7.7常系数齐次线性微分方程
7-7常系数齐次线性微分方程习题课
第七章 第七节
3
3 求解 y + 4 y + 4 y = 0 , y(0) = 0 , y(0) = −3
解 特征方程为 r2 + 4r + 4 = 0
解得 r1 = r2 = −2 故所求通解为 y = (C1 + C2 x)e−2x
第七章 第七节
2
1 求 y + y − 12 y = 0 的通解。
解 特征方程为 r2 + r − 12 = 0
解得 r1 = −4 , r2 = 3 故所求通解为 y = C1e−4x + C2e3x
2 求 y + 6 y + 13 y = 0 的通解。
解 特征方程为 r2 + 6r + 13 = 0
以上结论可推广到更高阶常系数线性微分方程
第七章 第七节
1
1 求 y + y − 12 y = 0 的通解。
2 求 y + 6 y + 13 y = 0 的通解。 3 求解 y + 4 y + 4 y = 0 , y(0) = 0 , y(0) = −3 4 求解 y(4) + 2 y + y = 0 5 求解 y(4) + 5 y − 36 y = 0
7.7 常系数齐次线性微分方程习题解答
二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = 0
解题思路：特征方程法 特征方程: r 2 + p r + q = 0 , 特征根：
常系数齐次线性微分方程
r =1 5
y = C + C2x + C3x2 + C4x3 + C5ex 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11
【例6】 求 程 】 方
y(5) + y(4) + 2y(3) + 2y′′ + y′ + y = 0的 解 通 .
【解】 特征方程为 r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1 = 0,
有重根 r = r = −1, 1 2
【解】特征方程 r2 + 2r +1 = 0 因此原方程的通解为 利用初始条件得
s = (C +C2 t )e− t 1
C = 4, C2 = 2 1
于是所求初值问题的解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
9
【例3】 求 程y′′ + 2y′ + 5y = 0的 解 】 方 通 .
13
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
实根 r1 实根 r1 复根 r
r + pr +q = 0
2
通解的表达式
≠ r2 = r2
1, 2
= α ± iβ
y = C 1e + C 2 e rx y = (C1 + C 2 x )e y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
y = C er1 x +C2er2 x 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4
2. 当 p2 − 4q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 r = r 特征方程有两个相等实根 1 2
高等数学77常系数齐次线性微分方程特征根方程解的情况的讨论
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
得齐次方程的通解为
y2 e r2x ,
y
C e r1x 1
C 2e r2 x ;
( 0)
(2) 有两个相等的实根
p 特征根为
r r 2 , 1
2
一特解为
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
y1 e r1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为
r1 1, r2 r3 i, r4 r5 i,
故所求通解为
y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
§7. 常系数齐次线性微分方程 一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
二、二阶常系数齐次线性方程解法
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为
r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根
通解中的对应项
若是k重根r
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若 是k重 共 轭
复根 i
若是单根
r
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
常系数齐次线性微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ′′+py ′+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r −±+−= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,函数、是方程的解, 又x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e ee y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为.x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=方程的两个线性无关的解.这是因为, 是方程的解, 又x r e y 11=x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+′+′′ ,0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以也是方程的解, 且xr xe y 12=x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为.x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α−i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α−i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α−i β)x =e αx (cos βx −i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1−y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x −=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为r 2−2r −3=0, 即(r +1)(r −3)=0.其根r 1=−1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e −x +C 2e 3x .例2 求方程y ′′+2y ′+y =0满足初始条件y |x =0=4、y ′| x =0=−2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=−1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e−x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e−x.将上式对x求导,得y′=(C2−4−C2x)e−x.再把条件y′|x=0=−2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e−x.例 3 求微分方程y′′−2y′+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2−2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1−2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) +⋅⋅⋅+p n−1y′+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n−1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′,⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k −1)sin βx ].例4 求方程y (4)−2y ′′′+5y ′′=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4−2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2−2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±−=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++−.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−2y ′−3y =0,它的特征方程为r 2−2r −3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得−3b 0x −2b 0−3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得, −3b ⎩⎨⎧=−−=−13233100b b b 0=3, −2b 0−3b 1=1.由此求得b 0=−1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+−=x y .例2 求微分方程y ′′−5y ′+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−5y ′+6y =0,它的特征方程为r 2−5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得−2b 0x +2b 0−b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得, −2b ⎩⎨⎧=−=−0212100b b b 0=1, 2b 0−b 1=0. 由此求得210−=b , b 1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*−−=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+−+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *′′−5y *′+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′−5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x −5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)−5(2b 0x +b 1)]e 2x =[−2b 0x +2b 0−b 1]e 2x .方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ−−−++= x i n lx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()(21)]()([21ωλωλ−+++−= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ−++=, 其中)(21)(i P P x P n l −=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ′′+py ′+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y −=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y −=+′+′′的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ−++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ−++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′+py ′+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ−i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ′′+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ′′+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(−3ax −3b +4c )cos2x −(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31−=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+−=. 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *′=a cos2x −2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(−2ax −2b +c )sin2x ,y *′′=2c cos2x −2(2cx +a +2d )sin2x −2a sin2x +2(−2ax −2b +c )cos2x =(−4ax −4b +4c )cos2x +(−4cx −4a −4d )sin2x .y *′′+ y *=(−3ax −3b +4c )cos2x +(−3cx −4a −3d )sin2x .由, 得⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−=+−=−0340304313d a c c b a 31−=a , b =0, c =0, 94=d .。
常系数齐次线性方程
算性质来求解方程。
矩阵法可以用于求解多变量线性方程组，并且可以方便地处理
0程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律
常系数齐次线性方程可以用来描 述物体在直线运动中的速度和加 速度之间的关系，例如自由落体 运动。
电磁波传播
在电磁波的传播过程中，常系数 齐次线性方程可以用来描述波动 方程，如电磁波在真空中的传播。
04
常系数齐次线性方程的扩展
变系数线性方程
变系数线性方程是指方程中的系数不再是常数，而是随着自变量的变化而变化。这类方程在物理、工 程和经济等领域有广泛的应用。求解变系数线性方程的方法通常包括分离变量法、变量代换法、积分 因子法等。
求解变系数线性方程的关键是找到一种方法，将原方程转化为一个或多个常系数线性方程，然后利用 已知的求解方法求解。
方程的表示形式
一般形式
ax+by+c=0
二元一次方程
例如，方程x+2y=0表示一个二元一次方程，其中 x和y是未知数，a=1，b=2，c=0。
一元一次方程
例如，方程3x+5=0表示一个一元一次方程，其中 x是未知数，a=3，b=0，c=5。
02
常系数齐次线性方程的解法
公式法
01
02
03
公式法是解常系数齐次 线性方程的一种常用方 法，通过对方程进行因 式分解，得到通解的公
(3x - 5y = 12)的解为：(x = frac{12 + 5y}{3})
(4x - y = 5)的解为：(y = 4x - 5)
THANKS
感谢观看
热传导
在热传导过程中，常系数齐次线 性方程可以用来描述温度随时间 和空间的变化规律。
线性齐次微分方程与常系数齐次微分方程
线性齐次微分方程与常系数齐次微分方程线性齐次微分方程是微分方程中的常见类型之一，特点是方程中只包含未知函数及其导数，且各项的系数是常数。
常系数齐次微分方程是线性齐次微分方程的一种特殊形式，其中各项的系数都是常数。
一、线性齐次微分方程的定义与性质在数学中，线性齐次微分方程的一般形式可表示为：$$\frac{{d^n y}}{{dx^n}} + a_{n-1}\frac{{d^{n-1} y}}{{dx^{n-1}}} + \cdots + a_1\frac{{dy}}{{dx}} + a_0y = 0$$其中，$a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}$为常数，$y$为未知函数，$n$为正整数。
线性齐次微分方程的性质如下：1. 线性齐次微分方程是n阶微分方程，其解包括n个独立的任意常数；2. 如果$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$是齐次方程的解，那么对应的线性组合$c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + \cdots + c_ny_n(x)$也是方程的解；3. 如果$y_1(x)$和$y_2(x)$分别是齐次方程的解，那么它们的线性组合$c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$也是齐次方程的解；4. 对于齐次方程的任意解$y(x)$，可以通过乘以任意非零常数$k$得到另一个解$k\cdot y(x)$。
二、常系数齐次微分方程的解法常系数齐次微分方程是线性齐次微分方程的特殊形式，其特点是方程中各项的系数均为常数。
对于一阶常系数齐次微分方程，其一般形式为：$$\frac{{dy}}{{dx}} + ay = 0$$其中，$a$为常数。
常系数齐次微分方程的解法如下：1. 将方程改写为$\frac{{dy}}{{dx}} = -ay$；2. 将方程分离变量，得$\frac{{dy}}{{y}} = -a\,dx$；3. 对两边同时求不定积分，得到$\ln|y| = -ax + C$；4. 解出原方程的解为$y(x) = Ce^{-ax}$，其中$C$为任意常数。
第七节、 常系数齐次线性微分方程
( C1 C2 x)ex C3e x
C3 3c3
故对应的特征方程有根： r1,2 1, r3 1,
因此特征方程为： (r 1)2(r 1) 0, r3 r2 r 1 0,
所求方程为： y y y y 0.
（1）
问题2：如何求方程（1）的两个线性无关的解？
设 y e r x 满足方程（1）， 其中 r 为待定参数
由于 y ' r e r x , y '' r 2 e r x , 代入（1）得
r 2e rx p re rx qe rx 0 , (r 2 pr q )e rx 0
因为 e r x 0 , 所以必有
r 1, 2
4
16 4 13 2 3 i 2
所以 2 , 3 ,
所求通解为
Y e 2 x ( c 1 cos 3 x c 2 sin 3 x )
Y e x ( c 1 cos x c 2 sin x )
例3：设 y e x (C1 sin x C2 cos x) 为某二阶常系数齐次
注意
n次代数方程有n个根（重根按重数计算）, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一 项, 且每一项各一个任意常数.
将上述所有项加在一起，就得到n 阶常系数齐次 线性方程的通解为
Y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例1 求方程 y(4) 2 y(3) 5 y 0 的通解.
解 特征方程为 r4 2r 3 5r 2 0 r 2 ( r 2 2r 5) 0
问题3：如何得到实值函数的通解？
欧拉公式： e i cos i sin
y 1 e ( i ) x e x eix e x (cos x i sin x)
y 2 e ( i ) x e x eix e x (cos x i sin x)
最新77常系数齐次线性微分方程62846
作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ;
2 (2) , (3) , (6) ; 3
结束语
谢谢大家聆听！！！
22
解: 建数轴如图:
浮筒离开平衡处o的位移为x
●o
据题意得:
通解 周期
所以
x (a,b为任意实数)
194.96(kg).
内容小结
特征根:
(1) 当
时, 通解为
(2) 当
时, 通解为
(3) 当
时, 通解为
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
思考与练习
求方程 答案:
的通解 . 通解为 通解为 通解为
77常系数齐次线性微分方程 62846
的特解,
分别是方程 是方程
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 以上关于解的结构均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
例1. 解: 特征方程 因此原方程的通解为
的通解. 特征根:
例2. 求解初值问题
解: 特征方程 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为
作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ;
2 (2) , (3) , (6) ; 3
备用题 1.
为特解的 三 阶常系数线性齐次微分方程.
解: 根据给定的特解知特征方程有根 :
原题为选择题
因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为
2. 给出以 解:
(a,b为任意常数)为通解的微分方程
例5. 解: 特征方程:
原方程通解:
的通解. 特征根:
特征根 :
例6.
解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 :
例7. 解: 特征方程:
常系数齐次线性微分方程
常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程是研究微分方程的一个重要类别。
它是指形如dy/dx=f(x)或者F(x,y,yy...,y^(n))=0，其中f(x)和F(x,y,yy...,y^(n))是x的多项式函数，或者更一般地说，是某个定义域内的可积函数。
研究常系数齐次线性微分方程的方法有很多，包括拉格朗日求解法、拉普拉斯变换、幂级数解法等．首先，我们来讨论拉格朗日求解法。
拉格朗日求解法是针对常系数齐次线性微分方程的一种可行的解法，它将常系数齐次线性微分方程转换为一个特殊方程组，每个方程组的近似解就是线性微分方程的普遍解，也就是解析解。
解析解可以提供常系数线性微分方程的有界性、有效性及其它特性的结论。
其次，我们来讨论拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种有助于求解常系数齐次线性微分方程的方法，可以将常系数齐次线性微分方程转换为一个独立于空间变量x的时间变量t的线性系统。
拉普拉斯变换可以大大简化此类方程的求解，而且还可以利用其它线性系统的技术来求解相关方程，例如，矩阵求解法及线性系统的坐标变换。
最后，我们来讨论幂级数解法。
幂级数解法是求解常系数齐次线性微分方程的另一种可行的方法，它将方程的解表示为一个无穷级数式，形如y= a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+…+a_nx^n。
一般来说，幂级数解法主要利用线性求解法来求解微分方程，其关键步骤是求解微分方程的两边均为幂级数的特殊情况，即称之为“特殊幂级数”。
以上是常系数齐次线性微分方程的相关知识介绍，从以上的分析可以看出，常系数齐次线性微分方程是一个相当复杂的问题，涉及到很多的理论和数学技术，解决它的方法有很多种，需要结合具体的问题进行深入的研究。
总结起来，常系数齐次线性微分方程是一个重要的研究对象，其研究方法有很多，主要包括拉格朗日求解法、拉普拉斯变换和幂级数解法等。
不论是从理论上还是从实际应用角度来考虑，都必须深入了解这个重要的问题，以此为基础在推进相关研究的发展，从而使得更多的研究者能够从中受益。
高等数学7.7常系数齐次线性微分方程
( 0)
p 2 4q , 2
特征方程
r1 x y 一特解为 1 e ,
找与y1无关的另一特解 y2
r1 x
y2
u( x ) e ,
r1 x
2 e ( u 2r1u r1 u) 带入**式 e ( u y2 r1u), y2 u (2r1 p )u ( r12 pr1 q )u 0,
两个线性无关的特解
e , y2 e r2 x ,
y C 1e
r1 x
r1 x
得齐次方程的通解为
C 2e
r2 x
;
y py qy 0 **
设
y e ,
p
rxΒιβλιοθήκη r pr q 02
r pr q 0
2
r1 , 2
(2) 有两个相等的实根
p r r , 特征根为 1 2 2
小 结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)
y py qy 0 r pr q 0
特征根的情况
1 2
2
通解的表达式
1 r2 实根 r r 1 2
实根 r 复根 r
)e
rx
若r是k重共轭 复根 i
e x [(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x]
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根
都对应着通解中的一项,且每一项各带一个任意常数.
二、二阶常系数齐次线性方程解法
常系数齐次线形微分方程
• 引言 • 方程形式与分类 • 求解方法 • 应用场景 • 扩展与深化
01
引言
定义与特点
定义
常系数齐次线形微分方程是微分方程 中的一类，其特点是方程中的系数是 常数，且等号右边为0。
特点
这类方程具有线形性质，即未知函数 的最高阶导数项与其它项之间是线形 关系。
历史背景与发展
常系数齐次线性微分方程在物理 学中有广泛应用，如振动、波动、 热传导等。
THANKS
感谢观看
要点二
详细描述
二阶常系数齐次线形微分方程的一般形式为 y'' = -p*y' q*y，其中 p 和 q 是常数。解这类方程通常需要利用三角函 数或双曲函数的性质，通过适当的变量代换将其转化为可解 的形式。
高阶方程
总结词
高阶常系数齐次线形微分方程的解法较 为复杂，需要使用递推关系和数学归纳 法。
VS
+ p(x)y = q(x)。
解法
通过变量代换或积分因子法 ，将非齐次方程转化为齐次 方程，再利用已知的齐次方 程通解，求得非齐次方程的
特解。
应用
非齐次方程在物理、工程等 领域有广泛应用，如振动问 题、热传导问题等。
矩阵形式
定义
将线性微分方程组表示为矩阵形式，可以更方便 地处理多个未知函数的微分方程组。
详细描述
首先将方程中的未知函数与其导数分离，使 方程左侧为代数式，右侧为微分式。然后对 方程进行积分，得到一个关于未知函数的积 分式。最后通过求解代数方程，得到未知函 数的通解。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将原微分方程转化为更容易求解的微分方程。
详细描述
高数同济77常系数齐次线性微分方程
程的解。
通解与特解
线性微分方程的通解是包含所有 解的表达式，而特解是满足特定
初始条件的解。
解的独立性
若$y_1(x)$和$y_2(x)$是线性独 立的，即它们不成比例，则它们 的线性组合可以表示出方程的所
有解。
常系数齐次线性微分方程通解形式
应用举例
通过具体实例，展示了常系数齐次线性微分方程在物理、工程等领域的广泛应用，加深了 对理论知识的理解和掌握。
研究现状与发展趋势
研究现状
介绍了当前常系数齐次线性微分 方程在数学、物理、工程等领域 的研究现状，包括理论研究、数 值计算以及应用研究等方面。
发展趋势
分析了常系数齐次线性微分方程 未来的发展趋势，如更高效的求 解方法、更广泛的应用领域以及 与其他学科的交叉融合等。
偏微分方程的求解通常需要借助更复杂的数学工具，但常系数齐次线性微分方程的 求解方法相对简单，可以为偏微分方程的求解提供启示和借鉴。
07 总结与展望
主要内容回顾
常系数齐次线性微分方程的基本形式及性质
回顾了常系数齐次线性微分方程的一般形式、解的性质以及解的结构等重要概念。
求解方法与步骤
详细阐述了求解常系数齐次线性微分方程的常用方法，如特征根法、待定系数法等，以及 具体的求解步骤和注意事项。
特征方程与特征根
特征方程
对于$n$阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程是一个$n$ 次代数方程，形式为$a_0r^n+a_1r^{n-1}+cdots+a_{n1}r+a_n=0$。
特征根
特征方程的根称为特征根，它们决定了微分方程的通解形式 。特征根可以是实数或复数，对于复数特征根，需要利用欧 拉公式将其转化为三角形式或指数形式以便于求解。
常系数齐次线性微分方程组
dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
常系数线性方程组
所以有
du (t ) dv (t ) A(t )u (t ), A(t )v (t ) dt dt 即 u (t ) 和 v (t ) 是方程组（2）的解.
X (t ) X (t ) X 1 (0)
常系数线性方程组
1 0 0 3 3 t e cos 2t sin 2t cos 2t sin 2t . 2 2 3 1 sin 2t cos 2t sin 2t cos 2t 2
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关 的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解 系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et
同济大学高等数学教材答案
同济大学高等数学教材答案答案提供如下：同济大学高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限与连续1.3 无穷小与无穷大1.4 间断点与间断1.5 极限运算法则1.6 无穷小的比较1.7 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 函数的求导法则2.4 高阶导数与莱布尼茨公式2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 函数的微分与局部线性化2.7 线性近似与割线法2.8 高阶导数的应用2.9 曲率与曲率半径第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则3.3 微分中值定理的应用3.4 泰勒公式与麦克劳林公式3.5 函数的渐近线与渐近曲线3.6 导数的应用第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质4.2 基本初等函数的不定积分4.3 不定积分的基本运算法则4.4 函数的定积分与原函数4.5 牛顿—莱布尼茨公式与换元积分法4.6 函数的面积与定积分的应用4.7 罗尔定理与中值定理在积分中的应用第五章：定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 定积分的基本运算法则5.3 定积分的计算方法5.4 牛顿—莱布尼茨公式与变限积分5.5 定积分的应用5.6 广义积分与收敛性第六章：定积分的计算技巧6.1 分部积分法6.2 降阶与换元积分法6.3 罗利尔定理与定积分6.4 狄利克雷函数与阶跃函数6.5 W形曲线6.6 三角换元法6.7 参数化曲线的弧长6.8 数列与级数第七章：微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 齐次线性微分方程7.4 一阶线性微分方程7.5 Bernoulli方程7.6 高阶线性微分方程7.7 常系数线性微分方程的解法7.8 非齐次线性微分方程的解法7.9 变量分离与齐次方程组的解法这是一个针对同济大学高等数学教材的章节答案提纲。
每个章节的答案内容都应细致详尽，力求准确解答各个习题及相关概念、性质的说明。
高等数学练习册答案
高等数学练习册答案【篇一：高等数学练习册答案(下)】>7.5可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. y?xarctanx?ln?x2?c1x?c22.y?c1ex?x2?x?c2 3．y?c2e 二、求微分方程xy???y??0的通解?y?c1ln x?c2 ?三、求微分方程y3 y???1?0满足初始条件y|x?1?1? y?|x?1?0的特解?y?x?x2?7.6高阶线性微分方程一、判断题1．设y1(x)，y2(x)，y3(x)是某个二阶齐次线性微分方程的三个解，且y1(x)，y2(x)，y3(x).线性无关，则微分方程的通解为：y?c1y1(x)?c2y2(x)?(1?c1?c2)y3(x) （√ ）2．设y1(x)，y2(x) 是某个二阶齐次线性微分方程的二个特解，则y?c1y1(x)?c2y2(x) (c1 ，c2是任意常数)是该方程的通解。
（╳） 3．y=c1x2+c2x2lnx(c1 ，c2是任意常数)是方程xy???3xy??4y?0的通解。
（√ ）二、选择题答：1.c 2.c 3.c 4.b7.7常系数齐次线性微分方程一、判断题1．方程212c1x?1 y???y?0的解y1?ex,y2?e?x线性无关。
（√ ） 2．二阶常系数齐次线性微分方程任意两个解都线性无关。
（╳）3．二阶常系数齐次线性微分方程y???y??5y?0无解。
（╳）二、填空题x?2x 1、y?c1e?c2e2、 x?c1e?c2te? 3、y?e?3x(c1cos2x?c2sin2x)? 5t25t24、 y?c1?c2x?c3ex?c4xex5、y?e2xsin3x三、选择题答：1.b 2.b 3.a 4.c 5.b四、求下列微分方程(1)求微分方程y???4y??0的通解?y?c1?c2e4x?(2)求微分方程y???4y??5y?0的通解?y?e2x(c1cos x?c2sin x)?(3)求微分方程y(4)?2y????y???0的通解?y?c1?c2x?c3ex?c4xex?(4)求微分方程4y???4y??y?0? 满足所给初始条件y|x?0?2? y?|x?0?0的特解?7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题答：1、1xy?c1e2?c2e?x?ex，2、 ?1xy?e2(2?x)?y?ex(c1cos2x?c2sin2x)?1xexcos2x? 41xsinx?cosx 223、y??cosx??sinx?sin2x 4、y?二、选择题答：1.d 2.b 3.a 4.c 5.d 6.d程y???3y??2y?3xe?x的通解?原方程的通解为y?c1e?x?c2e?2x?e?x(x2?3x) 131332四、求微分方程y???3y??2y?5?满足已给初始条件 y|x?0?1? y?|x?0?2的特解?原方程的通解为y?c1ex?c2e2x?特解为 5? 25? 2 y??51ex?e2x?72第12章无穷级数12.1常数项级数的概念与性质一、判断题二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3.[x^(n/2)]*(1/2*n!)三、选择题答：1.c 2.a 3.c 4.c四、判定下列级数的收敛性 (1)111?3?13?5?15?7? ? ? ? ?(2n?1)(2n?1)? ? ? ? ?级数收敛?(2)sin?6?sin2?6?sin3?6? ? ? ? sinn?6? ? ? ? ?该级数发散? (3)13?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? ;级数发散?12.2 常数项级数的审敛法一、判断题二、填空题4. 0答：1.p1 2. ?sn?有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.??limun?0 ?un?un?1三、选择题答：1. d 2.c 3.d 4.a5.c四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性?(1)1??? ? ? ? ?级数发散? (4)sin11351? ? ? ? ?(2n?1)??sin??sin?? ? ? ? ?sin?? ? ? ? ? 2222级数收敛?五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性?23n3333(1)??? ? ? ? ?n? ? ? ? ? 1?22?223?23n?2级数发散?n2?n! (2)?n?n?1n?级数收敛?六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性?(1)?(n?1?n)n? 2n?1级数收敛(2)?(n?1?b)n? 其中a?a(n??)? a? b? a均为正数?nnan当b?a时级数收敛? 当b?a时级数发散?七、判定下列级数是否收敛？如果是收敛的? 是绝对收敛还是条件收敛？(1)1?1?1?1? ? ? ? ? 此级数是收敛的?条件收敛的?(2)?(?1)n?1n?1?n? 3?- 5 -解n?1?|(?1)n?1n|??n? ?3n?1n?13n?1级数收敛? 并且绝对收敛?12.3幂级数一、判断题二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,三、选择题答：1.d 2.b3d四、求下列幂级数的收敛域?(1)x?2x2?3x3? ? ? ? ?nxn? ? ? ??收敛域为(?1? 1)?2n?1x（2）?(?1)? 2n?1n?1n?1?xln 4. 绝对收敛 2?x收敛域为[?1? 1]?五、利用逐项求导或逐项积分? 求下列级数的和函数?(1)?nxn?1?n?1?s(x)?1 (?1?x?1 )(1?x2)? 352n?1xxx(2)x??? ? ? ? ?? ? ? ?? 352n?111?x s(x)?ln (?1?x?1) 21?x【篇二：高等数学练习册上答案】1 函数一、是非判断题1、f(x)在x上有界，g(x)在x上无界，则f(x)?g(x)在x上无界. [ √ ]2、函数f(x)?lnex与函数g(x)?elnx是表示同一函数. [ ╳] 答：不是同一函数，因为f(x)的定义域是(??，??)而g(x)的定义域(0，??)3、函数1f(x)?(1?cosx)2二、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是( a ) （a）y?|elnx| （b）y?x2 （c）y?x4（d）y?xsgnx2、f(x)?(cos3x)2在其定义域(??，??)上是（b）(a)最小正周期为3?的周期函数；(b)的周期函数；32?(c)的周期函数；(d)非周期函数。
77常系数齐次线性微分方程63163-精品文档16页
因此原方程的通解为 sC 1 C 2 te t
利用初始条件得 C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解: 特征方程 r22r50,特征根: r1,2 12i,
因此原方程的通解为
( u (x) 待定)
代入方程得: e [r1 x (u2r1ur12u)p(ur1u)qu0
u 2 r 1 p u r 1 2 p r 1 q u 0
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 xer1x, 因此原方程的通解为
第七章
第七节 常系数齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
求特征方程(代数方程)之根
山东交通学院高等数学教研室
二阶常系数齐次线性微分方程: ①
和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y erx ( r 为待定常数 ), 代入①得
r2prqerx0
r2prq0 ②
4. 写出通解.
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
例4.
的通解.
解: 特征方程 r42r35r20, 特征根:
r1 r2 0,
r 12i 3,4
因此原方程通解为
yC 1C 2xe x C 3 c o s 2 x C 4 s in 2 x
例5. 解方 y(5)程 y(4)0.
例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r11,r23,
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s 2ds s0
第七节 常系数齐次线性微分方程
第第七七节节 常常系系数数第齐齐七次次第节线线七性性节常微微常系分分系数数方方齐齐程程次次线线性微性分微方程分方程
例例55* 在在第第六六节节 例1 设有中一，设个物弹体簧只，受它弹的性上恢端复固固力定定，，f 下下
的作用，且在初量瞬为t m= 0的时物的体位. 置当为物体x =处x于0 ，静初止始状速态度时，，作作
dx dt
t 0
v0
.
求反的映重物力体与运弹动性规力律大的小函相数等x、、=方方x(向向t).相相反反.. 这这个个 位置就是物体的平衡位置. 建立如图所示的
解 由于不计的阻坐力标，系所，以原第点六O节为例平1衡中位的置方.程变为
设dd在2t 2x振 动k 2 x过程0 ,中，物体的位置函数为为
该方程叫做无阻x 尼= x自(t)由. 振下动面的来微求分振方动程规.律其. 通解为
两个复根 r1,2 = i
通解
y C1er1x C2er2x y (C1 C2 x)erx y e x ( C 1 c o s x C 2 s in x ) .
第七节 常系数齐次线性微分方程
三、 举第例七节 常系数齐次线性微分方程
例1 求微分方程 y – 2y – 3y = 0 的通解. 解 特征第方七程节为常系数齐次线性微分方程 例例22 求求微微分分方方r2程程– 2yyr–––344=yy0++,44yy == 00 的的通通解解.. 特征解根为特征r第1方=七–程节1为,常r2 系= 3数，齐是次两线个性不微相分等方的程实根，
所以例通3解求为微分方r2 程– 4yr+–44y= 0+,13y = 0 的通解. 特征解根为特征r第1方=七r程y节2 =为C2常1，e系-x是数+ 两C齐2个e次3x相线. 等性的微实分根方，程所以通解为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
( r 2 + 2 β r + β 2 )( r2 − 2 β r + β 2 ) = 0
r ,2 = 1
βቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
其根为
β
方程通解 :
2
( 1±i ), r3 , 4 = −
β
2
( 1±i )
w= e
2
(C1 cos
−
β
2
x + C2 sin
β
2
x)
β
2
+e
x
(C3 cos
β
2
x + C4 sin
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
第七节 常系数齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
求特征方程(代数方程)之根
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二阶常系数齐次线性微分方程
一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式 阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) + P y(n−1) +L+ P −1 y′ + P y = f ( x) 1 n n
特征方程:
r n + a1 r n−1 +L+ an−1r + an = 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项 则其通解中必含
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例1. 求 程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解. 方 解: 特征方程 r 2 − 2r − 3= 0, 特征根: r = −1, r2 = 3 , 1 因此原方程的通解为
1. 当 p − 4q > 0 有两个不相等的实根
2
特征根为 r1 =
− p+
p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , r2 = , 2 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
rx 1
得齐次方程的通解为 y = C1e
+ C2e ;
r2 x
山东农业大学
高等数学
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = f (x)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y′′ + py′ + qy = 0
-----特征方程法 特征方程法
特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
大阻尼解的特征: 大阻尼解的特征 ( n > k )
其 r , 2 = −n ± n2 − k 2 = −( n m n2 − k 2 ) < 0 中 1
1) 无振荡现象; 2) 对任何初始条件 lim x(t) = 0.
t →+∞
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 此图参数:
例2. 求解初值问题
d2s ds +2 +s =0 2 dt dt ds = −2 s t =0 = 4 , dt t = 0
−t
解: 特征方程 r 2 + 2r +1 = 0 有重根 r = r2 = −1, 1 因此原方程的通解为 s = (C1 + C2 t ) e 利用初始条件得
C1 = 4, C2 = 2
dx + 2n + k 2 x = 0 dt dt2 x t =0 = x0, dx t =0 = v0 dt
d2x
o x x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2x 2 方程: + 2 k x =0 dt 特征方程: r 2 +k 2 = 0, 特征根: r , 2 = ±i k 1
u′′ + ( 2r + 1
2 p )u′ + ( r 1
是特征方程的重根
u′′ = 0
取 u = x , 则得 y2 = x er1 x , 因此原方程的通解为
y = (C1 + C2x ) er1 x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
3. 当 p2 − 4q < 0 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解:
y1 = e(α+i β ) x = eα x (cos β x + i sin β x ) y2 = e(α−i β ) x = eα x (cos β x − i sin β x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
1 y1 = 2 ( y1 + y2 ) = eα x cos β x 1 y2 = 2i ( y1 − y2 ) = eα x sin β x
β
2
x)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例7. 解 程 y(4) + 2y′′ + y = 0 . 方 解: 特征方程: r 4 + 2r 2 +1 = 0
即 ( r 2 +1 )2 = 0
特征根为 则方程通解 :
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
作业： 习题7-7 作业：P- 340习题 习题
n =1.5, k =1 x0 =1.5 v0 = 5.073
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
临界阻尼解的特征 : ( n = k ) 任意常数由初始条件定, 无 C1,C2 取 值 有 论 何 都
1) x(t) 最多只与 t 轴交于一点;
2) 无振荡现象 ;
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.
1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3
猜想
有特解
rx
y=e
rx
设 y = e , 将其代入上方程, 得 rx 2 rx Q e ≠ 0, ( r + pr + q )e = 0
故有
r + pr + q = 0
2
特征方程
由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=erx就是 微分方程的解.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
于是所求初值问题的解为
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 求物体的运动规律 解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足 自由振动方程 , 因此定解问题为 初始
主讲人： 苏本堂
2. 当 p2 − 4q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得: ( u (x) 待定)
e
r x 1
2 [ ( u′′ + 2r u′ + r u ) + 1 1
p(u′ + r u ) + qu ] = 0 1
+ p r + q)u = 0 1
r = r2 = r3 = r4 = 0, r5 =1 1 原方程通解: y = C1 + C2x + C3x2 + C4 x3 + C5ex
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
d w + β 4w = 0 ( β > 0 ). dx4 解: 特征方程: (r2 + β 2 )2 − 2 β 2r2 = 0
r2 x
y = (C1 + C2 x ) e
r1 x
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
推广: 推广
y(n) + a1 y(n−1) +L+ an−1y′ + an y = 0 ( ak 均 常 ) 为 数
方程通解: x = C1 cos k t + C2 sin k t v0 利用初始条件得: C = x0, C2 = 1 k 故所求特解: v0 x = x0 cos k t + sin k t k
A ϕ
x0
v0 k
2 v0 kx0 2 ( A = x0 + 2 , tanϕ = v0 k
)
山东农业大学
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例4.
的通解.
解: 特征方程 r 4 − 2 r3 + 5 r 2 = 0, 特征根:
r = r2 = 0, 1
r3 , 4 =1± 2 i
因此原方程通解为
y = C1 + C2x + ex (C3 cos 2x + C4 sin 2x )
例5. 解 程 y(5) − y(4) = 0. 方 解: 特征方程: r5 −r 4 = 0, 特征根 :
因此原方程的通解为
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)