2023年北京通州区初一(下)期末数学试题及答案

2023北京通州初一（下）期末
数
学
考生须知
1.本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟.
2.请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.下列从左到右的变形属于因式分解的是（）
A.()2
221211
x x x x --=-- B.()2
222x y x y xy
+=+-C.()()2
2
a b a b a b
+-=- D.()
2
2211++=+a a a 2.为了解某区七年级7000名学生的视力情况，随机抽取了其中500名学生进行视力检查并统计，下列有四种判断：①7000名学生的视力是总体；②样本容量是7000；③500名学生的视力是样本；④每名学生的视力是个体．其中正确的是（）
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
3.航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m ，数据0.00000002用科学记数法表示为（
）
A.8
210-⨯ B.9
210-⨯ C.8
0.210-⨯ D.8
210⨯4.在解关于x ，y 的二元一次方程组6326x my x ny +=⎧⎨+=-⎩①
②
时，如果①+②可直接消去未知数y ，
那么m 和n 满足的条件是（）
A.
m n
= B.1
⋅=m n C.1
m n += D.
m n +=5.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书.已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同.如果设《北上》的单价是x 元，《牵风记》的
单价是y 元.那么根据题意列方程组正确的是（
）
A.28056x y x y +=⎧⎨
=⎩ B.28056x y x y
+=⎧⎨
=⎩ C.
28065x y x y
+== D.
28065x y x y
+=⎧⎨
=⎩6.如果关于x 的一元一次不等式x m <的所有解都是215x +≤的解，那么m 的取值范围是（
）
A.2
m < B.2
m ≤ C.3
m > D.3m ≥7.如果22253m x xy y =+-，22
34n x xy y =+-，那么m 与n 的大小关系是（
）
A.m n >
B.m n <
C.m n ≥
D.m n
≤8.如图，有A 类，B 类正方形卡片两种和C 类长方形卡片若干张，如果要拼一个长为()3a b +，宽为()2a b +的大长方形（要求：拼接的卡片无空隙无重叠），那么需要C 类卡片（
）
A.7张
B.6张
C.5张
D.4张
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9.用如图所示的方式摆放来测量纸杯角度的数学道理是________．
10.某校为了解学生在第一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：锻炼时间/小时
5678人数
6
15
10
4
那么这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为________小时，中位数为________小时．11.能作为反例说明命题“如果3a >-，那么29a >”是假命题的a 的一个值可以为________．
12.如果多项式210x x m -+可以写成二项式的完全平方形式，那么m 的值为________．13.如图，点O 在直线BD 上，如果108COD ∠=︒，OC OA ⊥，那么AOB ∠的度数为
________
．
14.如果24
25
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，那么22x y -的值是________．
15.已知长方形的长和宽分别为a 、b ，且长方形的周长为10，面积为6，则
32232a b a b ab ++的值为______．
16.某次数学检测中有5道选择题，每题1分，每道题在A 、B 、C 三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题第二题第三题
第四题第五题
得分甲C A
B C B
4乙C B
B C
C
3丙C C B B B
2
丁
C
C
B
B
A
则甲同学错的是第________题；丁同学的得分是________．
三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算：()
()2
2023
01110023-⎛⎫
-+--+- ⎪⎝⎭
．18.解不等式组：()41232133x x x ⎧->+⎪
⎨-≤⎪⎩
，并写出不等式组的所有整数解．
19.计算：(
)()3
2428223a
a a a a -+⋅+÷-．
20.已知3a b -=，求226a b a --的值．
21.如图，已知A B ∠=∠，AB CE ，求证：CE 平分ACD ∠．
证明：∵AB CE （已知），∴B ∠=∠________（________），∴A ∠=∠________（________），∵A B ∠=∠（已知），∴________（________），
∴CE 平分ACD ∠（角平分线的定义）．
22.先化简，再求值：()()()()2
2222x y x y x y y ⎡⎤-+--÷-⎣⎦
，其中1x =，2y =-．
23.解答题：
解方程组323538303336x y x y +=⎧⎨+=⎩①
②
时，由于x ，y 的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代
入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
①-②得222x y +=，所以1x y +=③，③35⨯-①得33x =-，解得=1x -，从而2y =，所以原方程组的解是1
2x y =-⎧⎨
=⎩
．请你运用上述方法解方程组：201620182020
201920212023x y x y +=⎧⎨
+=⎩
．
24.某学校七年级组织“中国传统文化”知识竞赛，现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，卓越四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了________名学生；
（2）补全条形统计图，分别求扇形统计图中“卓越”和“达标”部分的圆心角的度数；（3）已知该学校七年级共有400名学生，估计此次竞赛该校七年级获卓越等级的学生人数为多少？
25.如图，AE CD ∥，DAE C ∠=∠．
（1）求证：AD BC ∥；
（2）如果CEF B ∠=∠，50BAE ∠=︒，求EFD ∠的度数．26.已知关于x ，y 的二元一次方程3kx y k +=-，k 是不为零的常数．
（1）如果2
3x y =⎧⎨=-⎩
是该方程的一个解，求k 的值；
（2）当k 每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解．
27.我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题：
（1）完成下列填空（填“>”或“<”），
已知3152>⎧⎨>⎩可得35+________12+；已知13
01->-⎧⎨>-⎩可得10-+________31--；已知
23
12-<⎧⎨<⎩
可得21-+________32+；（2）一般地，如果a b
c d <⎧⎨
<⎩
，那么a c +________b d +（用“<”或“>”填空），请你利用
不等式的基本性质说明上述不等式的正确性；
（3）已知2x y -=，且1x >，0y <，请直接写出x y +的取值范围．
28.学习完平行线的性质与判定之后，发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，直线12l l ∥，点P 在直线1l 、2l 之间，探究A ∠，
APB ∠，B ∠的等量关系．
小明过点P 作1l 的平行线PQ ，可证APB ∠，A ∠，B ∠之间的等量关系是：________．
（2）如图2，如果AC BD ∥，点P 在直线AC 上方，那么A ∠，APB ∠，B ∠的等量关系是否发生变化？
请你补全下面的证明过程．
解：过点P 作PE AC ∥，∴A ∠=________，∵AC BD ∥，
∴________∥________，∴B ∠=________，
∵APB EPB EPA ∠=∠-∠，∴APB ∠=________．
（3）解决以下问题：如图3，三角形ABC ．求证：180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒．
参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A 、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；B 、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；C 、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；D 、是因式分解，符合题意；故选D ．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．2.【答案】C
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量，从而可得到答案．【详解】解：7000名学生的视力是总体，故①正确；样本容量是500，故②错误；500名学生的视力是样本，故③正确；每名学生的视力是个体，故④正确；故选C ．
【点睛】本题考查统计知识的总体，样本，个体，样本容量，普查与抽查等相关知识点．易错易混点：学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．掌握以上知识是解题的关键．3.【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：80.00000002110-=⨯，故选：A ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.【答案】D
【分析】根据求和后直接消去y ，令y 的系数为0即可．【详解】解：6326x my x ny +=⎧⎨
+=-⎩①②
+①②得()83x m n y ++=-，+①②可直接消去未知数y ，
故0m n +=，故选D ．
【点睛】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．5.【答案】A
【分析】根据“购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；
【详解】解：如果设《北上》的单价是x 元，《牵风记》的单价是y 元.由题意得：
28056x y x y
+=⎧⎨
=⎩故选A ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、确定等量关系是解答本题的关键．6.【答案】B
【分析】先求出不等式215x +≤的解集，再根据x m <的解都是215x +≤的解进行求解即可．
【详解】解：解不等式215x +≤得2x ≤，∵不等式x m <的解都是215x +≤的解，∴2m ≤，故选B ．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，掌握不等式的解法是解题的关键．7.【答案】C
【分析】利用整式的加减计算法则结合作差法，再利用完全平方公式变形求出
()2
0m n x y -=+≥，由此即可得到答案．
【详解】解：∵22253m x xy y =+-，2234n x xy y =+-，∴(
)
2
2
22
25334m n x xy y x xy y
-=+--+-
222225334x xy y x xy y =+---+222x xy y =++()2
0x y =+≥，
∴0m n -≥，∴m n ≥，故选：C ．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，完全平方公式，正确得到()2
0m n x y -=+≥是解题的关键．8.【答案】A
【分析】根据所有A 类，B 类正方形卡片和C 类长方形卡片的面积之和与长为()3a b +，宽为()2a b +的大长方形的面积之和相等，利用多项式乘以多项式的计算法则求出大长方形面积即可得到答案．
【详解】解：()()2
2
2
2
23623372a b a ab ab a b ab b b a +=+=+++++，
∵所有A 类，B 类正方形卡片和C 类长方形卡片的面积之和与长为()3a b +，宽为()2a b +的大长方形的面积之和相等，
∴3张A 类正方形卡片，2张B 类正方形卡片和7张C 类长方形卡片即可拼成一个长为
()3a b +，宽为()2a b +的大长方形，
故选A ．
【点睛】本题主要考查了因式分解与多项式乘以多项式之间的关系，正确理解题意得到所有A 类，B 类正方形卡片和C 类长方形卡片的面积之和与长为()3a b +，宽为()2a b +的大长
方形的面积之和相等是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9.【答案】对顶角相等
【分析】利用对顶角的性质进行求解即可．【详解】图中的测量角的原理是：对顶角相等．故答案为：对顶角相等．
【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是理解清楚对顶角的定义．10.【答案】
①.6
②.6
【分析】直接利用众数和中位数的定义求解可得．
【详解】解：在这组数据中锻炼时间为6小时的人数最多，则这组数据的众数为6；
在这组数据中共有35个数据，将数据从小到大依次排列，第18个数据即为中位数，
∴第18个数据为6，即这组数据的中位数为：6；
故答案为：6，6．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟记一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据从小到大或从大到小依次排列，最中间的一个数据或最中间两个数据和的一半叫做中位数是解题的关键．
11.【答案】1-（答案不唯一）
．【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【详解】解：能作为反例说明命题“若3a >-，则29a >”是假命题的a 的值可以为1-，
1a =- ，
219a \=<，
故此时“若3a >-，那么29a >”是假命题．故答案为：1-（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了用举例法证明一个命题不成立，要说明数学命题不成立，只需举出一个反例即可，熟记假命题的定义是解题的关键．12.【答案】25
【分析】根据完全平方式：()2
222a ab b a b ±+=±，求解即可．【详解】解：∵多项式210x x m -+是一个二项式的完全平方式，
∴2
10252m -⎛⎫== ⎪⎝⎭
，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．13.【答案】18︒
【分析】先根据平角的定义得到72BOC ∠=︒，再由垂直的定义可得=90AOC ∠︒，则
18AOB AOC BOC ∠=-=︒∠∠．
【详解】解：∵108COD ∠=︒，∴18072BOC COD =︒-∠=︒∠，∵OC OA ⊥，∴=90AOC ∠︒，
∴18AOB AOC BOC ∠=-=︒∠∠，故答案为：18︒．
【点睛】本题主要考查了平角的定义，垂直的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．14.【答案】3
-【分析】先利用二元一次方程组分别求得x y +与x y -，再由22x y -=（x y +）（x −y ），整体代入进行求解．
【详解】解：2425x y x y +=⎧⎨+=⎩
①②，
+①②得339x y +=，
∴3x y +=，
-①②得1x y -=-，
∵3x y +=，1x y -=-，
∴22x y -()(x y x =+−())31 3y =⨯-=-．故答案为3-．
【点睛】本题考查了加减消元法、平方差公式，将代数式适当变形，然后利用“整体代入法”求代数式的值．15.【答案】150
【分析】利用面积公式得到6ab =，由周长公式得到5a b +=，所以将原式因式分解得出
()2
ab a b +，将其代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为10，面积为6，∴65ab a b =+=，，∴3223
2a b a b ab ++()
222ab a ab b =++()2
ab a b =+2
65=⨯150=．
故答案为：150．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟记公式结构，正确将原式分解因式，是解题的关键．16.【答案】
①.五
②.3
【分析】分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，进而得出正确选项，即可得出结论．
【详解】解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，2，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于丙来看，第1，3，5道选对了，做对3道，此时，得分为3分，而丙得分2分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙的得分是3分，此
种情况不符合题意，
当甲选错第4题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙的得分是3分，此
种情况不符合题意，
当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第2，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，
故甲选错第5题，第5题选B错误，其余各题均选对，据此，乙前4题选对了第1，3，4题，得3分，因此乙选C错误，
因为每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的，
所第5题正确答案为A，
所以五道题的正确选项分别是：CABCA，对照丁的答案可得丁选对了第1，2，5题，得3分，故答案为：五，3．
【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.【答案】9
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方和绝对值，再计算加减法即可．【详解】解：原式1912
=-+-+
9=．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，熟知相关计
算法则是解题的关键，注意，非零底数的零次幂结果为1．
18.【答案】75
2
x<≤，它的所有整数解为4，5．
【分析】首先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出所有整数解即可．
【详解】解：()412321
33x x x ⎧->+⎪
⎨-≤⎪⎩
①②由①得：4423x x ->+，解得：72
x >
由②得：219x -≤，解得：5x ≤，
所以，不等式组的解集为：
7
52
x <≤，所以，它的所有整数解为4，5．
【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解决本题的关键19.【答案】6
6a -【分析】先计算积的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘以单项式，然后合并同类项即可．【详解】解：(
)
6
6
6
83a a a
=-++-66683a a a =-+-66a =-．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘以单项式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．20.【答案】9
-【分析】将22a b -分解因式，再将3a b -=代入变形计算即可．【详解】解：()()2
2
a b a b a b -=+- ，3
a b -=∴(
)()()22333b a b a a b
a b a b -=+==+-+，
()22
6336333339a b a a b a a b a b \--=+-=-+=--=-´=-．【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确掌握平方差公式分解因式计算是解题的关键．21.【答案】DCE ∠，两直线平行，同位角相等；ACE ∠，两直线平行，内错角相等；
DCE ACE ∠=∠，等量代换
【分析】根据平行线的性质定理及角平分线的定义依次解答．【详解】证明：∵AB CE （已知），∴B DCE ∠=∠（两直线平行，同位角相等），A ACE ∠=∠（两直线平行，内错角相等）
，
∵A B ∠=∠（已知），
∴DCE ACE ∠=∠（等量代换），∴CE 平分ACD ∠（角平分线的定义）．
故答案为：DCE ∠，两直线平行，同位角相等；ACE ∠，两直线平行，内错角相等；
DCE ACE ∠=∠，等量代换．
【点睛】此题考查了平行线的性质定理，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
22.【答案】2x y -+，4-．
【分析】先利用平方差公式及完全平方公式中括号内化简，合并同类项后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，然后把x 与y 的值代入计算求值即可．
【详解】解：()()()()2
2222x y x y x y y ⎡⎤-+--÷-⎣⎦
，
()()22224442x y x xy y y =--÷--+，
()
()2242y xy y ÷-=-，2x y =-+，
当1x =，2y =-时，原式()2124=-⨯+-=-．
【点睛】此题考查了整式的混合运算及求值，熟练掌握平方差公式与完全平方公式，同类项与多项式除以单项式运算法则是解本题的关键．
23.【答案】1
2
x y =-⎧⎨
=⎩【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．【详解】解：201620182020201920212023x y x y +=⎧⎨
+=⎩
①
②，
-②①得：333x y +=，
∴1x y +=③，
③2018⨯-①得：22x =-，解得：=1x -，
将=1x -代入③得：2y =，
∴原方程组的解为1
2x y =-⎧⎨=⎩
．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．
24.【答案】
（1）40（2）补全条形统计图见解析，“卓越”圆心角的度数为90︒，“达标”
圆心角的度数为18︒；（3）100名
【分析】（1）根据成绩为良好等级的学生人数的扇形统计图和条形统计图的信息即可得；（2）根据（1）的结果，求出成绩为优秀等级的学生人数，据此补全条形统计图，再利用
360︒分别乘以“卓越”和“达标”部分的学生人数所占百分比即可得“卓越”和“达标”
部分的圆心角的度数；
（3）利用400乘以成绩为卓越等级的学生人数所占百分比即可得．【小问1详解】
解：抽查学生数：1025%40÷=（名）；【小问2详解】
解：成绩为卓越等级的学生人数为402101810---=（人），补全条形统计图如下：
“卓越”圆心角的度数为10
3609040︒⨯=︒，“达标”圆心角的度数为2
3601840
︒⨯
=︒，∴“卓越”圆心角的度数为72︒，“达标”圆心角的度数为18︒；【小问3详解】解：10
40010040
⨯
=（名），答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为100名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．25.【答案】（1）证明见解析
（2）130︒
【分析】（1）由平行线的性质得到180DAE D ∠+∠=︒，进而得到180C D ∠+∠=︒，由此即可证明AD BC ∥；
（2）由CEF B ∠=∠可证明AB EF ∥得到50AEF BAE =∠=︒∠，再由平行线的性质可得180130EFD AEF =︒-=︒∠∠．【小问1详解】证明：∵AE CD ∥，∴180DAE D ∠+∠=︒，∵DAE C ∠=∠，∴180C D ∠+∠=︒，∴AD BC ∥；【小问2详解】解：∵CEF B ∠=∠，∴AB EF ∥，
∴50AEF BAE =∠=︒∠，∵AE CD ∥，
∴180130EFD AEF =︒-=︒∠∠．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．26.【答案】（1）2k =（2）1
3
x y =-⎧⎨
=⎩【分析】（1）直接把2
3x y =⎧⎨
=-⎩
代入方程3kx y k +=-中得到关于k 的方程，解方程即可；
（2）把原方程变形为()()130k x y ++-=，则当1
3
x y =-⎧⎨
=⎩时，都能满足
()()130k x y ++-=，即满足方程3kx y k +=-，由此即可得到答案．
【小问1详解】解：∵2
3
x y =⎧⎨
=-⎩是关于x ，y 的二元一次方程3kx y k +=-的一个解，
∴233k k -=-，∴2k =；【小问2详解】
解：∵3kx y k +=-，∴30kx y k ++-=，∴()()130k x y ++-=，
∴对于任意的非零常数k ，当1
3x y =-⎧⎨=⎩
时，都能满足()()130k x y ++-=，即满足方程
3kx y k +=-，
∴这个公共解为1
3x y =-⎧⎨=⎩
．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．27.【答案】（1）>，>，<
（2）一般地，如果a b
c d
<⎧⎨<⎩，那么a c b d +<+，证明见解析
（3）10
y -<<【分析】（1）先计算出对应式子的结果，然后比较大小即可；
（2）设()0d c m m =+>，根据不等式的性质可得a c b c +<+，再由b c b c m +<++，即b c b d +<+，可推出a c b c b d +<+<+，由此即可证明结论；
（3）先求出2x y =+，再根据1x >，0y <，即可得到210y y +>⎧⎨<⎩
，解不等式组即可．
【小问1详解】
解：∵35812383+=+=>，，，∴3512+>+，
同理可得1031-+>--；∵21132515-+=-+=-<，，，∴2132-+<+，故答案为：>，>，<；【小问2详解】解：一般地，如果a b
c d <⎧⎨
<⎩
，那么a c b d +<+，证明如下：∵a b
c d <⎧⎨
<⎩
，
∴可设()0d c m m =+>，∵a b <，∴a c b c +<+，
又∵b c b c m +<++，即b c b d +<+，∴a c b c b d +<+<+，∴a c b d +<+；【小问3详解】解：∵2x y -=，∴2x y =+，∵1x >，0y <，∴1＜x ＜2，-1＜y ＜0．∴0＜x +y ＜2．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．28.【答案】
（1）APB A B ∠=∠+∠（2）APE ∠；BD ；PE ；BPE ∠；B A -∠∠（3）证明见解析
【分析】（1）设过点P 作l 1的平行线为PQ ，由题意易得B QPB A QPA ∠=∠∠=∠，，然后问题可求解；
（2）由题意结合平行线的性质可直接进行求解；
（3）过点A 作DE BC ∥，则有ABC BAD ACB CAE ∠=∠∠=∠，，然后根据平角的意义可求证．【小问1详解】
解：过点P 作1l 的平行线PQ ，如图所示：∵12l l ∥，∴12l l PQ ∥∥，
∴APQ A BPQ B ==∠∠，∠∠，∵APB APQ BPQ ∠=∠+∠，∴APB A B ∠=∠+∠；
故答案为：APB A B ∠=∠+∠；
【小问2详解】
解：如图所示，过点P 作PE AC ∥，∴A APE ∠=∠，∵AC BD ∥，∴BD PE ∥，∴B BPE ∠=∠，
∵APB EPB EPA ∠=∠-∠，∴APB B A ∠=∠-∠．
故答案为：APE ∠；BD ；PE ；BPE ∠；B A -∠∠；【小问3详解】
证明：过点A 作DE BC ∥，如图所示：
∴ABC BAD ACB CAE ∠=∠∠=∠，，∵180BAC BAD CAE ∠+∠+∠=︒，∴180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定及平角的意义，熟练掌握平行线的性质与判定及平角的意义是解题的关键．。