宁夏银川一中2019届高三第六次月考数学(文)试题(含答案)

银川一中2019届高三年级第六次月考
文 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}
Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤=,4,,2,则=⋂B A A ．)2,0( B ．]2,0[ C ．{}2,0 D ．{}2,1,0 2．复数z 满足i z i =+)1(，则在复平面内复数z 所对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知21)4tan(=π-α，则α
-αα
+αcos sin cos sin 的值为
A ．
2
1
B ．2
C ．22
D ．2- 4．设非零向量,
=+ A ．⊥
B
=
C ．∥
D
5．若点P (1,1)为圆0622=-+x y x 的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 A ．032=-+y x B ．012=+-y x
C ．032=-+y x
D ．012=--y x
6. 从甲,乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 A ．
5
1 B ．
5
2 C ．
25
8 D ．
25
9 7．过点F (0,3)且和直线y +3=0相切的动圆心的轨迹方程为
A ．y 2=12x
B ．y 2=-12x
C ．x 2= -12y
D ．x 2=12y
8．已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≥≥3121y x x y y ,则13++=y x z
A ．有最小值
3
20 B ．有最大值8，最小值
3
20
C ．有最大值
3
20
D ．有最大值8，最小值5
9．已知实数316,,3m 依次构成一个等比数列，则圆锥曲线122
=+m
y x 的离心率为
A ．
23或5 B ．
2
3
C ．5
D ．
2
3或25
10．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．8－4π
3 B ．8－π C ．8－2π
3
D ．8－π
3
11．我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序
框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的 函数，它能随机产生)1,0(内的任何一个实数)．若输 出的结果为781，则由此可估计π的近似值为 A ．3.119 B ．3.124 C ．3.132
D ．3.151
12．已知1,0ln =-=-d c b a ，求22)()(d b c a -+-
的最小值
A ．4
B ．2
C ．1
D ．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量),2(),2,1(m -==，若∥，则实数m ＝________． 14．甲、乙、丙三名同学被问到是否具有C B A ,,三个微信公众号时，
甲说：我具有的微信公众号比乙多，但没有B 微信公众号； 乙说：我没有C 微信公众号；
丙说：我们三个人具有同一个微信公众号． 由此可判断乙具有的微信公众号为________．
15．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,已知22,2==c b ,且4
π=
C ， 则ABC ∆的面积为________．
16．已知三棱锥BCD A -中，2===BC AC AB ,2==CD BD ，点E 是BC 的中点，点A 在平面
BCD 内的射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分) 17． (12分)
已知函数b A b x A x f ,0,0,0()sin()(π<ϕ<>ω>+ϕ+ω=为常数）的一段图像如图所示， （1）求函数)(x f 的解析式
（2）若函数)(x f 在y 轴右侧的极小值点组成数列{}n a ，
设右侧的第一个极小值点为首项1a ，试求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+11n n a a 的
前n 项和n S 18．(12分)
在某校举行的航天知识竞赛中，参加竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80分以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求a 的值，并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？
附表及公式：
)
)()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
19．(12分)
如图，四棱锥ABCD S -中，AB ∥CD ，CD BC ⊥， 侧面SAB 为等边三角形，1,2====SD CD BC AB (1)证明：⊥SD 平面SAB ； (2)求四棱锥ABCD S -的高．
20．(12分)
圆与x 轴相切与点)0,2(T ，与y 轴正半轴相交于两点N M ,（点M 在点N 的下方），且3=MN （1）求圆的方程
（2）过点M 任作一条直线与椭圆14
82
2=+y x 相交于两点B A ,，连接BN AN ,，求证：
BNM ANM ∠=∠
21．(12分)
已知函数2)(x ke x f x -= (其中e R k ,∈是自然对数的底数)． (1)若,2=k 当),0(+∞∈x 时，试比较)(x f 与2的大小；
(2)若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，求k 的取值范围，并证明：1)(01<<x f ．
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧α+=α
+=sin 1cos 1y x (α为参数，π≤α≤π2)，以O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为t 2
2
)4cos(=π-θρ(其中R t ∈)．
(1)求2C 的直角坐标方程；
(2)当1C 与2C 有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 23．[选修4－5：不等式选讲] (10分)
设函数322)(-+-=x x x f ，记1)(-≤x f 的解集为M ． (1)求M ；
(2)当M x ∈时，证明：0)()]([22≤-x f x x f x ．
银川一中2019届高三年级第六次月考数学(文科)答案
一.选择题：
13.-4 14．A 15. 13+ 16.
11
60π
三．解答题 17.解析（1）
2)6
2sin(3)(++=π
x x f ................................4分
（2）由12)62sin(3-=++
πx ，得1)6
2sin(-=+π
x 即ππk x +=32，则321π=
a ，π=d πππ313)1(32-=-+=n n a n
)2
31
131(3121+--=+n n a a n n π
)
46(9)23121(322+=+-=n n n S n ππ................................12分
18．解：(1)a ＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷
10＝0.025，
x
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.(4分)
(2)2×2列联表如下：
因为K 2
＝
40×160×50×150＝25
6≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生
的文、理科有关”．(12分)
19. 解：(1)如图，取AB 的中点E ，连接DE ，DB ，
则四边形BCDE 为矩形，∴DE ＝CB ＝2，∴AD ＝BD ＝ 5.(2分)
∵侧面SAB 为等边三角形，AB ＝2，∴SA ＝SB ＝AB ＝2. 又SD ＝1，∴SA 2＋SD 2＝AD 2，SB 2＋SD 2＝BD 2，(4分)
∴∠DSA ＝∠DSB ＝90°，即SD ⊥SA ，SD ⊥SB ，且SA ∩SD ＝S ，∴SD ⊥平面SAB .(6分) (2)设四棱锥S -ABCD 的高为h ，则h 也是三棱锥S -ABD 的高． 由(1)，知SD ⊥平面SAB .
由V S -ABD ＝V D -SAB ，得13S △ABD ·h ＝1
3S △SAB ·SD ， ∴h ＝S △SAB ·SD
S △ABD .(10分)
又S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×2×2＝2，S △SAB ＝34AB 2＝34×22
＝3，SD ＝1，∴h ＝S △SAB ·SD S △ABD ＝3×1
2＝3
2.
故四棱锥S -ABCD 的高为3
2.(12分) 20.解：（1）设圆的半径为r ，则圆心坐标为（2，r ） 因为
3=MN ，则2222)23(+=r ，解得4
25
2=r
所以圆的方程为4
25
)25()
2(22
=-+-y x …………………..4分
（2）把0=x
代入4
25
)25()2(22=-+-y x 解得1=y 或4=y
即)4,0(),1,0(N M 当y AB
⊥轴时，由椭圆的对称性可知BNM ANM ∠=∠ 当AB 与
y 轴不垂直时，设AB 的直线方程为1+=kx y
联立方程⎩
⎨⎧=++=821
2
2y x kx y ，消去y 得064)21(22=-++kx x k 设直线与椭圆交于),(),,(2211y x B y x A
2
21214k k x x +-=+，2
2
1216k x x +-=
2
121212211)(3244x x x x x kx x y x y k k BN
AN +-=-+-=+
=2
12
221122112x x k k
k k ++
+-=0
所以BNM ANM
∠=∠…………………..12分
21．解：(1)当2k =时，()22x f x e x =-，则()'22x f x e x =-，令()22x h x e x =-，()'22x
h x e =-，
由于()0,x ∈+∞，故()'220x h x e =->，于是()22x
h x e x =-在()0,+∞为增函数，
所以()()22020x h x e x h =->=>，即()'220x
f x e x =->在()0,+∞恒成立，
从而()22x f x e x =-在()0,+∞为增函数，故()()2
202x f x e x f =->=.
(2)函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则12,x x 是()'20x
f x ke x =-=的两个根，即方程2x
x
k e =
有两个根，设()2x x x e ϕ=
，则()22'x
x
x e ϕ-=， 当0x <时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<；当01x <<时，
()'0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()'0x ϕ<，
函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；要使方程2x
x
k e =有两个根， 只需()2
01k e
ϕ<<=
，如图所示： 故实数k 的取值范围是20,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，又由上可知函数()f x 的两个极值点1x ，2x 满足1201x x <<<，由
()111'20x f x ke x =-=得112x x
k e
=，
∴()()111
22
22
11111112211x x x x f x ke x e x x x x e
=-=
-=-+=--+，由于()10,1x ∈， 故()2
10111x <--+<，所以()101f x <<.
22．解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝⎛⎭⎫
22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0.(4分)
(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧，(5分) 如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |
2＝1，解得t ＝2－2或t ＝
2＋2(舍去)，(7分)
当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，(9分)
由图可知，当曲线C 2与直线C 1有两个公共点时，实数t 的取值范围是(2－2，1]．(10分)
23．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1，x ≤2
3x －5，x ＞2.(2分) 当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0； 当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤4
3，显然不成立． 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(5分)
(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x
＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋1
4.(8分)
令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋1
4，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.
故x [f (x )]2－x 2
f (x )≤0.(10分)。