小学奥数7-4-3 排列的综合应用.专项练习及答案解析-精品

1.使学生正确理解排列的意义；
2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；
3.掌握排列的计算公式；
4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
通过本讲的学习，
对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．
一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．
根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：
步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；
步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……
步骤m ：从剩下的[(
1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；
由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．
二、排列数
一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．
表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．
教学目标
知识要点
7-4-3.排列的综合应用
【例 1】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一
共有多少种站法？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、
六个，甲乙两人要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：
24243P P 144⨯⨯=（种）． 【答案】144
【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一
共有多少种站法？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有
人时分别有3、4、5种位置选取方法，所以站法总数有：2424(3+4+5)P P 576⨯⨯=（种）．
【答案】576
【例 2】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站
在队伍右半边，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一
个人有三种站法，剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：33432P 144⨯⨯⨯=（种）．
【答案】144
【例 3】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的
三个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论： 如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：556P 720⨯=（种）
如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 5545P 2400⨯⨯=（种）
如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法
如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有44214⨯-=（种）方法．丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：
55144P 6720⨯⨯=（种）
所以总站法种数为72024002400672012240+++=（种） 【答案】12240
【例 4】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： ⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端；
例题精讲
⑶ 男、女生分别排在一起； ⑷ 男女相间．
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下
的8个人随
意排，也就是8个元素全排列的问题，有8
88765432140320P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)选择．由乘法原理，共有640320241920⨯=(种)排法．
⑵ 甲、乙先排，有22212P =⨯=(种)排法；剩下的7个人随意排，有
7
776543215040P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，共有
2504010080⨯=(种)排法． ⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有22212P =⨯=(种)不同排列方法，再分别
对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有
44432124P =⨯⨯⨯=(种)和5
554321120P =⨯⨯⨯⨯=(种)排法． 由乘法原理，共有2241205760⨯⨯=(种)排法．
⑷ 先排4名男生，有44432124P =⨯⨯⨯=(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有
5
554321120P =⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，一共有
241202880⨯=(种)排法． 【答案】2880
【例 5】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
（1）七个人排成一排；
（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.
（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.
（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排．
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 （1）7
75040
P =（种）． （2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．6
6720
P =（种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．
（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．5
52240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，255
5
2400P P ⨯=（种）.
（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个
人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．7
75040P =（种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即
可．4×3×5
5P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．
【答案】（1）7
7
5040P =（种）．（2）66720P =（种）.（3）2×66P =1440(种)．（4）552240P ⨯= (种)．
（5）25552400P P ⨯=（种）.（6）7
75040
P =（种）.（7）4×3×55P ×2=2880(种)．
【例 6】 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列。

现在他
们要变成排的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列。

同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有__________种不同排法。

【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第13题 【解析】 将这8人按身高从低到高依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8.，现在相当于要求
将这8个数填入下面的42⨯的方格中，每个方格中填一个数，使得每一行的方格中的数依次增大，而每一列中下面的方格中的数比上面的方格中的数要大。

8
1
首先可以确定1和8只能分别在左上角和右下角的方格内，2只能在第一行第二列或第二行第一 列的方格内，7只能在第一行第四列或第二行第三列的方格内。

2和7的填法共有224⨯=种可能，对这4种情况分别进行讨论：⑴若2和7的位置如图①，则第一行第三列的方格不可以填6，但可以填3，4，5，这个方格填好后，第二行的三个空格只有唯一的填法。

所以此时有3种填法；
728
1 7
2
8
1
① ②
⑵若2和7的位置如图②，现在需要从3，4，5，6四个数中选取2个填入第一行的两个空
格，有2
46C =种选法。

所选出的2个数只有一种填法，且这两个数选出后，剩下的两个数填在第二行的两个空格，也只有一种填法，所以这种情况下有6种填法；⑶若2和7的位置如图③，则第二行第二列的方格内不能填3，可以填4，5，6，每一种填法就对应整个42⨯方格的一种填法，所以此时有3种填法；
7
2
8
1 72
8
1
③ ④
⑷若2和7的位置如图④，则此时3和6只能分别填在中间22⨯方格的左上角和右下角，4和5填在剩下的2个方格，有2种填法。

根据加法原理，共有363214+++=种不同的填法。

所以原题中二列纵队有14种不同的排法。

【答案】14种
【例 7】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至
第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已
知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，
有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有3
33216P =⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，一共有33654⨯⨯=(种)不同的排法．
【答案】54
【例 8】 书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排．⑴ 如果
同类的书不分开，一共有多少种排法？⑵ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 可以分三步来排：先排故事书，有3
33216P =⨯⨯=(种)排法；再排作文选，有
2 2212
P=⨯=(种)排法；最后排漫画书有1种排法，而排故事书、作文选、漫画书
的先后顺序也可以相互交换，排列的先后顺序有3
33216
P=⨯⨯=(种)．故由乘法原理，一共有621672
⨯⨯⨯=种排法．
⑵ 可以看成3216
++=(本)书随意排，一共有6
6654321720
P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)排法．
若同类书不分开，共有72种排法；若同类书可以分开，共有720种排法．
【答案】720
【例 9】一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？
⑴ 把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位．
⑵ 串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．
【考点】排列之综合运用【难度】2星【题型】解答
【解析】⑴ 可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有5种选择；然后把剩下的6盏灯随意排，
是一个全排列问题，有6
6654321720
P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)排法．
由乘法原理，一共有57203600
⨯=(种)．
⑵ 先安排第一盏和第四盏灯．第一盏灯不是紫灯，有6种选择；第四盏灯有5种选择；剩
下的5盏灯中随意选出2盏排列，有2
55420
P=⨯=(种)选择．由乘法原理，有6520600
⨯⨯=(种)．
【答案】600
【例 10】某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种
不同的播放节目方案？
【考点】排列之综合运用【难度】2星【题型】解答
【解析】某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时
段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中
任选一个，一共有4种选择．剩下的5个节目随意安排顺序，有
5 554321120
P=⨯⨯⨯⨯=(种)选择．由乘法原理，一共有4341205760
⨯⨯⨯=(种)不同的播放节目方案．
【答案】5760
【例 11】从6名运动员中选出4人参加4100
⨯接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种：
⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒；
⑵ 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答
【解析】⑴ 先确定第一棒和第四棒．第一棒是甲以外的任何一个人，有5种选择，第四棒
有4种选择，剩下的4个人中随意选择2个人跑第二棒和第三棒，有2
44312
P=⨯=种选择．由乘法原理，一共有5412240
⨯⨯=(种)参赛方案．
⑵ 先不考虑甲、乙的特殊要求，从6名运动员中随意选择4人参赛，有4
66543360
P=⨯⨯⨯=
种选择．考虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应3
554360
P=⨯⨯=种不同的选择，考虑若乙跑第四棒，也对应60种不同的选择，但是，从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况．这种情况下，对应于第一棒，
第四棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的2
44312
P=⨯=(种)方案，应加上．综上所述，一共有36060212252
-⨯+=(种)不同的参赛方案．
【答案】⑴240 ⑵252
【例 12】 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：
⑴ 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵ 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺
序？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列
的问题，有
7
77!76543215040P ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)方法．第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节
目全排列的问题，有444!432124P ==⨯⨯⨯=(种)方法． 根据乘法原理，一共有504024120960⨯=(种)方法．
⑵ 首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有
666!654321720P ==⨯⨯⨯⨯⨯=(种)方法． ×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这
相当于从7个“×”中选4个来排，一共有4
77654840P =⨯⨯⨯=(种)方法． 根据乘法原理，一共有720840604800⨯=(种)方法． 【答案】⑴120960 ⑵604800
【巩固】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱
节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有44432124
P =⨯⨯⨯=种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三
个节目选两个进行排列的问题，有2
3326P =⨯=(种)排法；
再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法．由乘法原理，一共有2463432⨯⨯=(种)不同的编排方法．
【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本题中，
独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘，得出最后的答案．
【答案】432
【例 13】 用2345，，，排成四位数： （1）共有多少个四位数？
（2）无重复数字的四位数有多少个？ （3）无重复数字的四位偶数有多少个？
（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？ （5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？
（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如
2 234
3 3552 4445555，，， 等．
依分步计数乘法原理共有444444⨯⨯⨯=（个） ⑵4424P =（个）
⑶个位上只能是2或4，有22212P =（个）
⑷所有四位数中，2在3的左边或2在3的右边的数各占一半，共有441
122
P =（个）
⑸2在千位上，只有1种方法，此后345、
、只能在另外的3个位置上排列，有33P 6=（个） ⑹法一：5不在十位、个位上，所以5只能在千位上或百位上，有3
3212P =（个） 法二：从55P 中减去不合要求的（5在十位上、个位上），有432
4322212P P P -==（个）
． 【答案】⑴444444⨯⨯⨯=（个）⑵4424P =（个）⑶22212P =（个）⑷441122
P =（个）⑸33P 6
=（个）
⑹法一： 33212P =（个）法二： 432
4322212P P P -==（个）．
【巩固】 用数字012345，
，，，，组成没有重复数字的正整数． ⑴能组成多少个五位数？
⑵能组成多少个正整数？ ⑶能组成多少个六位奇数？
⑷能组成我少个能被25整除的四位数？ ⑸能组成多少个比201 345大的数？ ⑹求三位数的和．
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，
但需考虑特殊位置和特殊元素．
（1）因为万位上的数字不能是0，所以万位上的数字的排法有22P 种，其余四位上的排法有
45P 种，所以，共可组成14
5
5P P 600=个五位数． （2）组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法依次有
1111213141555555555555P P P P P P P P P P P ，，，，，，
所以，可组成1111213141555555555555 1 630P P P P P P P P P P P +++++=个正整数．
（3）首位与个位的位置是特殊位置，0135，
，，是特殊元素，先选个位数字，有13P 种不同的选法；再考虑首位，有14P 种不同的选法；其余四个位置的排法有44P 种．
所以，能组成114344288P P P =个六位奇数．
（4）能被255整除的四位数的特殊是末两位数是25或50，这两种形式的四位数依次是1135P P 和24P 个．
所以，能组成11233421P P P +=个能被25整除的四位数．
（5）因为210345除首位数字2以外，其余5个数字顺次递增排列，所以，210 345是首位
数是2的没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为2的没有重复数字的最小
六位数．比它小的六位数是首位数为1的六位数，共有55P 个，而由012345，，，，，组成的六位数有6565P P -个．
所以，大于210 345的没有重复数字的六位数共有
655655P P P 1479--=（）-（个） （6）由012345，
，，，，组成无重复数字的三位数共有1
255P P 100=（个）. 个位数字是1的三位数有11
44P P 16=（个），同理个位数字是2、3、4、5的三位数都各有16
个，所以，个位数字的和是11
4
4P P (12345)⋅++++；同样十位上是数字1、2、3、4、5的三位数也都各有1144P P 个，这些数字的和为11
4
4P P (12345)10⋅++++⨯；百位上是数字1、2、3、4、5的三位数都各自有25P 个，这些数字的和为25P (12345)100⋅++++⨯．
所以，这100个三位数的和为
21111
34444P (1234)100P P (12345)10P P (12345)(12345)⋅+++⨯+⋅++++⨯+⋅++++=++++⨯
2111154444(P 100P P 10P P )32640⨯+⨯+=
【答案】本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位置和特殊元素．
（1）1455P P 600= （2）1111213141555555555555 1 630P P P P P P P P P P P +++++=．（3）114
344288P P P =．
（4）11233421P P P +=．
（5）655655P P P 1479--=（）-（个）（6）32640
【例 14】 由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．
⑴四位数有多少个？ ⑵四位数奇数有多少个？ ⑶四位数偶数有多少个？ ⑷整数有多少个？
⑸是5的倍数的三位数有多少个？ ⑹是25的倍数的四位数有多少个？ ⑺大于5860的四位数有多少个？ ⑻小于5860的四位数有多少个？
⑼由小到大排列的四位数中，5607是第几个数？ ⑽由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴1
355P P 300⋅=（个）
（或4365P P 300-=（个））． ⑵个位上只能是5或7，0不能作千位数字，有12442P P 96⋅=（个）
． ⑶个位上只能是0或2，6，8，个位上是0的有35A 个，个位上的是2，6，8的有12443(P P )个，所以共有1234453(P P )P 204⋅+=（个）
． ⑷包括一位数，二位数，…，六位数，共有1111213141565555555555P P P P P P P P P P P 1631+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=（个）．
⑸5的倍数只能是个位上的0或5的数，共有211
544P P P 36+⋅=（个）． ⑹末两位数只能是25，50，75，共有211433P 2P P 30+⋅=（个）． ⑺共有31533P 2P 11861185+-=-=（个）
． ⑻共有321543P 4P 2P 114++=（个），或者从总数300中减去大于和等于5860的数的个数3001851114--=（个）．
⑼小于5607的四位数，即形如2⨯⨯⨯，50⨯⨯，52⨯⨯，5602的数，共有3254P 2P 185++=（个）．
所以，5607是第86个数．
⑽由小到大排列的四位数形如2⨯⨯⨯，5⨯⨯⨯，各有3
560A =个，共120个；需再向后数8个，602⨯，605⨯，各有13P 个，然后是6072，6075，这样，6075是第12062128++=（个）数．
所以，6075为所求的数． 【答案】
⑴1355P P 300⋅=⑵12442P P 96⋅=．⑶1234453(P P )P 204⋅+=．⑷1631．⑸211544P P P 36+⋅=．⑹
211433P 2P P 30+⋅=．
⑺31533P 2P 11861185+-=-=．⑻114．⑼第86个数．⑽第12062128++=（个）
．
【例 15】 ⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要
求列式）
⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？
⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？ ⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？
⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？
⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，
有38P 种． ⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有38P 种．
⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有38P 种．
⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有38P 种． ⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有38P 种． ⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有38P 种．
【答案】⑴有38P 种．⑵有38P 种．⑶有38P 种．⑷有38P 种．⑸有38P 种．⑹有38P 种．
【例 16】 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2
人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组： (1)共有多少种选法?
(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种? (3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?
(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种? 【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （1）从3个男同学中选出2人，有
2
2
3⨯=3种选法．从4个女同学中选出2人，有
2
3
4⨯=6种选法．在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法．
3×6×24=432，所以共有432种选法．
（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法． 3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种．
（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法．
3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种．
（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法．
3×2×3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种． 【答案】（1）432种．
（2）216种． （3）378种． （4）198种．
【例 17】 观察如图所示的减法算式发现，得数175和被减数571的数字顺序相反。

那么，
减去396后，使得数与被减数的数字顺序相反的三位被减数共有__________个。

5 7 1- 3 9
6 1
7 5
【考点】排列之综合运用 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第16题 【解析】 即396abc cba
-=1001039610010a b c c b a
⇒++-=++4a c ⇒-=且
(09]a c ∈，， 567891
2345
0~90~90~90~90~9a a a a a c c c c c b b b b b =====⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪
⎪⎪
⎪
=====⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪=====⎩
⎩
⎩⎩⎩
∴共51050⨯=个 【答案】50个
【例 18】 将0～9这十个数字分别填入下面算式的□内，每个数字只能用一次；那么满足
条件的正确填法共有______种． □＋□□＋□□□＝□□□□
【考点】排列之综合运用 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】 根据弃九法(或者说四大同余定理之一)，两边的数除以9的余数应该相同，即各位
数字之和应该相差9n ．所以，如图910g e f
c d a b
+，则，设9A c d e f g =+++++，
10B a b =+++．所以，45
9A B A B n +=⎧⎨-=⎩
因为A B +与A B -同奇偶，所以A B -不可能等于偶数，可以是9，或者27． 当9A B -=时，27A =，18B =，则17a b +=，不成立． 当27A B -=时，36A =，9B =，则8a b +=，成立． 所以，a 、b 可能为()2,6()3,5()6,2()5,3四种．
当()(),2,6a b =则有113847e c +==+=+． 当()(),3,5a b =则有1248e c +==+； 当()(),6,2a b =则有1578e c +==+； 当()(),5,3a b =则有1468e c +==+；
上面从右边分类看，共分5类，每一类中e 与c 都可以交换，g ，f ，d 可以交换
排列
所以每一类有23
2312P P ⨯=种．所以共有5×12=60(种)．
【答案】60种。