高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的一般方程课件新人教A版必修2

表示任何图形．
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
7
一般方程课件新人教A版必修2
[思考探究]………………|辨别正误| 1．若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？ [提示] x2＋y2＋F＝0. 2．若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆， 需满足什么条件？ [提示] ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
30
一般方程课件新人教A版必修2
考向 3 定义法求动点的轨迹方程 【例 5】 已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3， 0)，求直角顶点 C 的轨迹方程． [解] 解法一：设顶点 C(x，y)，因为 AC⊥BC，且 A，B， C 三点不共线，所以 x≠3，且 x≠－1. 又因为 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1， 所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
20
一般方程课件新人教A版必修2
解法二(几何法)： 由题意得线段 PQ 的中垂线方程为 x－y－1＝0. ∴所求圆的圆心 C 在直线 x－y－1＝0 上，设其坐标为 C(a， a－1)． 又圆 C 的半径长 r＝|CP|＝ a－42＋a＋12. ① 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3，而圆心 C 到 y 轴 的距离为|a|.
复习课件
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的一般方程课件 新人教A版必修2
1
第四章 圆与方程
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
2
一般方程课件新人教A版必修2
4．1 圆的方程 4．1．2 圆的一般方程
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
27
一般方程课件新人教A版必修2
题型三 求动点的轨迹方程
考向 1 直接法求轨迹方程
【例 3】 求到点 O(0,0)的距离是到点 A(3,0)的距离的12的
点的轨迹方程．
[解] 设 M(x，y)到 O(0,0)的距离是到 A(3,0)的距离的12. 则||MMOA||＝12.∴ x－x23＋2y＋2 y2＝12. 化简得 x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝ 4.
范围是
．
解析：若方程 x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0 表示圆， 则 2a2－4a＞0，∴a2－2a＞0，∴a＜0 或 a＞2.
答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
11
一般方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
课堂互动探究
剖析题型 总结归纳
∴xy00＝ ＝22xy， .
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
29
一般方程课件新人教A版必修2
∵点 P(x0，y0)在圆 C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0 上， ∴x20＋y20－8x0－6y0＋21＝0. ∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0. 即点 M 的轨迹方程为 x2＋y2－4x－3y＋241＝0.
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
12
一般方程课件新人教A版必修2
题型一 圆的一般方程的辨析
【例 1】 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，
求：
(1)实数 m 的取值范围；
(2)圆心坐标和半径． [解] (1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
17
一般方程课件新人教A版必修2
2．已知曲线 C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当 m≠2 时，曲线 C 是一个圆，且圆心在一条直线上．
证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 又 m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2＋4F＞0， 即曲线 C 是一个圆．
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解 析 ： 选 D 圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 6y ＝ 0 的 圆 心 坐 标 为
－－24，－62，即(2，－3)．
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
10
一般方程课件新人教A版必修2
2．若方程 x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0 表示圆，则实数 a 的取值
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
26
一般方程课件新人教A版必修2
∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0，② 8D＋6E＋F＋100＝0.③ 联立①②③，解得 D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的 方程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
25
一般方程课件新人教A版必修2
4．求经过点 A(－2，－4)且与直线 x＋3y－26＝0 相切于点 B(8,6)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2. ∵圆与 x＋3y－26＝0 相切，∴86＋＋DE22 ·－13＝－1，即 E－3D －36＝0.①
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
8
一般方程课件新人教A版必修2
知识点二|由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋ E2－4F>0)．则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点 M 在圆 8 _外___
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
3
一般方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
课前自主学习
登高揽胜 拓界展怀
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
4
一般方程课件新人教A版必修2
学习目标 1．正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径． 2．会在不同条件下求圆的一般方程．
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
23
一般方程课件新人教A版必修2
3．求圆心在直线 2x－y－3＝0 上，且过点(5,2)和(3，－2) 的圆的一般方程．
解：设所求圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心为－D2 ，－E2. ∵圆心在直线 2x－y－3＝0 上， ∴2×－D2 －－E2－3＝0.①
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
22
一般方程课件新人教A版必修2
|方法总结| 利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方 程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用 待定系数法求出常数D，E，F.
设圆心坐标为(x，y)，则由xy＝ ＝2－mm， 消去 m，得 x＋2y＝0， 即圆心在直线 x＋2y＝0 上．
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
18
一般方程课件新人教A版必修2
题型二 求圆的一般方程
【例 2】 已知一圆过 P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程．
4 ________2_________.
，半径为
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
6
一般方程课件新人教A版必修2
2．当 D2＋E2－4F＝0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示
点
.
3．当 7 _D__2＋__E_2_－__4_F_<__0_时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
28
一般方程课件新人教A版必修2
考向 2 代入法求点的轨迹方程
【例 4】 已知点 P 在圆 C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0 上运 动，求线段 OP 的中点 M 的轨迹方程．
[解] 设点 M(x，y)，点 P(x0，y0)，
则x＝x20， y＝y20，
由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1，y2 是方程③的两根． ∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
联立①②④解得，DE＝＝0－，2， F＝－12
或DE＝＝－－81，0， F＝4.
故所求方程为 x2＋y2－2x－12＝0 或 x2＋y2－10x－8y＋4＝
0.
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
14
一般方程课件新人教A版必修2
|方法总结| 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的 特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一 是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的 常数.
[解] 解法一(待定系数法)： 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将 P，Q 的坐标分别代入上式，
得D4D－－3E2E－＋FF－＋102＝0＝0，0，
① ②
令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0， ③
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
19
一般方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
24
一般方程课件新人教A版必修2
又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上， ∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.② 32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0. ③ 解①②③组成的方程组，得 D＝－4，E＝－2，F＝－5. ∴所求圆的一般方程为 x2＋y2－4x－2y－5＝0.
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
15
一般方程课件新人教A版必修2
1．若方程 x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则实
数 a 的Байду номын сангаас值范围是
．
解析：解法一：方程 x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即
为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足 1－a＞0，故 a＜
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
5
一般方程课件新人教A版必修2
‖自主导学‖ 预习课本 P121～P123，思考并完成以下问题．
知识点一|圆的一般方程的定义 1．当 1 ___D_2_＋__E_2_－__4_F_>_0___时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0 叫做圆的一般方程，其圆心为 D2＋E2－4F
即 4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得 m＜15，
故 m 的取值范围为－∞，15.
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
13
一般方程课件新人教A版必修2
(2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x ＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径 r＝ 1－5m.
点 M 在圆 9 _上___ 点 M 在圆 10 _内___
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＜0
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
9
一般方程课件新人教A版必修2
‖小试身手‖
1．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
1. 解法二：要使方程 x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示
圆，需满足(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，解得 a＜1.
答案：(－∞，1)
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
16
一般方程课件新人教A版必修2
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
21
一般方程课件新人教A版必修2
∴r2＝a2＋4232，代入①并将两端平方得 a2－6a＋5＝0， 解得 a1＝1，a2＝5，∴r1＝ 13，r2＝ 37.
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13 或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
2021/4/17