【数学】河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试试题(理)

河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试数学试题（理）
第Ⅰ卷
一、选择题
1.已知复数1i z =-+，则
22
z z z
+=+（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i
2.
设全集()U =+∞，集合2{|142}A x x =<-≤，则U C A =（ ） A
．([3,)+∞
B
．([3,)+∞ C
．((3,)+∞ D
．[(3,)+∞
3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）
A ．0.56
B ．0.336
C ．0.32
D ．0.224
4.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，
2241a c +=，且8cos 1B =，则b =（ ）
A ．6
B ．
C ．
D ．7
5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6.若函数221,1
()1,1
x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ）
A ．[2,3]
B ．[2,)+∞
C ．[1,3]
D ．[1,)+∞
7.记不等式组22220x y x y y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(,)x y .有下面四个命题：
1p ：P ∀∈Ω，x y -的最小值为6；2p ：P ∀∈Ω，224
205
x y ≤+≤；
3p ：P ∀∈Ω，x y -的最大值为6；4p ：P ∀∈Ω
22x y ≤+≤其中的真命题是（ ）
A ．1p ，4p
B ．1p ，2p
C ．2p ，3p
D ．3p ，4p
8.若(12)n x x -的展开式中3
x 的系数为80，其中n 为正整数，则(12)n x x
-的展开式中各项系
数的绝对值之和为（ ）
A ．32
B ．81
C ．243
D ．256
9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.若仅存在一个实数π
(0,)2t ∈，使得曲线C ：πsin()(0)6
y x ωω=->关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ） A ．17[,)33 B ．410[,
)33 C ．17(,]33 D ．410
(,]33
11.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --
H
R
=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
12.设双曲线Ω：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与右焦点分别为A ，F ，以线段AF 为
底边作一个等腰AFB ∆，且AF 边上的高h AF =.若AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是（ ） A ．存在唯一的e ，且3
(,2)2
e ∈
B ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3(,2)2
内 C ．存在唯一的e ，且3(1,)2
e ∈
D ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3(,2)2
内
第Ⅱ卷
二、填空题
13.在平行四边形ABCD 中，若AD AC BA λμ=+，则λμ+= ． 14.若圆C ：2
2
1()2x y n m
++
=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为 ．
15.若2
2cos (
)4
2
2π
α
β
-
-
13sin()αβ=+-，π,(0,)2αβ∈，则tan tan α
β
= ． 16.已知集合1{|}2
M x x =≥-，32
{|310}A x M x x a =∈-+-=，
{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B 的子集的个数为8，则a 的取值范围为 ．
三、解答题
（一）必考题.
17.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n n b a -=+，且
1222n n n S T n ++=+-.
（1）求n n T S -； （2）求数列{}2
n
n b 的前n 项和n R .
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1
个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；
（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为X ，求X 的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.
19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C 中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB
的中
点，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN C N =.
（1）证明：1A E ⊥平面1AC D ；
（2）若NE 与平面11BCC B
所成角的正弦值为20
，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.
20.已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C ：2
2y px =异于原点O 的交点为M ，
且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .
（1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ，Q
，且PQ =OP OQ ⋅； （2）证明：BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值.
21.已知函数2
()3e x
f x x =+，()91
g x x =-
.
（1）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明； （2）当0x a <≤时，e 45()x x x f x a ++->，且2
(3)e 350m
m m m --++=
(02)
m <<，
证明：0a m <<.
（二）选考题
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线M
的参数方程为x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
t 为参数，且0t >），以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤<.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()413f x x x =-+--. （1）求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.
【参考答案】
一、选择题
1-5: ABDAC 6-10: ACCBD 11、12：CA 二、填空题
13. 2 14. 22(1)4x y ++= 15. 2 16. 51
[,1)(1,)28
--- 三、解答题
17.解：（1）依题意可得113b a -=，225b a -=，…，21n n n b a -=+， ∴n n T S -1212()()n n b b b a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(222)n n =+++⋅⋅⋅+1
2
2n n +=+-.
（2）∵2n n n S S T =+()n n T S --2
n n =-，∴22
n n n
S -=，
∴1n a n =-.
又21n n n b a -=+，∴2n n b n =+.
∴
122n n n
b n =+， ∴n R n =+212()222n n ++⋅⋅⋅+，则1122n R n =+23112()222
n n
+++⋅⋅⋅+，
∴1122n R n =+21111()2222
n n n +++⋅⋅⋅+-， 故111
22212
n n R n +-=+⨯-2
222n n n
n n +-=+-. 18.解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110， 平均数为
1
(10110210410810911
++++110112115188189200)++++++1438
13111
=
≈. （2）X 的可能取值为2，5，10，
(10)P X =272235
C =
=， (5)P X =1133279
35
C C C ==，
(2)P X =21
342
7224
35
C C C ==， 则X 的分布列为
故()253535E X =⨯+⨯103535+⨯=. 这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会， 故共有14次抽奖机会.
所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为
113
1445.235
⨯=元. 19.（1）证明：由已知得111A B C ∆为正三角形，
D 为棱11A B 的中点， ∴111C D A B ⊥，
在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，则11AA C D ⊥. 又11
11A B AA A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∴11C D A E ⊥.
易证1A E AD ⊥，又1AD
C D D =，∴
1A E ⊥平面1AC D .
（2）解：取BC 的中点O ，11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥，1
OO BC ⊥， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(0,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(0,1,2)C -
，1
(
,2)22
D ， 设11C N C
D λ=3
(
,,0)22
λ=， 则11NE C E C N =-3(0,2,1),
,0)2λ=
--3
(,2,1)2
λ=--， 易知(1,0,0)n =是平面11BCC B 的一个法向量，
∴cos ,NE n <>==，解得13λ=.
∴3(,1)62NE =--，112C M C D λ
=(3=，11BM BC C M =
+(1,2)3
=-，， ∴cos ,NE BM <
>132---=
= ∴异面直线NE 与BM
20.（1）解：由21
2y x x py =+⎧⎨=⎩，消去y 得2220x px p --=.
设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
则122x x p +=，122x x p =-.
∴PQ =
=0p >，∴1p =.
∴1212OP OQ x x y y ⋅=+1212(1)(1)x x x x =+++121221x x x x =+++4211=-++=-.
（2）证明：由2222y px x py
⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p . 设直线AM ：12(2)y p k x p -=-，与22x py =联立得221124(1)0x pk x p k ---=. 由222111416(1)0p k p k ∆=+-=，得21(2)0k -=，∴12k =.
设直线BM ：22(2)y p k x p -=-，与22y px =联立得222224(1)0k y py p k ---=.
由22222416(1)0p p k k ∆=+-=，得22(12)0k -=，∴212
k
=.
故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：12(2)2
y p x p -=
-， 从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ， ∴2BOC S p ∆=，23ABM S p ∆=，∴BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为
222132
p p p =-（为定值）. 21.（1）解：()()f x g x >.
证明如下：
设()()()h x f x g x =-23e 91x x x +-+，∵'()3e 29x h x x =+-为增函数， ∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)3e 70h =->，∴0(0,1)x ∈. 当0x x >时，'()0h x >；当0x x <时，'()0h x <.
∴min 0()()h x h x =02003e 91x x x =+-+，
又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+，
∴2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--. ∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->，
∴min ()0h x >，()()f x g x >.
（2）证明：设()e 45()x x x x f x ϕ=++-2(3)e 45(0)x x x x x =--++>， 令'()(2)(e 2)0x x x ϕ=--=，得1ln 2x =，22x =，
则()x ϕ在(0,ln 2)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增. 2(2)9e 2ϕ=-<，设()2(ln 22)t t ϕ=<<，
∵2(3)e 350m m m m --++=(02)m <<，
∴2(3)e 45m m m m m --++=(02)m <<，即()m m ϕ=(02)m <<.
当0a t <<时，()(0)2x a ϕϕ>=>，则e 45()x
x x f x a ++->.
当t a m ≤≤时，min ()()x a ϕϕ=，∵45()x xe x f x a ++->，∴()a a ϕ>，∴t a m ≤<. 当2m a <<或2a ≥时，不合题意.
从而0a m <<.
22.解：（1）∵y t x =
，∴x x
=
2)y x -， 又0t >
0>，∴2x >或0x <， ∴曲线M
的普通方程为2)y x =-（2x >或0x <）.
∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为
2240x x y -+=.
（2
）由222)40
y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=， ∴11x =（舍去），23x =，
则交点的直角坐标为
，极坐标为π)6.
23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282
x x ≥⎧⎨-≤⎩，
解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5]
.
（2）()413f x x x =-+--22,10,1428,4x x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩
，
作出函数()f x 的图象，如图所示，
直线2y kx =-过定点(0,2)C -， 当此直线经过点(4,0)B 时，12k =； 当此直线与直线AD 平行时，2k =-. 故由图可知，1(,2)[
,)2
k ∈-∞-+∞.。