为直角坐标形式，可得2
213
x y +=，设
x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.
【详解】
解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程2
23
12sin ρθ
=
+，
可得：2
2
2
2sin 3ρρθ+=，即2
2
33x y +=，2
213
x y +=
设x α=，sin y α=，
可得1sin 1sin )12sin()1213
x y π
ααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.
14．已知直线:2x l y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程2
2,y x l =与C 交于12,P P ，则
点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）
A ．4
B ．2(2+
C ．4(2
D ．8+
【答案】C 【解析】 【分析】
先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解.
【详解】
将直线l
参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2
＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2
，
t 1′t 2′＝16>0.
由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方，
则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2
．
故答案为C
【点睛】
(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.
15．将点的直角坐标(－2，
化成极坐标得( )．
A ．(4，23π)
B ．(－4，23π)
C ．(－4，3π)
D ．(4，3
π) 【答案】A
【解析】
【分析】
由条件求得ρ=
cos x θρ=、sin y θρ=的值，可得θ的值，从而可得极坐标.
【详解】
∵点的直角坐标(2-
∴4ρ==
=，21cos 42x θρ-===-
，sin 42y θρ=== ∴可取23πθ=
∴直角坐标(2-化成极坐标为24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
故选A.
【点睛】
本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用ρ=cos x
θρ=、sin y
θρ=(θ由(),x y 所在象限确定).
16．已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E
=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆
22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）
A ．[3,5]
B ．[2,5]
C ．[2,4]
D ．[3,4]
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围.
【详解】
由题意可知，(D c
，7,55E c ⎛-- ⎝⎭， 将,D E 代入椭圆方程得222222222
2112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ，
设()cos ,sin P θθ， 则
12PF PF ⋅== 所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5].
故选：A
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.
17．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。

若射线3πθ=
与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则
AB 等于（ ）
A ．31-
B ．31+
C ．1
D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】
把3πθ=
分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答案．
【详解】
由题意，把3πθ=
代入2sin ρθ=，可得2sin 33A πρ==， 把3π
θ=代入2cos ρθ=，可得2cos 13B π
ρ==，
结合图象，可得31A B AB ρρ=-=-，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ
=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 经过伸缩变换1233x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ） A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线 【答案】C
【解析】
【分析】
将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ
=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进
行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
的伸缩变换后即可解. 【详解】 解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=
⇒+=+， 可得：223412x y +=，即22
143
x y +=， 曲线C
经过伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=， ∴伸缩变换得到的曲线是圆．
故选：C ．
【点睛】
考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.
其中将123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
转化为
2x x y =⎧=''⎪为解题关键.
19．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心
B ．相交但不过圆心
C ．相切
D ．相离 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．
【详解】 根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩
（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.
直线的方程为2161
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.
∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d =
=<，即直线与圆相交.
故选A.
【点睛】
本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.
20．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x x y y ''=⎧⎨=⎩
后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（ ）
A ．2225361x y +=
B ．2291001x y +=
C ．10241x y +=
D ．22281259
x y += 【答案】A
【解析】
【分析】 将伸缩变换53x x y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=中即可解. 【详解】
解：把53x x y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=，可得：()()225431x y +=，即2225361x y +=，
即为曲线C 的方程．
故选：A ．
【点睛】
考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单. 伸缩变换：设点(,)P x y 是平面直角坐标
系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩
的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.。