黑龙江省哈尔滨市高三数学第四次模拟考试试题 理-人教版高三全册数学试题

某某省某某市2017届高三数学第四次模拟考试试题 理
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120
分钟．
（1）答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,
字体工整, 字迹清楚；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．)
1.若复数i z 21+=，则复数z 的模等于 A.5B.2C.3D.2
2. 设集合{}
)1(log 2-==x y x A ，{
}
x y y B -=
=2，则=B A
A.(]2,0
B.()2,1
C.()∞+，
1 D.(]2,1
3.已知数列{}n a ,那么“对于任意的n N *∈，点),(n n a n P 都在曲线x
y 3=上”是“数列{}n a 为等
比数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 对于平面α和不重合的两条直线n m 、，下列选项中正确的是 A ．如果,α⊂m n ∥α，n m 、共面，那么m ∥n B ．如果,α⊂m n 与α相交，那么n m 、是异面直线 C ．如果,α⊂m α⊄n ，n m 、是异面直线，那么n ∥α D. 如果α⊥m ，m n ⊥，那么n ∥α
5. 若圆()()22
21
1x y r -+
+=上有且只有两个点到直线10x y -+=
的距离等于
2
,则半径r 的取值X 围是
A.
B.
C. D.
6.下面几个命题中，真命题是
A.“若y x >,则y
x 1
1<”的否命题；
B.“1>∀a ，函数x y a log =在定义域内单调递增”的否定；
C.“π是函数x y sin =的一个周期”或“2
π
是函数x y 2sin =
的一个周期”；
D.“1≤+y x ”是“1≤+y x ”的必要条件
7. 执行如图所示的程序框图，若输出16=S ，则框图中①处 可以填入
A.2>n
B.4>n
C.6>n
D.8>n
8.已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回
地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下， 第二次也抽到红球的概率是 A.
21B.53C.52D.5
1 9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n S n -22
=，则数{}n a 2的前10项和等于
A.380
B.390
C. 400
D. 410
10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A.π36 B.
π30 C.π29 D.π20 11.
已知函数)3sin(
)(π
ω-
=x x f ()0>ω，若函数()f x 在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ23，上为单调递减函数，则实数ω的取值X 围是
4 3 俯视图
侧视图
A.]911,32[
B.]911,65[
C.]43,32[
D.]6
5
,32[ 12.
)(x f 为定义在R
上的偶函数，
)(x f '为其导函数，当
时，有0<x 成立，
x e x x f x f =+
')
()(e f 1-)1-(=且，则下列结论正确的是
A.()f x 在)0(∞+，单调递增
B.()f x 在)0(∞+，单调递减
C.()f x 在)0,(-∞有极大值
D.()f x 在)0,(-∞有极小值
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）
13. 二项式
6)2x
x +（的展开式中常数项为
14. 已知随机变量X 服从正态分布),5.1(2σN ，(X 2.5)0.78P ≤=，则(X 0.5)P ≤= 15.已知P 为ABC ∆内一点，满足=++−→
−−→
−−→
−PC PB PA 20，则PAB ∆和ABC ∆的面积比为 16.已知)2,1(2
3)1(1
≥>-+-=
-n b b
b b n a n n ，若对不小于4的自然数n ，恒有不等式n n a a >+1成立，则实数b 的取值X 围是
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
222sin sin sin 3sin A C B A C +-=⋅.
（Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11=BC ，()5
cos 5
A C -=，求线段DC 的长.
18．（本小题满分12分）
为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期 4月1日 4月2日 4月3日 4月4日 4月5日
温差x /℃ 12 11 13 10 8 发芽数y /颗
26
25
30
23
16
（Ⅰ）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；
（Ⅱ）请根据4月1日，4月2日，4月3日这3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
ˆˆˆy
bx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程， 预测温差为16C ︒时，种子发芽的颗数.
（参考公式：∑∑==--=n i i n
i i
i x
n x y
x n y
x b
1
2
2
1
ˆ，x b y a
ˆˆ-=）
19. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为边长为2的菱形，︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅱ）求二面角B FC D --的余弦值.
20. （本小题满分12分）
E
D
F
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：E 122
22=+b
x a y ()0>>b a 经过点()
0,3A 和点()2,0B ，
斜率为k ()0≠k 的直线经过点()02，
P 且交E 于N M ,两点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）当AOM ∆与AON ∆面积比值为λ，某某数λ的取值X 围.
21.（本小题满分12分）
已知函数1
()4ln ()f x x ax a x
=-+
∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程与直线410x y +-=垂直， 求a 的值；
（Ⅱ）若)(x f 在(0,)+∞上为单调递减函数，求a 的取值X 围； （Ⅲ）设n m <<0，求证：
()2ln ln 1
4n m n m mn
-<
-．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，将圆:O 42
2
=+y x 上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
2
1
，得到曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的参数方程；
（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线αθ=()0≥ρ与圆O 和曲线C 分别交于点B A ,，求AB 的最大值.
23. （本小题满分10分）
已知函数21f x tx tx （R a ∈）
（Ⅰ）当1t
时，解不等式1)(≤x f ；
（Ⅱ）若对任意实数t ，f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a
b
c
m 时，
m c b a ≤++ .
四模理科数学答案
一、选择题：
1-12：ACAAB DD CDC BA 二、填空题
13. 240； 14. 0.22； 15. 1:2； 16. ），（∞+3 三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，2
2
2
3a c b ac +-=所以3
cos 2
B =
. 因为()0,B π∈，所以6
B π
=
..............................................6分
（Ⅱ）由条件.由()()525cos sin 55
A C A C -=
⇒-=。

设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin BD AD
BAD B
=
∠. 455125
2x
x =⇒=.所以455AD DC ==...................12分 18.解：（Ⅰ）10
7
12523=-=C C P ；……………… 4分
（Ⅱ）32
5
^
-=
x y ； ……………… 9分
（III ）16=x 时，37^
=y ，种子发芽数为37 ………………12分 19解：（Ⅰ）因为FB //,
ED ⊂ED 平面,EAD ⊄FB 平面EAD ,所以FB //平面EAD
同理BC //平面EAD , …………………………..3分
又⊂=⋂FB B BC FB ,平面EAD ,BC ⊂平面EAD ,所以平面FBC /平面EAD 又⊂FC 平面FBC ,所以FC //平面EAD ………………………….6分
（Ⅱ）设O BD AC =⋂,易证⊥FO 平面ABCD ,又BD AC ⊥ 以O 为圆心,OF OC OB ,,分别为z y x ,,轴,建立空间直角坐标系,则 易得平面FCB 的一个法向量为)1,1,3(1=n ,
平面FCD 的一个法向量为)1,1,3(2-=n ,……………………8分 则二面角余弦值为5
1
…………………………………….12分
20. 解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为13
42
2=+x y …………………………..4 （Ⅱ）设点M ()11,y x ，N ()22,y x
⎪⎩⎪⎨⎧-==+)
2(1342
2x k y x y ，有0416)43(222=+++k ky y k 有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+-=+43443162221221k k y y k k y y 且(
)
40043162562
2
2
2
<<⇒>+-=∆k k k k (6)
21y y
S S AON AOM =∆∆21y y λ=⇒()⎩
⎨⎧=+=+⇒2
2212211y y y y y y λλ
有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+2222
224
3414
316-y k k y k k
λλ()λλ2214364+=+⇒k …..…………….……………….8 那么有实数λ的X 围是()()
347,11,34-7+⋃ (12)
21．解：（Ⅰ）()()241
,14134f x a f a a x x
''=
--=--=-=， 所以，1a =-. …………………………..3分. （Ⅱ）由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214
a x x
≥-+在()0,+∞恒成立.设()()214
,0,g x x x x
=-
+∈+∞，则()max a g x ≥⎡⎤⎣⎦。

()()2
1244,g x x ⎛⎫
=--+∈+∞ ⎪⎝⎭
，所以4a ≥. ………………………….7分
（III ）因为0m n <<，不等式
()
2ln ln 14ln ln ,42n m n m
n m n m
mn mn
--<
⇔-<-即1ln
2.2n n m
m m n
<-令n t m =，则1t >，则21ln 22t t t <-,即2
14ln 40t t t
-+<. 令()()2
14ln 41h t t t t t =-+
≥，由（Ⅱ）知，()214ln 4f x x x x
=-+在()0,+∞上单调递减，所以当1t >时，()()130h t h <=-<.故当0m n <<时，不等式()
2ln ln 4n m n m
mn
-<
-成立。

…………………………..12分 22. 解：（Ⅰ）圆的参数方程为⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x ()为参数θ
根据题意，曲线C 的参数方程为⎩
⎨
⎧==θθ
sin cos 2y x ()为参数θ……………………………….4 （Ⅱ） 令αθ=，则极坐标系中A ）（α,2，B
）（αα
,sin 3122
+
则α
2
sin 312-
2+=AB ，当2
π
θ=
是AB 取最大值1 (10)
23. 解：（Ⅰ）1=t 时，()12+--=x x x f
()⎪⎩
⎪
⎨⎧-<≤+--<=321,121
,3x x x x f 所以()1≤x f ，解集为[)∞+，0 (5)
（Ⅱ）由绝对值不等式得()()31212=+--≤+--tx tx tx tx 所以()x f 最大值为3，
32
3212121111=+++=+++++≤
⋅+⋅+⋅≤++c
b a
c b a c b a c b a
当且仅当1===c b a 时等号成立。

(10)。