直接测量和间接测量随机误差的估算
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随机误差的估算
1．直接测量中随机误差的估算
(1)多次测量的算术平均值
n个测量值为x1，x2，…，xn，
1
lj = →
=1
( → ∞)
1
lj = →
( → ∞)
=1
算术平均值代替真值，一般误差的计算都用残差
（2）算术平均值的标准误差：
lj =
=
ሜ
=
=
ሜ
2
lj
ሜ
2
+
2
2 2
lj
ሜ
+来自22 2lj
ሜ
+⋯
测量结果的表示
= ሜ ± ሜ
单位
ሜ
ቐ
=
× 100%
ሜ
计算顺序：加减运算为主，先算标准误差，再
算相对误差；以乘除或乘方运算为主，先算相
对误差，再算绝对误差
lj
(4)测量结果的表示: ቐ
(100%)
=
lj
真值 x落在 ± lj 范围内的概率为68.3%
2．间接测量——标准误差的传递与合成
设间接测量N=f（x，y，z…），直接测量
量的标准误差为σx、σy、σz …, 则：
测量值：
ሜ = (,lj ,lj lj ⋅⋅⋅⋅)
=
1
( − )
lj 2
( − 1)
=1
算数平均值与真值的误差落在[-lj ,lj ]范围
内的概率为68.3%（通常 ≤ ≤ ）。
（3）单次测量结果标准差的估算：
Δ
=
∆ 仪器的最大读数误差
正态分布时, k=3；
平均分布时, k= .
= lj ± lj (单位)
+
+
+ ⋯
=
+
+
+ ⋯
标准误差：
ሜ =
2
2
lj +
2
2
lj +
2
2lj + ⋯
相对误差：
= (, , , ⋯ )
=
+
+
+ ⋯
1．直接测量中随机误差的估算
(1)多次测量的算术平均值
n个测量值为x1，x2，…，xn，
1
lj = →
=1
( → ∞)
1
lj = →
( → ∞)
=1
算术平均值代替真值，一般误差的计算都用残差
（2）算术平均值的标准误差：
lj =
=
ሜ
=
=
ሜ
2
lj
ሜ
2
+
2
2 2
lj
ሜ
+来自22 2lj
ሜ
+⋯
测量结果的表示
= ሜ ± ሜ
单位
ሜ
ቐ
=
× 100%
ሜ
计算顺序：加减运算为主，先算标准误差，再
算相对误差；以乘除或乘方运算为主，先算相
对误差，再算绝对误差
lj
(4)测量结果的表示: ቐ
(100%)
=
lj
真值 x落在 ± lj 范围内的概率为68.3%
2．间接测量——标准误差的传递与合成
设间接测量N=f（x，y，z…），直接测量
量的标准误差为σx、σy、σz …, 则：
测量值：
ሜ = (,lj ,lj lj ⋅⋅⋅⋅)
=
1
( − )
lj 2
( − 1)
=1
算数平均值与真值的误差落在[-lj ,lj ]范围
内的概率为68.3%（通常 ≤ ≤ ）。
（3）单次测量结果标准差的估算：
Δ
=
∆ 仪器的最大读数误差
正态分布时, k=3；
平均分布时, k= .
= lj ± lj (单位)
+
+
+ ⋯
=
+
+
+ ⋯
标准误差：
ሜ =
2
2
lj +
2
2
lj +
2
2lj + ⋯
相对误差：
= (, , , ⋯ )
=
+
+
+ ⋯