静力学第四章课件.ppt
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F F
MO (F, F) (rA rB ) F rBA F M
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 ) rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
2、空间力偶系
•力对点的矩和力对轴的矩
直接法 二次投影法
力对点的矩
MO(F) r F
力对轴的矩 Mz (F) MO (Fxy ) Fxy d
• “点矩”和“轴矩”的关 系
MO (F)x yFz zFy M x (F)
MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
M
cos M y
M
cos M z
M
空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等
于零，即
M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
称为空间力偶系的平衡方程.
§4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主 矩1． 空间任意力系向一点的简化
Fi Fi Mi MO (Fi ) 空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , My My , Mz Mz
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos M x
• 空间力偶矩矢及其性质
（1）、（2）、（3）、（4）、（5）
3、空间任意力系向一点的简化
Fi Fi Mi MO (Fi )
力的平移定理
用空间汇交力系与空间力偶系来等 效或者代替空间任意力系.
空间汇交力系的合力
FR Fi Fxi Fy j Fzk
空间力偶系的合力偶矩
MO Mi MO (Fi )
求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，
画受力图。
Fx 0
FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
Vi yi V
yC
Ai yi A
zC
Vi zi V
zC
Ai zi A
称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l 则
xC
F1 P
l
然后，有
xC
F2 P
l
l ' l cos
xC ' xC cos h sin
sin H cos l2 H 2
求：其重心坐标.
解：用负面积法，为三部分组成.
由对称性，有 x C 0
A1
2
R2,
A2
2
(r
b)2,
A3
r2
y1
4R
3
,
y2
4(r
3
b)
,
y3
0
由 yC
Ai yi A
得
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.03mm
本章小结
1、空间汇交力系
•力在直角坐标轴上的投 影
求： 各杆内力
解：研究对象，长方板
列平衡方程
M AB F 0
F6
a
a 2
P
0
F6
P 2
M AE F 0
F5 0
M AC F 0
F4 0
MEF F 0
F6
a
a 2
P
F1
ab 0 a2 b2
MFG F 0
Fb
b 2
P
F2b
0
MBC F 0
F2
b
b 2
P
F3
主矢 主矩
4、空间任意力系的简化结果
（1） 合力
FR 0, MO 0
FR 0, MO 0, FR MO
过简化中心合力
合力.合力作用线距简化 中心为 d MO FR
（2）合力偶
FR 0, MO 0
（3）力螺旋
FR 0, MO 0, FR // MO
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR
,
j)
Fy FR
cos(FR
,
k
)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点.
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0
力对点的矩与力对过该点的轴的矩之关系
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
MO Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
例4-4 已知： F,l, a,
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计.
§4–1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
例4-1 已知：Fn , ,
求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
x3 15mm y3 5mm A3 300mm 2
则
xC
Ai xi A
A1x1 A2 x2 A3x3 A1 A2 A3
2mm
yC
Ai yi A
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
27mm
例4-8 已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm,b 13mm
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
中心轴过简化中心的力螺旋
FR 0, MO 0, FR, MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
d M O sin
FR
（4）平衡 FR 0, MO 0
平衡
§4–5 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：
该力系的主矢、主矩分别为零.
Fx 0 Fy 0 Fz 0
cos
45
b
0
F1 0 F2 1.5P
F3 2 2P
§4–6 重 心
1．计算重心坐标的公式
P xC P1 x1 P2 x2 .... Pn xn
Pi xi
xC
Pi xi P
P yC P1 y1 P2 y2 .... Pn yn
Pi yi
yC
解：研究对象：小车
列平衡方程
Fz 0 P P1 FA FB FD 0
M x F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
M y F 0 0.8P1 0.6P 1.2FB 0.6FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
例4-6 已知：F、P及各尺寸
空间汇交力系的合力
FR Fi Fxi Fy j Fzk
主矢
空间力偶系的合力偶矩
MO Mi MO (Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
MO Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
（1） 合力
FR 0, MO 0
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
M rBA F
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
变而改变.
MO (F, F) MO (F ) MO (F) rA F rB F
过简化中心合力
FR 0, MO 0, FR MO
合力.合力作用线距简化R MO (FR ) MO (F)
由此，再次引申出——合力矩定理.
（2）合力偶
FR 0, MO 0
（3）力螺旋
一个合力偶，此时与简化中心无关。
FR 0, MO 0, FR // MO
Fx 0 Fy 0
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例4-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图，列平 衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
=
=
滑力移矢矢是量? 定力位矩矢量是? 自力由偶矢矩量矢是? 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．力偶系的合成与平衡条件
解： Fz Fn sin Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
FR
F i
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F Fzd1 F cos l a M y F Fzd2 F cos l
M z F Fxd1 F sin l a
§4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
MO (F )x yFz zFy MO (F ) y zFx xFz MO (F )z xFy yFx
2.力对轴的矩
Mz (F) MO (Fxy ) Fxy d
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩之关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
Mx 0 My 0 Mz 0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以 及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例
例4-5 已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 求：A、B、D 处约束力
l
l
zC
r
F2
P
F1
1 H
l2 H2
例4-7 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.
求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可.
用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为
x1 15mm y1 45mm A1 300mm 2
x2 5mm y2 30mm A2 400mm 2
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
（2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO(F) r F
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
MO(F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk ) (yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k 力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
Pi yi P
根据是什么？
P zC P1 z1 P2 z2 .... Pn zn
Pi zi
zC
Pi zi P
计算重心坐标的公式为
xC
Pi xi P
yC
Pi yi P
zC
Pi zi P
对均质物体，均质板状物体，有
xC
Vi xi V
xC
Ai xi A
yC
MO (F, F) (rA rB ) F rBA F M
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 ) rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
2、空间力偶系
•力对点的矩和力对轴的矩
直接法 二次投影法
力对点的矩
MO(F) r F
力对轴的矩 Mz (F) MO (Fxy ) Fxy d
• “点矩”和“轴矩”的关 系
MO (F)x yFz zFy M x (F)
MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
M
cos M y
M
cos M z
M
空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等
于零，即
M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
称为空间力偶系的平衡方程.
§4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主 矩1． 空间任意力系向一点的简化
Fi Fi Mi MO (Fi ) 空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , My My , Mz Mz
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos M x
• 空间力偶矩矢及其性质
（1）、（2）、（3）、（4）、（5）
3、空间任意力系向一点的简化
Fi Fi Mi MO (Fi )
力的平移定理
用空间汇交力系与空间力偶系来等 效或者代替空间任意力系.
空间汇交力系的合力
FR Fi Fxi Fy j Fzk
空间力偶系的合力偶矩
MO Mi MO (Fi )
求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，
画受力图。
Fx 0
FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
Vi yi V
yC
Ai yi A
zC
Vi zi V
zC
Ai zi A
称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l 则
xC
F1 P
l
然后，有
xC
F2 P
l
l ' l cos
xC ' xC cos h sin
sin H cos l2 H 2
求：其重心坐标.
解：用负面积法，为三部分组成.
由对称性，有 x C 0
A1
2
R2,
A2
2
(r
b)2,
A3
r2
y1
4R
3
,
y2
4(r
3
b)
,
y3
0
由 yC
Ai yi A
得
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.03mm
本章小结
1、空间汇交力系
•力在直角坐标轴上的投 影
求： 各杆内力
解：研究对象，长方板
列平衡方程
M AB F 0
F6
a
a 2
P
0
F6
P 2
M AE F 0
F5 0
M AC F 0
F4 0
MEF F 0
F6
a
a 2
P
F1
ab 0 a2 b2
MFG F 0
Fb
b 2
P
F2b
0
MBC F 0
F2
b
b 2
P
F3
主矢 主矩
4、空间任意力系的简化结果
（1） 合力
FR 0, MO 0
FR 0, MO 0, FR MO
过简化中心合力
合力.合力作用线距简化 中心为 d MO FR
（2）合力偶
FR 0, MO 0
（3）力螺旋
FR 0, MO 0, FR // MO
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR
,
j)
Fy FR
cos(FR
,
k
)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点.
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0
力对点的矩与力对过该点的轴的矩之关系
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
MO Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
例4-4 已知： F,l, a,
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计.
§4–1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
例4-1 已知：Fn , ,
求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
x3 15mm y3 5mm A3 300mm 2
则
xC
Ai xi A
A1x1 A2 x2 A3x3 A1 A2 A3
2mm
yC
Ai yi A
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
27mm
例4-8 已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm,b 13mm
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
中心轴过简化中心的力螺旋
FR 0, MO 0, FR, MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
d M O sin
FR
（4）平衡 FR 0, MO 0
平衡
§4–5 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：
该力系的主矢、主矩分别为零.
Fx 0 Fy 0 Fz 0
cos
45
b
0
F1 0 F2 1.5P
F3 2 2P
§4–6 重 心
1．计算重心坐标的公式
P xC P1 x1 P2 x2 .... Pn xn
Pi xi
xC
Pi xi P
P yC P1 y1 P2 y2 .... Pn yn
Pi yi
yC
解：研究对象：小车
列平衡方程
Fz 0 P P1 FA FB FD 0
M x F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
M y F 0 0.8P1 0.6P 1.2FB 0.6FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
例4-6 已知：F、P及各尺寸
空间汇交力系的合力
FR Fi Fxi Fy j Fzk
主矢
空间力偶系的合力偶矩
MO Mi MO (Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
MO Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
（1） 合力
FR 0, MO 0
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
M rBA F
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
变而改变.
MO (F, F) MO (F ) MO (F) rA F rB F
过简化中心合力
FR 0, MO 0, FR MO
合力.合力作用线距简化R MO (FR ) MO (F)
由此，再次引申出——合力矩定理.
（2）合力偶
FR 0, MO 0
（3）力螺旋
一个合力偶，此时与简化中心无关。
FR 0, MO 0, FR // MO
Fx 0 Fy 0
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例4-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图，列平 衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
=
=
滑力移矢矢是量? 定力位矩矢量是? 自力由偶矢矩量矢是? 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．力偶系的合成与平衡条件
解： Fz Fn sin Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
FR
F i
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F Fzd1 F cos l a M y F Fzd2 F cos l
M z F Fxd1 F sin l a
§4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
MO (F )x yFz zFy MO (F ) y zFx xFz MO (F )z xFy yFx
2.力对轴的矩
Mz (F) MO (Fxy ) Fxy d
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩之关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
Mx 0 My 0 Mz 0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以 及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例
例4-5 已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 求：A、B、D 处约束力
l
l
zC
r
F2
P
F1
1 H
l2 H2
例4-7 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.
求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可.
用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为
x1 15mm y1 45mm A1 300mm 2
x2 5mm y2 30mm A2 400mm 2
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
（2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO(F) r F
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
MO(F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk ) (yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k 力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
Pi yi P
根据是什么？
P zC P1 z1 P2 z2 .... Pn zn
Pi zi
zC
Pi zi P
计算重心坐标的公式为
xC
Pi xi P
yC
Pi yi P
zC
Pi zi P
对均质物体，均质板状物体，有
xC
Vi xi V
xC
Ai xi A
yC