2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第6章数列27Word版含解析

【课时训练】第27节数列的概念与简单表示法
、选择题
1 * 1.(2018四川凉山诊断)数列｛a n｝满足
a n+ a n+1=空(n€ N ),a2 = 2,
S是数列｛a n｝的前n项和，则S21为（）
C. 9
【答案】13 ~2
【解
為 + a n+1 = 2，a2= 2,
・O n f3
—2, n为奇数,
•,S?1 = 11
x
(3、7
厂2!+ 10x 2=2.
1
2. （2018南昌模拟）在数列｛a n｝中, a1 = 1, a n a n-1 = a n -1 + (—
1)n(n>2, n€ N*)，则严的值是() a5
15
A.花
3 C. 3 15 8"
【答
【解由已知得a?= 1+ (—1)2= 2,「・2a3 = 2+ (—1)3, a3=2•*a4= *+ (—1)4, a4 = 3,「・3a5 = 3+ (—1)5,彷5= 2 1 3 3
3,・a5= 2A2 = 4.
1 1 1
3.（2018江西抚州七校联考）设為=+卫+n+3+…+
€ N*)，那么a n+1—a n=()
1
2n + 2
11
11
C -------- + -----
D -------------------------------- —— ---
2n +1 2n + 2 • 2n +1 2n + 2
A ------- 2 n + 1
*
N , - - a + 1 =
1
n + 1 + n + 1 '
4. （2018河北石家庄二中调研 ）已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =
1
2 - 15’
则其最大项和最小项分别为 1, 0, 1 C7 —— 【答案】A
1,
丄
1【解1
= —— 13， a
2
=——11,
1
a
3
=
a 4 = 1,则当
n >4时，a n > 0.又当
n >5 时,
a
n
——a n - 1 = n ——n 4
2n ——15 2n -* 1 ——15
——2n -1
(2n — 1M2n -1- 15 )< 0 所以a n V a n —— 1,于是数列｛a n ｝的最大项为
1,
1 最小项为一7. 5. （2018浙江湖州模拟）已知数列｛a n ｝的前n 项和S= 2a . — 1,
【答案】D
1
111 1 1
【解析】Tan = --- + ---- + ----- +…+ --- + -----, n€
n+1 n+ 2 n+ 3 n+ n—1 n + n
1 1 1 1
+ + …+ + + n + 2 n + 3 n+1 + n—1 n+1 +n
1111
满足覺＜2的正整数n 的集合为()
A • {123}
B • {2,3,4}
C . {123,4}
D • {123,4,5}
【答案】C
【解析】因为S n = 2a n - 1,所以当n 》2时，S -1 = 2a n -1- 1，两 式相减得 a n = 2a n — 2a n -1，整理得 a n = 2a n -1•又 a
〔 = 2a 1-1,所以 a 1 =1,故 a n = 2
n -1
•又賈＜2,即 2n -1w 2n ,所以有 n €
{1,2,3,4}.
6. （2019河南信阳调研）已知数列｛a n ｝满足a 1 = 2, € N *)，则a 2 018的值为(
)
A . - 8
B . - 3 1
C . — 4
D . 3
【答案】B
1 + a n * 1 【解析】 由 a 1 = 2, a n +1 = (n € N )得，a 2=- 3, a 3=-3, 1-a n
2
—3.
7 . （2018广西南宁模拟）已知数列｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式分别为 a n =—於 + 4n + 5, b n = n 2 + （2 — a ）n — 2a.若对任意正整数 n , a n v 0 或 b n v 0,贝S a 的取值范围为（） A . (5, + x ) B . (— = , 5) C . (6, + x )
D . (— x, 6)
【答
案】
A
1 + a n
a n +1= (n
i — a
a 4 = 1
3, a 5 = 2,可见数列{a n }的周期为4,所以a 2 018 = a 504x
4 + 2= a 2 =
1 【解析】 由 a n =- -n
2 + 4n + 5= — (n + 1)(n — 5)可知，当 n ＞5 时,
a n v 0.由
b n = n + (2 — a)n — 2a = (n + 2)(n — a) v 0 及已知易知一2v n
v
a ,为使当O v n W 5时，
b n v O ,只需a >5.故选A.
8. (2018保定调研)在数列｛a n ｝中，已知a i = 1, a .+ i = 2a + 1, 则其通项公式a n =()
A . 2n — 1
B . 2n 7 + 1
C . 2n — 1
D . 2(n — 1)
【答案】A
【解析】 由 a n +1= 2a n +1,可求 a 2= 3, a 3= 7, a 4 = 15,…，验 证可知a n = 2n — 1.
9 . （2018宁夏银川模拟）若数列｛a n ｝满足（n — 1间=（n + 1囘-
1
（n 》2）且a 1 = 2,则满足不等式a n v 462的最大正整数n 为（ ）
A . 19
B . 20
C . 21
【答案】B
n +1
=n(n + 1).又 a n v 462, n — 1
n(n + 1)v 462,所以 n 2+n — 462v 0,
即(n — 21)(n + 22)v 0,因为 n >
0,所以n v 21.故所求的最大正整数n = 20.
二、填空题
10. （2018湖北八校联考）已知数列｛a n ｝的通项公式a n = 2 3n —
1 n 为偶数，
2n — 5n 为奇数，贝— --------------- .
【答案】54
【解析】由题意知，a 3 = 2X 3 — 5= 1, a 4 = 2X 34-1
= 54, —a 3a 4
D . 22
【解析】由(n — 1)a n = (n + 1)a —1得, 並=凹,贝y a n = a 1X n — 1
a n — 1
1 2
11. (2018潍坊模拟)已知数列®｝的前n项和S = 3&n+3,则®｝
的通项公式a n= _________ .
【答案】［―1
1 2
【解析】当n= 1时，a〔= Si = 3*1 + 3,
1 1
• a〕= 1;当n》2 时，a n = S n —S n—1 = 3a n —3务-1 ,
1
•••数列｛a n｝是首项a1= 1,公比q= —2的等比数列，故a n =
三、解答题
12. (2018安徽淮南第四次考试)已知数列｛a n｝, ｛b n｝, S为数列｛a n｝的前n 项和，且满足a2= 4b , S n= 2a. —2, nb n +1—(n + 1)b n = n3 + n2(n€ N ).
(1) 求数列｛a n｝的通项公式；
(2) 求数列｛b n｝的通项公式.
【解】(1)当n= 1 时，S = 2a1 —2，则a1 = 2.
n》2.
综上，数列｛a n｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n= 2n, *
n€ N .
(2) T a2 = 4b1 = 4,「. d= 1.
T nb n+[ —(n+ 1)b n= n3+ n2,「. —bn= n,
n 1\ 丿n n+1 n
b3 b2 c b2 , c
2= 2, 2—1= 1, n》2,
a n 1
a n-1 °.
当n>2 时,由^ = 2a2—2,2
S n-1 = 2a n-1 —2 得a n= 2a n —2a n—1,则a n = 2a n—1, 3 = n—1 •
n—1 '' 3
将上面各式累加得半—号=1+ 2+ 3+…+(n—1)=严产
n? —n? + 2n *
…b n= 2 , n € N .
13. (2018福建清流一中模拟)设数列｛a n｝的前n项和为S.已知a1 = a(a € R 且 a 工3), a n+1= S+ 3n, n € N .
(1) 设b n= 3n，求数列｛b n｝的通项公式；
(2) 若a n+1 >a n, n€ N*，求a的取值范围.
【解】(1)由题意知，S n + 1 —Si = a n + 1= Si + 3“ ,
即Sn+1 = 2S n+ 3n,由此得Sn+1 —3“+1= 2S n + 3“一3叫1= 2(& —3n), 又S1 —31= a —3(a 丰 3),
故数列｛S —3n｝是首项为a—3,公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n= Sn —3n= (a—3)2n—1, n€ N*.
(2)由(1)知S = 3n+ (a—3)2n—1, n€ N*,
于是，当n》2 时,a n= S n—S — 1 = 3 + (a—3)2 ——3 ——(a —3)2n -2= 2X 3n-1+ (a—3)2n—2,
所以a n+1 —a n= 4X3n-1+ (a—3)2n-2= 2n-2”2 卽-2+ a—3',
当n》2 时，a n+1》a n? 12 •+ a —3》0? a》一9.
又a2 = a〔+ 3> a1.
综上，所求的a的取值范围是［—9,3）U （3，+乂）.
n€ N，故a n+1 —a n= + —= —
2n+ 1 2n + 2 n+ 1 2n+ 1 1
2n + 2。