大学物理竞赛力学辅导2016

这样可得
maCx mg sin f r maC y N mg cos J f r r
以上三式中， aCx和 aCy是圆柱体质心在 x 轴和 y 轴方 向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转 动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑 动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
力 学 基 本 概 念 及 补 充
力学部分主要公式：
d P （1). 牛顿第二定律 F dt d L （2). 角动量定理 M dt
对于质点,角动量 L r P 对于刚体,角动量 L J (3). 保守力与势能关系 F E p
(4). 三种势能 重力势能
aC R 纯滚动条件为 圆柱对质心的转动惯量为
F l f R JC

1 2 J C mR 2
aC
F
联立以上四式，解得
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
l<r/2, f>0, 静摩擦力向后 l>r/2, f<0, 静摩擦力向前 l=r/2, f=0
Ff 1
m2 g
FN1
l
对O点 l m2 gl cos m1 g cos 2 Ff 1l cos FN1l sin 0
m1g
FN2
O Ff 2

Ff 1 1FN1
则质心在此期间经过的距离为：
1 2 12 v s v0t aC t 2 49 g
则纯滚动时质心的速率为：
2 0

v0
Ff
5 vC v0 gt v0 7
例题 质量为m、半径为r的均质球位于倾角为θ的 斜面的底端，开始时，球的质心速度为零，球相对 于质心的转动角速度为ω0，如图所示。球与斜面之 间的摩擦系数为μ，球在摩擦力作用下沿斜面向上 运动，求解球所能上升的最大高度。 解：一开始，小球与斜面间 为滑动摩擦，有一定的质心 速度；随时间增加，质心速 度变小，当滚动角速度满足 纯滚动条件 v r ， C 即转为纯滚动。因此，整个 过程分为两步求解：
滑动滚动阶段 ：
2 2 又 r f J , J mr 5 5 g cos 2r
当
f mg sin maC f N mg cos aC g cos g sin
vC r 时 ，
0 t 20 r t (7 cos 2sin ) g vC aC t
此时有 ： v 2( cos sin ) r C 0
(7 cos 2sin ) 2( cos sin ) 0 (7 cos 2sin )
2 C
在此期间，沿斜面上升距离为 ：
v 2( cos sin ) r x1 2aC (7 cos 2sin ) g
C
设滑动摩擦力与速度无关，从而 f mg 为恒 力，由它作用在质心上的冲量和冲量矩可得：
mgt m(vC 0)
mgrt JC (0 )
联立以上三式，可解得所求解的参数
例 一质量为m、半径为R 的均质球放在粗糙的水平 面上，球与地面的摩擦系数为 ，在水平冲力作用 下获得一水平速度 v0 ，问球经过多少距离后变为纯 滚动？纯滚动时质心速率为多大？ 解：球在受冲击后水平方向只受摩擦力 作用，可得质心的运动方程为： maC mg 转动方程为： mgR
1 JC 2 Ek m1 v 2 C 2 mr
由机械能守恒定律得
1 JC 2 mgh m1 v 2 C 2 mr
求得
2 gh vC JC 1 2 mr
1 2 因 J mr 代入上式得 2
4 v gh 3
和以前的结果完全一致。
例 一质量为m、半径为R 的均质圆柱，在水平外力 作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线 与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心 的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力f 的方向如图所示，则由质心运 动方程： F f maC 圆柱对质心的转动定律
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保 持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平 面运动，这就叫刚体的平面平行运动。 根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度 有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转 动角度。
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相 对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
3
本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面 上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压 力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止 滚下，它没有初动能，只有重力势能 mgh， 当它滚动 下降这段高度时，全部动能是
1 1 2 2 Ek mv C J C 2 2
对纯粹滚动而言，vc=r，以此代入得
vC R aC R aC 是圆心（通常就 对于平面上的滚动，上式中 vC、
车轮的纯滚动
R A
B
RB
RA
RB
vC
A
RG
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
则
x R vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F m Fh Fh I I F ma 0 a0
[例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下, 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分 别为1 和2 ，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时,梯 子尚未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角.
l

O
[解]平衡条件
FN1 Ff 2 0 Ff 1 FN1 (m2 m1 ) g 0
从这个位置移动到势能零点处，保守力所做
FC dr
势能曲线
E p (h)
1 2 E ( x) kx E p ( x) p 2
A E
Ek
E
Ek
B
Ep
Ep (h) mgh
Ep
o
H H 重力势能
h
Ep
弹性势能
Ek 0
o
x
E
o
Ek
Ep
x
Mm E p (r ) G r
引力势能
aCx g sin
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
0 ，
0
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是 x，则质心所获得的速度由
v 2aCx x 2 gx sin 2 gh
2
求得
v 2 gh
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中， 我们看到，两者加速度之比是2/3，两者速度 之比是 2
(5). 保守力的特点
E p mgz 1 2 弹性势能 E p kx 2 Mm 万有引力势能 E p G r
F dr 0
L
作功与路径无关
(6). 势能的定义
Aa b E pa E pb
某个位置处的势能计算： If E pb 0 ， E pa =Aa "0" =
因此，滑动过程中上升高度为 ：
2 2 0
h1 x sin
纯滚动阶段 ，机械能守恒，此时
vC r
1 2 1 mvC J 2 mgh2 2 2

14( cos sin )2 2 2 h2 0 r 2 5g (7 cos 2sin )
因此，总的上升高度为：
势能曲线的作用： （1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。 （2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
A ( E p 2 E p1 ) E p d A d Ep d A F cos d x
Fx d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此 坐标的导数的负值。
例题 讨论一匀质实 心的圆柱体在斜面上 的运动。
y O x
N
fr
r

aCx
解 圆柱体所受的力共有三个：
重力G ，斜面的支承力N 和
G=mg

摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径
为r，那么，它对其几何的转动惯量
1 2 J mr 2
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和 斜面垂直而向上为y轴的方向
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在 Oxy 平面内运动， 则有平动方程
Fx maCx
Fy maCy
（2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于 空间固定平面的轴转动。
Lz JC
（3）纯滚动约束方程。
M z J C
aC R
vC R
二、滚动
主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常 质心就在圆的中心。
几种滚动的形式： 有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。
车轮的纯滚动
对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还 应该满足约束条件：
是质心）的速度和加速度大小； 和 为滚动物体的角 速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加 速度）；R 是滚动物体的圆半径。 对于曲面上的滚动，式中的 aC 应理解为圆心的切向 加速度。
J

由上两式，可得
aC g, vC v0 gt mgR mgR 5 g 2 J 5 g 2mR / 5 2 R t t 2R
v0
Ff
vC 逐渐减小， 逐渐增大。经过 随着时间增加， 时间 后，终于使得 vC 和 满足纯滚动条件： vC R 即： 2 v0 5 v0 gt gt t 7 g 2
例 一质量为m、半径为R 的均质圆柱以角速度 0 旋转。将它轻轻放在地面上，设地面的滑动摩擦系 数为 ，求圆柱体最后的前进速度和角速度。达 到这种运动状态经过了多少时间？ 解：轮子刚落地时接触点向后滑动，所以摩擦力 f 向前。这个摩擦力一方面推动圆柱体加速前进， 另一方面使它转动减缓。经过时间 t 后达到只 滚不滑的匀速滚动状态。设此时的质心速度为 vC ，角速度为 ，则有： v R
2 g sin 3 r
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x ，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin，这时质心 的速度由
4 4 v 2aCx x gx sin gh 3 3
2
求得
v
4 gh 3
如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即 fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
2 r ( cos sin ) h h1 h2 5 g (7 cos 2sin )
2 2 0
刚体的平衡
刚体的平衡方程
刚体平衡的充要条件 无平动 Fi 0
无转动
Mi 0
（对某定点如A）
当两条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢 量和也为零.
(7).转动动能
1 2 J 2
v ωr
M rF
(8).转动定律
d M J J dt
(9).转动惯量
a rβ
2
J ( ri mi )
2 i 1
N
J r dm
dm dl dm dS dm dV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
maC y 0
解上列五个式子，得
maC y 0
g sin g sin aC x ， 1 J r J 1 2 2 mr mr J fr 2 mg sin ， N mg cos mr J
1 2 因 J mr 代入上式得 2
2 aCx g sin ， 3 1 f r mg sin ， 3
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
2h 若：a0 r ，即：相对运动趋势向前， f 0 向后。 1 r ' a0 r ，即：相对运动趋势向后， f 0 向前。 2h 1 r 2h a0 r ，即：无相对运动趋势， f0 0 1 r