广东省湛江第一中学高二数学上学期第一次大考试题 文

湛江一中2016—2017学年度第一学期“第一次大考”
高二级文科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
(1) 已知等比数列{}n a 的公比为1
2
-
, 则135246a a a a a a ++++的值是( ).
(A) 2- (B) 12-
(C) 1
2
(D) 2 (2) 若数列{}n a 满足：*
1119,3()n n a a a n N +==-∈，而数列{}n a 的前n 项和数值最大
时，n 的值为( ).
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (3) 在等差数列{}n a 中,13a =,1033a a =,则{}n a 的前12项和12S =( ). (A) 120 (B) 132 (C) 144 (D) 168
(4) 将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为( )． (A)
6π (B) 3π (C) 4π (D) 12
π (5)
已知sin cos 5θθ+=,则tan()4
π
θ+= ( ). (A)
12 (B) 2 (C) 1
2
± (D) 2± (6) 若3
cos(
)45
π
α-=，则sin 2α=（ ）. (A)
7
25
(B) 15 (C) 15- (D) 725-
(7) 在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b
，若2sin a B =，则角A 等于( ).
(A)
12π (B) 6π (C) 4π (D) 3
π
(8) 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c o s c o s s i n b C c B a A
+=，则ABC ∆的形
状为( ).
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形
(D) 不确定
(9) 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2
2
()6,3
c a b C π
=-+=，则ABC ∆的面
积是( ).
(A) 3
(D)(10)数列{}n a 中，已知对任意*123,......31n n n N a a a a ∈+++=-，则222
2123
......n a a a a +++等于( ).
(A) 2
(31)n
- (B)
1(91)2n - (C) 91n - (D) 1
(31)4
n - (11) 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-*
()n N ∈，则{}n a 的前60项和为( )．
(A) 3690 (B) 3660 (C) 1845 (D) 1830
(12) 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016
3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( ). (A) 2015
20172⨯ (B) 2014
20172
⨯ (C) 2015
20162
⨯ (D) 2014
20162
⨯
第Ⅱ卷
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) 数列{}n a 中，111,32n n a a a +==+*
()n N ∈，则它的一个通项公式为_______.
(14) 设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= .
(15) 设数列{}n a 的前n 项和为n S , 若212a =, 21(n S kn n =-∈N *
), 则数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n S 的
前n 项和为 .
(16) 在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥
，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 .
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分10分)
如图，平面四边形ABCD
中，AB =
，AD =，
CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=，求
（Ⅰ）ADB ∠； （Ⅱ）ADC ∆的面积S .
(18) （本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，*1131,2(2,)5n n a a n n N a -=
=-≥∈，数列{}n b 满足*1()1
n n b n N a =∈-. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由．
(19) （本小题满分12分）
已知函数())cos()sin(2)44
f x x x x π
π
π=+
∙+-+．
(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期． (Ⅱ) 若将()f x 的图象向右平移
12
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在 区间[0,]2
π
上的最大值和最小值．
(20)（本小题满分12分）
ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，()()2sin 2sin 2sin b B a c A c a C =+++.
(Ⅰ) 求B 的大小； (Ⅱ)
若b =A =
4
π
, 求ABC ∆的面积．
(21)（本小题满分12分）
已知,,,A B C D 为同一平面上的四个点，且满足2,1AB BC CD DA ====,设,BAD ABD
θ∠=∆A
B
D
C
的面积为S ，BCD ∆的面积为T . (Ⅰ) 当3
π
θ=
时，求T ；
(Ⅱ) 当S T =时，求cos θ．
(22) （本小题满分12分）
设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 已知13a =, *
123()n n a S n N +=+∈.
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ) 令()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
湛江一中2016—2017学年度第一学期“第一次大考”
高二级文科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题
（1）A （2）B （3）D （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B
（9）C
（10）B
（11）D
（12）B
二．填空题
（13）1*
231()n n a n N -=⨯-∈
（14
） （15）
21
n
n +*()n N ∈ （16）5
三．解答题
(17) (本小题满分10分)
【解析】（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得：
sin 3sin 2
CD BD BCD CBD =
⋅∠==∠， …………………2分
在ABD ∆中，由余弦定理得：
222
cos 2AD BD AB ADB AD BD
+-∠=⋅
== …………………4分 所以45ADB ∠= …………………5分
A
B
D
C
（Ⅱ）因为30CBD ∠=，120BCD ∠=，所以30CDB ∠
=
因为6sin sin(4530)ADC ∠=+=…………………7分 所以1
sin 2
S
AD CD ADC =
⋅⋅
∠
12=
⨯=
…………………10分 (18) (本小题满分12分) 【解析】（Ⅰ）证明 因为*1
1
2(2,)n n a n n N a -=-
≥∈， *1
()1
n n b n N a =
∈- …………………1分 所以+111
1111
1111111
21n n n n n n n n n
a b b a a a a a a +-=
-
=-=-=------- ………4分
又1115
12
b a =
=-- ………………5分 所以数列{}n b 是以5
2
-为首项，1为公差的等差数列 …………………6 （Ⅱ）由（Ⅰ）知7
2
n b n =-， …………………7分
则121127
n n a b n =+
=+- …………………8分 设2()127f x x =+
-，则f(x)在区间7(,)2-∞和7
(,)2
+∞上为减函数． ……………10分 所以当3n =时，n a 取得最小值－1，当4n =时，n a 取得最大值3 ……………12分
(19)（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ） ())cos()sin(2)44
f x x x x π
π
π=+
∙+-+
2sin 2x x =
+ …………… 3分
2sin(2)3
x π
=+
……………5分
于是T π= …………… 6分（Ⅱ）由
条件可得()()2sin(2)126
g x f x x ππ
=-
=+ ……………8分 由于7[0,],2[,]2666x x ππππ
∈∴+∈， ……………10分
1
sin(2)[,1]62
x π∴+∈- ……………11分
()2sin(2)[1,2]6
g x x π
∴=+∈-
故函数()g x 在区间[0,]2
π
上的最大值为2，最小值为－1 . ……………12分
(20)（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）因为()()2sin 2sin 2sin b B a c A c a C =+++,
由正弦定理得()()2222b a c a c a c =+++ ………………………………1分
化简得，2
2
2
0a c b ac +-+=. ………………………………………2分
2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +--∴===-. ………………………………………4分
又0B π<<，
23
B π
∴=
. ……………………………………………5分 （Ⅱ）因为4
A π
=
, 24
334
C π
πππ
π∴==-
-
=-. …………………………6分
sin sin()sin cos cos sin 343434
4
C ππππππ
∴=-=-=
…………8分 由正弦定理得
sin sin c b
C B
=
， ……………………………………………9分
2
3
b B π
==
sin sin 2b C c B ∴==. (10)
分ABC ∴∆的面积113sin sin 22244
S bc A π=
== ……12分 (21)（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）在ABD ∆中，由余弦定理得
222221
2cos 1221232
BD AB AD AB AD θ=+-∙=+-⨯⨯⨯=
所以BD = ………………………………………2分
在BCD ∆
中，由余弦定理得2221
cos 22
BC CD BD BCD BC CD +-∠===-∙
所以23
BCD π
∠=
………………………………………4分
所以11sin 1122T BC CD BCD =
⨯⨯∠=⨯⨯=. ………………………………6分 （Ⅱ）1
sin sin 2
S AD AB BAD θ=
⨯⨯∠= ………………………………………7分 2222cos 54cos BD AB AD AB AD θθ=+-∙=- ………………………………8分 2224cos 3
cos 22
BC CD BD BCD BC CD θ+--∠==∙ ……………………………………9分
11
sin sin 22
T BC CD BCD BCD =
⨯⨯∠=∠ ………………………………………10分 因为S T =，所以1
sin sin 2
BCD θ=∠
所以222
24cos 34sin sin 1cos 1()2
BCD BCD θθ-=∠=-∠=-
解得7
cos 8θ= ………………………………………12分
(22)（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ） 当2n ≥时, 由123n n a S +=+, 得123n n a S -=+,…………………1分 两式相减, 得11222n n n n n a a S S a +--=-=, …………………2分 13n n a a +∴= 1
3n n
a a +∴
= …………………………………………3分 当1n =时, 12113,23239a a S a ==+=+=, 则
2
1
3a a =.…………………4分 ∴数列{}n a 是以13a =为首项, 公比为3的等比数列. ………………5分 1
33
3n n n a -∴=⨯=. …………………………………………6分
（Ⅱ） 解法1: 由(Ⅰ)得()()21213n
n n b n a n =-=-⋅
()2
3
133353213n
n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L L , ① …………………7分
()2
3
4
1
3133353213
n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅L L , ② ………………8分
①-②得()231213232323213n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L L …………9分 ()
()23132333213n n n +=+⨯+++--⋅L L
()()211
3133221313
n n n -+-=+⨯
--⋅- …………………………10分
()1
6223n n +=---⋅. …………………………………11分
()1133n n T n +∴=-⋅+ ……………………………………………………12分
解法2: 由（Ⅰ）得()()21213n n n b n a n =-=-⋅ 而 ()()()1
21313
23n
n n n n n +-⋅=-⋅--⋅ …………………………………8分
123n n T b b b b ∴=++++L L
()()()()()343103302331323n n
n n +⎡⎤=++-+⨯-++-⋅--⋅⎣⎦L L ……10分
()1133
n n +=-⋅+ . ……………………………………………12分。