河北省唐山市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Wo

2016-2017学年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈Z||x|＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于（）A．（1，4） B．[1，4） C．{1，2，3}D．{2，3，4}
2．已知角θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ=（）
A．B．C．D．
3．已知幂函数f（x）=λ•xα的图象过点，则λ+α=（）
A．2 B．1 C．D．
4．函数f（x）=2﹣x+1﹣x的零点所在区间为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
5．已知是两个不共线的向量，且与共线，则m=（）
A．B．C．3 D．﹣3
6．函数f（x）=的值域为（）
A．（1，3） B．（1，3]C．[1，3） D．[1，3]
7．在△ABC中，，P在边BC上且BP=2PC，则=（）
A． B． C． D．
8．已知a=log34，b=logπ3，c=50.5，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
9．设f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=﹣f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=x+2，则当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）
A．f（x）=x+4 B．f（x）=2+|x+1|C．f（x）=2﹣x D．f（x）=3﹣|x+1|
10．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）
A ．f （x ）的一个对称中心为
B ．f （x ）的图象关于直线对称
C ．f （x ）在上是增函数
D ．f （x ）的周期为
11．要得到函数图象，只需要将函数的图象
（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移
个单位 D ．向右平移
个单位
12．关于x 的方程4x ﹣m•2x +1+4=0有实数根，则m 的取值范围（ ） A ．（1，+∞） B ．[1，+∞） C ．（2，+∞） D ．[2，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数f （x ）=0.3|x |的值域为 ． 14．若lg 25+lg2lg50的值为 ．
15．sin40°（tan190°﹣
）= ．
16．某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为 万元．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知α∈（﹣，0），cosα=．
（1）求sin2α的值；
（2）求的值．
18．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．
（1）若垂直，求λ的值；
（2）求向量在方向上的投影．
19．已知向量
（1）求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调增区间；
（2）画出函数f（x）在[0，2π]上的图象．
20．已知函数f（x）=a•2x﹣2﹣x定义域为R的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）若不等式f（9x+1）+f（t﹣2•3x+5）＞0在在R上恒成立，求实数t的取值范围．
21．已知函数f（x）=，
（1）若m=2，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰有2个零点，求实数m的取值范围．
22
．在△ABC中，sinB+sin=1﹣cosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+cosC的取值范围．
2016-2017学年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈Z||x|＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于（）A．（1，4） B．[1，4） C．{1，2，3}D．{2，3，4}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z||x|＜4}={x∈Z|﹣4＜x＜4}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，
∴A∩B={1，2，3}，
故选：C．
2．已知角θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ=（）
A．B．C．D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．
【解答】解：∵角θ的终边过点P（﹣12，5），则r=|OP|=13，
∴cosθ===﹣，
故选：B．
3．已知幂函数f（x）=λ•xα的图象过点，则λ+α=（）
A．2 B．1 C．D．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】利用幂函数定义求出λ=1，再由待定系数法求出α，由此能求出λ+α．
【解答】解：∵幂函数f（x）=λ•xα的图象过点，
∴，
解得，
∴λ+α=1+=．
故选：C．
4．函数f（x）=2﹣x+1﹣x的零点所在区间为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】判断函数的单调性以及函数的连续性，利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=2﹣x+1﹣x是单调减函数，也连续函数，
因为f（1）=2﹣1+1﹣1=，f（2）=2﹣2+1﹣2=＜0，可得f（1）f（2）＜0，所以函数的零点所在区间为（1，2）．
故选：C．
5．已知是两个不共线的向量，且与共线，则m=（）
A．B．C．3 D．﹣3
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用共线向量的性质列出方程，由此能求出m的值．
【解答】解：∵是两个不共线的向量，且与共线，
∴，
解得m=．
故选：A．
6．函数f（x）=的值域为（）
A．（1，3） B．（1，3]C．[1，3） D．[1，3]
【考点】函数的值域．
【分析】利用三角函数的有界限直接求解．
【解答】解：∵sinx∈[﹣1，1]，
∴sinx+2∈[1，3]，
∴函数f（x）=的值域为[1，3]，
故选D．
7．在△ABC中，，P在边BC上且BP=2PC，则=（）
A． B． C． D．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】将向量用+表示，根据BP=2PC，可将向量用与表示，最后根据平面向量基本定理可得结论．
【解答】解：∵P在边BC上且BP=2PC，
∴=+=+=+（﹣）=+，
∵，
∴=，
故选：C
8．已知a=log34，b=logπ3，c=50.5，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的运算性质比较三个数与1和2的大小得答案．【解答】解：∵a=log34＞1，b=logπ3＜1，
c=50.5=，
而a=log34＜log39=2，
∴c＞a＞b．
故选：D．
9．设f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=﹣f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=x+2，则当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）
A．f（x）=x+4 B．f（x）=2+|x+1|C．f（x）=2﹣x D．f（x）=3﹣|x+1|
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】求出函数的周期，利用已知的函数的解析式求解所求的函数的解析式即可．
【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=﹣f（x+1），
可得f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
函数的周期为：2，
当x∈[0，1]时，f（x）=x+2，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=f（﹣x）=﹣x+2，
当x∈[﹣2，﹣1]时，x+2∈[0，1]，f（x）=f（x+2）=x+4，
x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，f（x）=f（﹣x）=﹣x+2，
即当x∈[﹣2，0]时，f（x）=3﹣|x+1|．
故选：D．
10．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）
A．f（x）的一个对称中心为
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在上是增函数
D．f（x）的周期为
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得A=3，==﹣，∴ω=2，再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴
φ=，
∴y=3sin（2x+）．
显然，它的周期为=π，故排除D；
当x=时，函数y=f（x）=3sin（2x+）=0，故函数的图象关于点对称，故A正确．
当时，f（x）=，不是最值，故f（x）的图象不关于直线对称，故排除B；
在上，2x+∈[﹣，﹣]，y=3sin（2x+）不是增函数，故排除C，
故选：A．
11．要得到函数图象，只需要将函数的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数y=3sin（2x+）=3cos[﹣（2x+）]=3cos（﹣2x）
=3cos（2x﹣）=3cos[2（x﹣）]，
=3cos[2（x﹣）]=3cos[2（x﹣﹣）]，
∴把函数的图象向左平移个单位，可得函数y=3sin（2x+）的图象．
故选：A．
12．关于x的方程4x﹣m•2x+1+4=0有实数根，则m的取值范围（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】分离参数，利用基本不等式，即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程4x﹣m•2x+1+4=0有实数根，
∴m=（2x+4•2﹣x）成立，
∵2x+4•2﹣x≥2=4，∴m≥2，
故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数f（x）=0.3|x|的值域为（0，1] ．
【考点】函数的值域．
【分析】利用换元法，设u=|x|，可得u≥0．则f（u）=0.3u是一个单调递减，根据复合函数的性质可得值域．
【解答】解：函数f（x）=0.3|x|
设u=|x|，可得u≥0．则f（u）=0.3u是一个单调递减的函数，
当u=0时，函数f（u）取得最大值为1，
∴函数f（x）=0.3|x|的值域为（0，1]，
故答案为（0，1]．
14．若lg25+lg2lg50的值为1．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数的运算法则及其lg5+lg2=1．
【解答】解：原式=lg25+lg2（lg5+1）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2
=1．
故答案为：1．
15．sin40°（tan190°﹣）=﹣1．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】化切为弦，然后利用两角差的正弦及诱导公式化简求值．
【解答】解：sin40°（tan190°﹣）=sin40°（tan10°）
=sin40°（）=sin40°•
=sin40°=﹣=．
故答案为：﹣1．
16．某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为130万元．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】增长率问题的一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．本题中a就是2016年的经营收入，b就是2018年的经营收入，从而可求出增长率的值，进而可求2017年预计经营总收入．
【解答】解：2016年的经营总收入为400÷40%=1000（万元）．
设年增长率为x（x＞0），依题意得，1000（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=﹣2.3，
∵x＞0
∴x2=﹣2.3不合题意，
∴只取x1=0.3．
1000（1+x）=1000×1.3=130（万元）．
即2017年预计经营总收入为130万元．
故答案为：130．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知α∈（﹣，0），cosα=．
（1）求sin2α的值；
（2）求的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）（2）根据同角三角函数关系式和二倍角即可求值．
【解答】解：（1）∵
∴，
（2）由（1）可知tanα==﹣2，
那么：
18．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．
（1）若垂直，求λ的值；
（2）求向量在方向上的投影．
【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】（1）根据向量坐标运算和向量的垂直计算即可；
（2）根据向量投影的定义即可求出．
【解答】解：，
由于与垂直，
∴2λ+1+2（2﹣3λ）=0，
∴，
（2）设向量与的夹角为θ，向量在方向上的投影为，
∴
19．已知向量
（1）求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调增区间；
（2）画出函数f（x）在[0，2π]上的图象．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的数量积和二倍角公式化简即可，并根据三角函数的性质即可求出单调区间，
（2）利用五点作图法，即可得到函数的图象．
【解答】解：
（1）
=，
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．
（2）列表如下：
π
π
画出函数f（x）在区间[0，2π]上的图象．
20．已知函数f（x）=a•2x﹣2﹣x定义域为R的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）若不等式f（9x+1）+f（t﹣2•3x+5）＞0在在R上恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）利用奇函数的判定即可得出a的值；
（2）根据单调性的定义判断，得出f（x1）﹣f（x2）＜0；
（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为t＞﹣9x+2•3x﹣6，利用换元法和二次函数的知识求出右式的最小值即可．
【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，即a•2﹣x﹣2x=﹣（a•2x﹣2﹣x）．
即（a﹣1）（2﹣x+2x）=0，
∴a=1；…
（2）f（x）为R上的增函数．下面证明：
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣（﹣）
=（﹣）+=（﹣）（1+）
∵x1＜x2，
∴﹣＜0，1+＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）为R上的增函数．…
（3）∵不等式f（9x+1）+f（t﹣2•3x+5）＞0在R上恒成立
∴f（9x+1）＞﹣f（t﹣2•3x+5）=f[﹣（t﹣2•3x+5）]=f（﹣t+2•3x﹣5），
∵f（x）为R上的增函数
∴9x+1＞﹣t+2•3x﹣5，t＞﹣9x+2•3x﹣6，即t＞﹣（3x﹣1）2﹣5
当3x﹣1=0，即x=0时，﹣（3x﹣1）2﹣5有最大值﹣5，
所以t＞﹣5…
21．已知函数f（x）=，
（1）若m=2，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰有2个零点，求实数m的取值范围．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）若m=2，化简f（x）=，然后分段函数求解
函数的最小值即可．
（2）①若f（x）在1≤x＜3时有1个零点，列出不等式求解；②若f（x）在1≤x＜3时无零点，则m＜0或1﹣m≤0，求解m的取值范围．
【解答】解：（1）若m=2，则f（x）=，
当1≤x＜3时，f（x）=log3x﹣2，﹣2≤f（x）≤﹣1，f（x）min=﹣2
当x≥3时，f（x）=3（x﹣2）（x﹣4）=3（x﹣3）2﹣3，f（x）min=﹣3
∴f（x）的最小值为﹣3．…
（2）①若f（x）在1≤x＜3时有1个零点，则m＜0或，∴0≤m＜1此时需f（x）在x≥3时有1个零点，
∴∴m无解，…
②若f（x）在1≤x＜3时无零点，则m＜0或1﹣m≤0，即m＜0或m≥1，
此时f（x）在x≥3时有2个零点
当m＜0时，f（x）在x≥3时无零点，不符合题意，
当m≥1时，f（x）在x≥3时有2个零点，则m≥3
综上，m的取值范围为[3，+∞）…
22
．在△ABC中，sinB+sin=1﹣cosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+cosC的取值范围．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）利用二倍角公式化简可得B的大小．
（2）利用三角形内角和定理消去一个角，转化为三角函数有界性的问题求解范围即可．
【解答】解：（1）由sinB+sin=1﹣cosB．
可得：2sin cos+sin=1﹣（1﹣2）
⇔2cos+=2sin
⇔=2sin（）
⇔sin（）=，
∵0＜B＜π，
∴0＜＜π，
∴＜＜，
∴sin（）=sin
∴B=；
（2）由（1）可得B=，
∴A+C=，
那么：sinA+cosC=sinA+cos（﹣A）=sinA cosA=sin（A+），
∵0＜A＜，
∴＜A+＜，
sin（A+）∈（，），
∴sinA+cosC的取值范围是（，）．
2017年2月26日。