2023年泰安市中考数学试卷及答案

2023年山东省泰安市区中考数学试卷
一、选择题. 1. 23-
的倒数是（ ） A. 23 B. 23- C. 32 D. 32
- 2. 下列运算正确的是（ ）
A. 235a b ab +=
B. 222()a b a b -=-
C. ()3235ab a b =
D. ()325
3412a a a ⋅-=- 3. 2023年1月17日,国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究,精确测定了月球的年龄是20.3亿年,数据20.3亿年用科学记数法表示为（ ）
A. 82.0310⨯年
B. 92.0310⨯年
C. 102.0310⨯年
D. 920.310⨯年 4. 小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线,得到如下四种图形,则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置,若135∠=︒,则2∠的度数等于（ ）
A. 65︒
B. 55︒
C. 45︒
D. 60︒
6. 为了解学生的身体素质状况,国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中,某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试,他们的成绩（单位：个）如下：7,11,10,11,6,14,11,10,11,9．根据这组数据判断下列结论中错误．．
的是（ ）
A. 这组数据的众数是11
B. 这组数据的中位数是10
C. 这组数据的平均数是10
D. 这组数据的方差是4.6 7. 如图,AB 是O 的直径,D ,C 是O 上的点,115ADC ∠=︒,则BAC ∠的度数是（ ）
A. 25︒
B. 30︒
C. 35︒
D. 40︒
8. 一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x
=（a ,b 为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B.
C. D.
9. 如图,O 是ABC ∆的外接圆,半径为4,连接OB ,OC ,OA ,若40CAO ∠=︒,70ACB ∠=︒,则阴影部分的面积是（ ）
A. 4π3
B. 8π3
C. 16π3
D. 32π3
10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题：“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,
交易其一,金轻十三两,问金,银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同）,乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同）,称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）,问黄金,白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两,每枚白银重y 两．根据题意得（ ）
A. ()()11910813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩
，． B. 10891311y x x y x y +=+⎧⎨+=⎩，． C. ()()91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，． D. ()()91181013x y x y y x =⎧
⎨+-+=⎩． 11. 如图,ABC 是等腰三角形,36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心,任意长为半径作弧,交AB 于点F ,交BC 于点G ,分别以点F 和点G 为圆心,大于12
FG 的长为半径作弧,两弧相交于点H ,作射线BH 交AC 于点D ;分别以点B 和点D 为圆心,大于12
BD 的长为半径作弧,两孤相交于M ,N 两点,作直线MN 交AB 于点E ,连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠;①BC AE =;①12ED BC =
;①当2AC =时
,1AD =．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12. 如图,在平面直角坐标系中,Rt AOB △的一条直角边OB 在x 轴上,点A 的坐标为(64)-，
;Rt COD 中
,9030COD OD D ∠=︒=∠=︒，,连接BC ,点M 是BC 中点,连接AM ．将Rt COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中,线段AM 的最小值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 2
D. 2
二、填空题.
13. 已知关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是_______． 14. 为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺,光盘和三角尺按图所示放置于桌面上,并量出4cm AB =,则
这张光盘的半径是_______cm ．（精确到0.1cm 173≈．）
15. 二次函数234y x x =--+的最大值是__________．
16. 在一次综合实践活动中,某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图,在塔前C 处,测得该塔顶端B 的仰角为50︒,后退60m （60m CD =）到D 处有一平台,在高2m （2m DE =）的平台上的E 处,测得B 的仰角为266︒.．则该电视发射塔的高度AB 为_______m ．
（精确到1m ．参考数据：tan50 1.2tan 26.60.5︒≈︒≈，）
17. 如图,在ABC 中,16AC BC ==,点D 在AB 上,点E 在BC 上,点B 关于直线DE 的轴对称点为点B ',连接DB ',EB ',分别与AC 相交于F 点,G 点,若87,4AF DF B F '===，,则CG 的长度为__________．
18. 已知,12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形,按下图所示摆放．点235,,,
A A A 都在x 轴正半轴上,且2356891A A A A A A ====,则点2023A 的坐标是______．
三、解答题.
19. （1）化简：2211025224x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝
⎭; （2）解不等式组：273113
2x x x +>⎧⎪+-⎨>⎪⎩． 20. 某市组织了一次知识竞赛,依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A 级为特等奖,B 级为一等奖,C 级为二等奖,D 级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有______名选手获奖,扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是______度;
（2）补全条形统计图;
（3）若该馆有一个入口,三个出口．请用树状图或列表法,求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
21. 如图,一次函数122y x =-+的图象与反比例函数2k y x
=
的图象分别交于点A ,点B ,与y 轴,x 轴分别交于点C ,点D ,作AE y ⊥轴,垂足为点E ,4OE =．
（1）求反比例函数的表达式;
（2）在第二象限内,当12y y <时,直接写出x 的取值范围;
（3）点P 在x 轴负半轴上,连接PA ,且PA AB ⊥,求点P 坐标．
22. 为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用3600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3600元,若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,求这个学校九年级学生有多少人？
23. 如图,矩形ABCD 中,对角线AC BD ，相交于点O ,点F 是DC 边上的一点,连接AF ,将ADF △沿直线AF 折叠,点D 落在点G 处,连接AG 并延长交DC 于点H ,连接FG 并延长交BC 于点M ,交AB 的延长线于点E ,且AC AE =．
（1）求证：四边形DBEF 是平行四边形;
（2）求证：FH ME =．
24. 如图,ABC ,CDE 是两个等腰直角三角形,EF AD ⊥．
（1）当AF DF =时,求AED ∠;
（2）求证：EHG ADG ∽△△;
（3）求证：AE AC EH HC
=． 25. 如图1,二次函数24y ax bx =++的图象经过点(4,0),(1,0)A B --．
（1）求二次函数的表达式;
（2）若点P 在二次函数对称轴上,当BCP 面积为5时,求P 坐标;
（3）小明认为,在第三象限抛物线上有一点D ,使90DAB ACB +=︒∠∠;请判断小明的说法是否正确,如果正确,请求出D 的坐标;如果不正确,请说明理由．
2023年山东省泰安市区中考数学试卷答案
一、选择题
1.D
2.D
3.B
4. D
5. B
6. B
7. A
8. D
9. C
10. C
11. C
①ABC 中,AB AC =,36A ∠=︒. ①()1180722
ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒. 由作图知,BD 平分ABC ∠,MN 垂直平分BD . ①1362
ABD CBD ABC ∠=∠=
∠=︒,EB ED =. ①EBD EDB ∠=∠.
①EDB CBD ∠=∠.
①DE BC ∥.
①AED ABC ∠=∠,①正确; ADE C ∠=∠.
①AED ADE ∠=∠.
①AD AE =.
①A ABD ∠=∠.
①AD BD =.
①72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒.
①BDC C ∠=∠.
①BC BD =.
①BC AE =,①正确;
设ED x =,BC a =.
则AD a =,BE x =.
①CD BE x ==.
①AED ABC △∽△. ①
ED AD AD BC AC AD DC
==+. ①x a a a x =+. ①220x ax a +-=.
①0x >.
①x =.
即12ED BC =
,①错误; 当2AC =时,2CD AD =-.
①CD AD =.
2AD AD =-,
①1AD =
,①正确 ①正确的有①①①,共3个．
12. A
解：如图所示,延长BA 到E ,使得AE AB =,连接OE CE ，.
①Rt AOB △的一条直角边OB 在x 轴上,点A 的坐标为(64)-，
. ①46AB OB ==，.
①4AE AB ==.
①8BE =.
①点M 为BC 中点,点A 为BE 中点.
①AM 是BCE 的中位线.
①12
AM CE =;
在Rt COD 中,9030COD OD D ∠=︒=∠=︒，.
①4OC ==. ①将Rt COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转. ①点C 在以O 为圆心,半径为4的圆上运动.
①当点M 在线段OE 上时,CE 有最小值,即此时AM 有最小值.
①10OE ==.
①CE 的最小值为1046-=.
①AM 的最小值为3.
故选A ．
二、填空题
13. 4a >-
14. 6.9 15. 254
16. 55
解：如图所示,过点E 作EF AB ⊥于F .
由题意得,AB AD DE AD ⊥，⊥.
①四边形ADEF 是矩形.
①2m AF DE EF AD ===，.
设m BF x =,则()2m AB AF BF x =+=+.
在Rt ABC △中,tan AB ACB AC
∠=.
①()252m tan tan506
AB x AC x ACB +==≈+︒∠. 在Rt BEF △中,tan BF
BEF EF ∠=. ①2m tan tan 26.6BF
x
EF x BEF ==≈∠︒.
①EF AD =. ①()5
22606x x =++.
①53x ≈.
①255m AB x =+≈.
故答案为：55．
17. 4.5
解：①16AC BC ==.
①A B ∠=∠.
由折叠的性质可得B B '∠=∠.
①A B '∠=∠.
又①AFD B FG ∠=∠'.
①AFD B FG '∽. ①AF
DF
B F GF =',即8
7
4GF =.
① 3.5GF =.
① 4.5CG AC AF GF =--=.
故答案为：4.5．
18. (2023,
解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A
如图：过1A 作1A B x ⊥轴.
①12,OA A
①111cos601
,sin60OB OA A B OA =︒⨯==︒⨯=
①(
1A
同理：(((4774,,,10,,A A A
①()()(3133131,0,3,0,3n n n A n A n A n -+-+()31n +为偶数,(3131,n A n ++为奇数; ①202336741÷=,2023为奇数
①(20232023,A ．
故答案为(2023,． 三、解答题
19. （1）25
x x -+;（2）25x -<< 20. （1）200,108 （2）见解析 （3）
13 【小问1详解】 解：14480200360︒÷=︒
名. ①本次竞赛共有200名选手获奖.
①C 级的人数为2008020025%1060--⨯-=名.
①扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是60360108200
︒⨯
=度. 故答案为：200,108;
【小问2详解】
解：B 级的人数为20025%50⨯=名.
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：设这三个出口分别用E ,F ,G 表示,列表如下：
由表格可知一共有9种等可能性的结果数,其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种.
①参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率3193=
=． 21.（1）4y x
=-; （2）10x -<<;
（3）()9,0-．
【小问1详解】
①4OE =,AE y ⊥轴.
①()0,4E ,点A 的纵坐标为4.
①点A 在122y x =-+图象上.
①当4y =时,422x =-+,解得：1x =-.
①点A 坐标为()1,4-.
①反比例函数2k y x
=的图象过点A . ①144k =-⨯=-. ①反比例函数的表达式为：4y x =-
; 【小问2详解】
如图,在第二象限内,当12y y <时,10x -<<.
【小问3详解】
如图,过A 作AM x ⊥轴于点M .
①AE y ⊥轴.
①90AEO EOM OMA ∠=∠=∠=︒.
①四边形AEOM 是矩形.
①4AM OE ==,1OM AE ==.
①PA AB ⊥.
①90PAD ∠=︒,即：90PAM DAM ∠+∠=︒.
①90DAM ADM ∠+∠=︒.
①PAM ADM ∠=∠.
①DAM APD ∠=∠.
①PAD AMD ∽.
①AD PD MD AD
=. 由22y x =-+得：0y =时,220x -+=,解得：1x =.
①点()1,0D .
①
AD =
=2
MD =.
①2= ①10PD =.
①点()9,0P -．
22. 这个学校九年级学生有300人．
解：设零售价为x 元,批发价为y .
根据题意可得：
50603600360060x y y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩
,解得：1210x y =⎧⎨=⎩. 则学校九年级学生360012300÷=人．
答：这个学校九年级学生有300人．
23. （1）证明见解析
（2）证明见解析
【小问1详解】 证明：①四边形ABCD 是矩形.
①1902
AB CD AD BC ADC ABC BAD AC BD ====︒=∥，，∠∠，. 由折叠的性质可得AD AG =，
90AGF ADF ∠=∠=︒. ①90AGE DAB ==︒∠∠.
①AC AE =,AC BD =.
①AE BD =.
①()Rt Rt HL ABD GEA △≌△.
①AEG DBA ∠=∠.
①BD EF ∥.
又①BE DF ∥.
①四边形DBEF 是平行四边形;
【小问2详解】
证明：①四边形DBEF 是平行四边形.
①BE DF =.
由折叠的性质可得GF DF =.
①BE GF =.
①CD AB ∥.
①HFG E =∠∠.
又①18090FGH AGF MBE ∠=︒-∠=︒=∠.
①()ASA FGH EBM △≌△.
①FH ME =．
24. （1）60︒
（2）见详解 （3）见详解
【小问1详解】
①EF AD ⊥.
①90EFA EFD ∠=∠=︒.
①EF EF =,AF DF =.
①EFA EFD ≌.
①EA ED =.
①ABC ,CDE 是两个等腰直角三角形.
①GC DE ⊥.
①等腰直角CDE 中,EG GD =.
①GC 是线段ED 的垂直平分线.
①EA AD =.
①EA AD DE ==,即EAD 是等边三角形.
①60AED ∠=︒;
【小问2详解】
在（1）中有GC DE ⊥,EF AD ⊥.
EHG ADG ∽△△;
【小问3详解】
过H 点作HK BC ⊥于点K ,如图.
①HK BC ⊥,45BCH ∠=︒.
①90HKB HKC ∠=∠=︒.
①45KHC KCH ∠=∠=︒,即是等腰Rt KHC △.
①HK KC =.
①180EHK HKE HEK ∠=︒-∠-∠,45DEC ∠=︒,HEK HEG DEC ∠=∠+. ①45EHK HEG ∠=︒-∠.
①GC 是线段ED 的垂直平分线.
①EAG DAG ∠=∠.
在（1）中已证明HEG DAG ∠=∠.
①HEG EAG ∠=∠.
①45BAE BAC EAG EAG ∠=∠-∠=︒-∠.
①45BAE HEG EHK ∠=︒-∠=∠.
①90B HKE ∠=∠=︒.
①ABE HKE ∽. ①AE AB HE HK
=. ①AB BC =,HK KC =. ①
AE AB BC HE HK KC ==. ①HK BC ⊥,AB BC ⊥.
①HK AB ∥.
①ABC HKC ∽. ①
BC AC KC HC
=. ①AE AC HE HC =．
25. （1）254y x x =++
（2）5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,162⎛⎫-- ⎪⎝⎭
（3）正确,8
20,39D ⎛⎫--
⎪⎝⎭ 【小问1详解】
解：将(4,0),(1,0)A B --代入2
4y ax bx =++得： 1644040a b a b -+=⎧⎨-+=⎩,解得：15a b =⎧⎨=⎩
. ①抛物线解析式为：254y x x =++;
【小问2详解】
解：由抛物线254y x x =++可知,其对称轴为直线52x =-
,()0,4C . 设直线BC 解析式为：y kx c =+.
将()1,0B -,()0,4C 代入解得：44
k c =⎧⎨=⎩. ①直线BC 解析式为：44y x =+.
此时,如图所示,作PQ x ∥轴,交BC 于点Q .
①点P 在二次函数对称轴上.
①设5,2P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则4,4m Q m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
①456424m m PQ -+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
. ①()116642242BCP
C B m m S PQ y y ++=-=⨯⨯=. ①要使得BCP 面积为5. ①652
m +=,解得：4m =或16m =-. ①P 的坐标为5,42⎛⎫-
⎪⎝⎭或5,162⎛⎫-- ⎪⎝⎭; 【小问3详解】
解：正确,8
20,39D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
,理由如下： 如图所示,连接AC ,BC ,设AC 与对称轴交点为K ,对称轴与x 轴交点为H ,连接BK ,延长AD 与对称轴交于点M .
由（1）,（2）可得4OA OC ==,=90AOC ∠︒.
①45CAO ∠=︒,AC =
根据抛物线的对称性,AK BK =.
①45KAB KBA ∠=∠=︒,90AKB ∠=︒.
①3AB =.
①2
AK BK ==.
①2CK AC AK =-=
. 在Rt CKB 中,5tan 3
CK CBK BK ∠==.
①90CBK ACB ∠+∠=︒且90DAB ACB +=︒∠∠. ①DAB CBK ∠=∠. ①5tan tan 3
DAB CBK ∠=∠=
. 即：在Rt AHM 中,53
HM AH =. ①()53422
AH =---=. ①355232HM =⨯=. ①55,22M ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭. 设直线AM 解析式为：y sx t =+.
将()4,0A -,55,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入解得：53203s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. ①直线AM 解析式为：52033
y x =--. 联立25452033y x x y x ⎧=++⎪⎨=--⎪⎩,解得：83209x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或40x y =-⎧⎨=⎩（不合题,舍去） ①小明说法正确,D 的坐标为8
20,39D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
．。