2017-2018学年下学期高一数学必修3期中复习备考基础解答题20题含答案

2017-2018学年下学期高一数学必修3期中复习备考基础解答题20题
1．【题文】抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内 20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）： 102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79 对这20个数据进行分组，各组的频数如下： 组别
红包金额分组 频数 A 0≤x ＜40 2 B 40≤x ＜80 9
C 80≤x ＜120 m
D 120≤x ＜160 3
E
160≤x ＜200
n
（1）写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；
（2）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小；（只需写出结论）
（3）从A ，E 两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
2
3
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设数据表，即可求解,m n 得知，作出判断；
（Ⅱ）根据平均数和方程的公式，分别计算221212
,,,v v s s 的值，即作出比较； （Ⅲ）由题意A 组两个数据为22,22， E 组两个数据为162,192，列出基本事件的总数，找到满足条件的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．
2．【题文】“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组销售数据()(),1,2,,6i i x y i = ，如下表所示：
（已知6
1
1806i i y y ===∑， 1221
ˆ,ˆˆn
i i i n i i x y n x y b a y bx x n x
==-⋅⋅==--⋅∑∑）. （1）求出q 的值；
（2）已知变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+；（3）用ˆi y
表示用正确的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 的残差的绝对值ˆ1i i y
y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6个数据中任取2个，求抽取的2个数据中至少有1个是“好数据”的概率.
【答案】（1）90q =；（2）1ˆ406y x =-+；（3）
4
5
. 【解析】试题分析: (1)根据6
1
1806i i y y ===∑求解即可;(2)根据公式分别求出ˆb
和ˆa ,代入回归直线方程即可;(3)分别列举出满足题意的“好数据”,根据古典概型的公式代入求解. 试题解析:
（1） 6
1
1806i i y y ===∑，可求得90q =．
（2）()
6
162
2130506 6.58070
4271253.517.5
ˆi i i i
i x y nxy
b
x n x ==--⨯⨯==
=-=---∑∑
，
80ˆˆ4 6.5106a
y bx =-=+⨯=， 所以所求的线性回归方程为1ˆ406y
x =-+． （3）当14x =时， 190y =；当25x =时， 286y =；当36x =时， 382y =；当47x =时， 478y =；当58x =时， 574y =；当69x =时， 670y =．
与销售数据对比可知满足 1i i y y -≤（i =1,2，…，6）的共有3个“好数据”： ()4,90、()6,83、()8,75．
从6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有（4，90）（5，84），（4，90）（6，83），（4，90）（7，80），（4，90）（8，75），（4，90）（9，68），（5，84）（6，83），（5，84）（7，80），（5，84）（8，75），（5，84）（9，68），（6，83）（7，80），（6，83）（8，75），（6，83）（9，68），（7，80）（8，75），（7，80）（9，68），（8，75）（9，68）共15种，
其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有（4，90）（5，84），（4，90）（6，83），（4，90）（7，80），（4，90）（8，75），（4，90）（9，68），（5，84）（6，83），（5，84）（8，75），（6，83）（7，80），（6，83）（8，75），（6，83）（9，68），（7，80）（8，75），（8，75）（9，68）共12种， 于是从抽得2个数据中至少有一个销售数据中的产品销量不超过80的概率为124
155
P =
=． 3．【题文】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游. (Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率. 【答案】(Ⅰ)15；(Ⅱ)2
.9
【解析】
所选两个国家都是亚洲的事件所包含的基本事件有：
{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，所以所求事件的概率为31
155p ==；
【考点】古典概型
【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝m
n
求出事件A 的概率,这是一个形象直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.
4．【题文】为备战某次运动会，某市体育局组建了一个由4个男运动员和2个女运动员组成的6人代表队并进行备战训练.
(1)经过备战训练，从6人中随机选出2人进行成果检验，求选出的2人中至少有1个女运动员的概率． (2)检验结束后，甲、乙两名运动员的成绩用茎叶图表示如图：
计算说明哪位运动员的成绩更稳定． 【答案】（1） （2）乙
【解析】试题分析：（1）求出从6人中随机选出2人，选出的2人中至少有1个女运动员的基本事件数，计算对应的概率值；
（2）根据题目中茎叶图的数据，计算甲、乙运动员的平均成绩与方差，比较大小即可得出结论． 试题解析：
(1)把4个男运动员和2个女运动员分别记为a 1，a 2，a 3，a 4和b 1，b 2．
则基本事件包括(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)共15种．
其中至少有1个女运动员的情况有9种，
故至少有1个女运动员的概率P＝＝．
(2)设甲运动员的平均成绩为甲，方差为s，乙运动员的平均成绩为乙，方差为s，
可得甲＝＝71，乙＝＝71，
s ＝ [(68－71)2＋(70－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(74－71)2]＝4，
s＝ [(69－71)2＋(70－71)2＋(70－71)2＋(72－71)2＋(74－71)2]＝3.2．
因为甲＝乙，s>s，故乙运动员的成绩更稳定．
5．【题文】某高中学校对全体学生进行体育达标测试,每人测试A、B两个项目,每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人,分别统计他们A、B两个项目的测试成绩,得到A项目测试成绩的频率分布直方图和B项目测试成绩的频数分布表如下:
将学生的成绩划分为三个等级如右表:
(1)在抽取的100人中,求A项目等级为优秀的人数
(2)已知A项目等级为优秀的学生中女生有14人,A项目等级为一般或良好的学生中女生有34人,试完成下列2×2列联表,并分析是否有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关?
参考数据:
参考公式()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++其中n a b c d =+++
(3)将样本的率作为总体的概率,并假设A 项目和B 项目测试成绩互不影响,现从该校学生中随机抽取1人进行调查,试估计其A 项目等级比B 项目等级高的概率,
【答案】（1）40；（2）有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关；（3）0.3
【解析】试题分析：（1）由A 项目测试成绩的频率分布直方图，即可求解A 项目等级为优秀的频率及优秀的人数；
（2）由（1）知：作出22⨯列联表，利用公式求解2
K 的值，即可得到结论；
（3）设“A 项目等级比B 项目等级高”为事件C ，记“A 项目等级为良好”为事件1A ；“
A 项目等级为优秀”为事件2A ；“
B 项目等级为一般”为事件0B ；“B 项目等级为良好”为事件1B ，利用概率的加法公式，即可求解概率. 试题解析：
（1）由A 项目测试成绩的频率分布直方图，得
A 项目等级为优秀的频率为0.04100.4⨯=，
所以， A 项目等级为优秀的人数为0.410040⨯=．
（3）设“A 项目等级比B 项目等级高”为事件C ．
记“A 项目等级为良好”为事件1A ；“A 项目等级为优秀”为事件2A ；“B 项目等级为一般”为事件0B ；“B 项目等级为良好”为事件1B ．
于是()()10.020.02100.4P A =+⨯=， ()20.4P A =， 由频率估计概率得： ()02350.1100P B ++=
=， ()14015
0.55100
P B +==.
因为事件i A 与j B 相互独立，其中1,2,
0,1i j ==．
所以()()102120P C P A B A B A B =++
0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=． 所以随机抽取一名学生其A 项目等级比B 项目等级高的概率为0.3．
6．【题文】随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加.下表是某购物网站2017年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据.
（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数r 加以说明；（系数精确到0.001）
（2）建立y 关于x 的回归方程y b x a ∧∧∧
=+（系数精确到0.01）；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元（结果精确到0.01）. 参考数据：
()()1
11374.5n i i i x y =--=∑， ()
2
1
11340n
i i x =-=∑， ()2
1
316.5n
i i y =-=∑，
18.44≈，
4.06≈，其中i x ， i y 分别为第i 个月的促销费用和产品销量， 1,2,3,8i = .
参考公式：（1）样本()(),1,2,,i i x y i n = 的相关系数
n
x x y y r --=
（2）对于一组数据()11,x y ， ()22,x y ， ， (),n n x y ，其回归方程y b x a ∧∧∧
=+的斜率和截距的最小二
乘估计分别为()()()
1
2
1
n
i
i
i n i
i x x y y b x x ∧
==--=-∑∑， a y b x ∧
∧
=-. 【答案】(1) 可以用回归模型拟合y 与x 的关系(2) 至少需要投入促销费用24.59万元
【解析】试题分析：（1）11x =， 3y =，代入公式得0.995r ≈，因为y 与x 的相关系数近似为0.995，说明y 与x 的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合y 与x 的关系；（2）代入计算公式得回归方程为
0.220.59y x ∧=+，由题0.220.596y x ∧
=+>解得24.59x >，即至少需要投入促销费用24.59万元.
试题解析：
（1）由题可知11x =， 3y =，
将数据代入()()
n
x x y y r --=
74.574.5
0.99518.44 4.0674.8664
r =
=≈⨯
因为y 与x 的相关系数近似为0.995，说明y 与x 的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合y 与x 的关系.
7．【题文】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
旧养殖法
新养殖法
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;
箱产量<50 kg箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:,
【答案】（1）0.62（2）有（3）新养殖法优于旧养殖法.
【解析】试题分析: (1)根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率,计算出事件A的概率;(2)将数据填入表格,代入卡方公式,计算出的数值与表哥中参考数据对照可做出判断;(3)先从均值比较大小,再从数据分布情况看稳定性,综上可得结论.
试题解析:
(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.
因此,事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50 kg箱产量≥50 kg
旧养殖法62 38
新养殖法34 66
K2=≈15.705.
由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
点睛:(1)频率分布直方图中小长方形的面积等于对应的概率,所以小长方形的面积之和为1;(2)频率分布直方图中均值等于组中值域对应概率乘积之和;(3)均值大小代表水平高低,均值越大水平越高,方差大小代表稳定性,方差或标准差的值越小,代表越稳定,且集中程度高.
8．【题文】从某校随机抽取200名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的数据,整理得到数据的频数分布表和频率分布直方图(如图).
编号分组频数
1 [0,2) 12
2 [2,4) 16
3 [4,6) 34
4 [6,8) 44
续表
编号分组频数
5 [8,10) 50
6 [10,12) 24
7 [12,14) 12
8 [14,16) 4
9 [16,18] 4
合计200
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 h的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.
【答案】（1）0.9（2）0.125（3）4
【解析】试题分析: (1)求出对应情况下出现的频数,频数与总数之比为频率;(2)根据频数求出频率,频率乘
以组距得出a,b的值;(3)结合频率分布直方图根据题意算出平均数.
9．【题文】从某食品厂生产的面包中抽取个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种面包质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于的面包至少要占全部面包的规定？”
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可画出频率分布直方图；
（2）利用平均数的计算公式，即可求得平均数；
（3）计算得质量指标值不低于的面包所占比例的估计值，即可作出判断．
试题解析：
（1）画图.
（2）质量指标值的样本平均数为
.
所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为.
（3）质量指标值不低于的面包所占比例的估计值为
，
由于该估计值大于，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于的面包至少要占全部面包的规定.”
10．【题文】一箱方便面共有50袋,用随机抽样方法从中抽取了10袋,并称其质量(单位:g)结果为:60.561 606061.559.559.5586060
(1)指出总体、个体、样本、样本容量;
(2)指出样本数据的众数、中位数、平均数;
(3)求样本数据的方差.
【答案】(1) 见解析.(2)60.(3)0.8.
【解析】试题分析：(1)利用总体、个体、样本、样本容量的定义求解. (2)利用样本数据的众数、中位数、平均数的定义及公式求解. (3)利用样本数据方差的计算公式求解.
试题解析：(1)总体是这50袋方便面的质量,个体是这一箱方便面中每一袋方便面的质量,样本是抽取的10袋方便面的质量,样本容量为10.
(2)这组样本数据的众数是60,中位数为60,
平均数为×(60.5+61+60+60+61.5+59.5+59.5+58+60+60)=60.
(3)样本数据的方差为
s2=[(60.5-60)2+(61-60)2+(60-60)2+(60-60)2+(61.5-60)2+(59.5-60)2+(59.5-60)2+(58-60)2+(60-60)2+(6 0-60)2]=0.8.
11．【题文】某校有500名高三应届毕业生,在一次模拟考试之后,学校为了了解数学复习中存在的问题,计划抽取一个容量为20的样本,详细进行试卷分析,问使用哪一种抽样方法为宜,并设计出具体操作步骤. 【答案】详见解析.
【解析】试题分析: 先用系统抽样方法分成5组, ,再用简单随机抽样从每组100人中抽出4人即可.
试题解析:
使用简单随机抽样、系统抽样,考虑到学生人数和随机数表的限制,可先用系统抽样方法.将500名学生按考试号码顺序分成5组,从每组100人中抽出4人.在第1组00~99号中,用随机数表(教材P87附录)法简单随机抽样.如随意取第6行第13列,对应号码为9,向后读数(两位一读)分别为94,17,49,27,这样在第1组的100名学生中取考号为94,17,49,27的4名(也可向前读,抽出97,59,12,31).其他各组仍可用随机数表法,按照后两位号码抽取.或依系统抽样,其他400名取号码为
194,117,149,127,294,217,249,227,394,317,349,327,494,417,449,427的16名,这样连同94,17,49,27号的学生,便抽出了容量为20的样本.
点睛:本题考查概率统计中的随机抽样,属于基础题目.随机抽样分为简单随机抽样,系统抽样和分层抽样,其中简单随机抽样包括随机数表法和抽签法,适用于个体较少的样本,系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体,当总体由分布明显的几个层构成时,往往选择分层抽样,有时也会将几个抽样方法综合使用. 12．【题文】为了解某工厂和两车间工人掌握某技术情况，现从这两车间工人中分别抽查名和名工人，
经测试，将这名工人的测试成绩编成的茎叶图。

若成绩在以上(包括)定义为“良好”，成绩在以下定义为“合格”。

已知车间工人的成绩的平均数为，车间工人的成绩的中位数为.
(1)求,的值；
(2)求车间工人的成绩的方差；
(3)在这名工人中，用分层抽样的方法从“良好”和“及格”中抽取人，再从这人中选人,求至少有一人为“良好”的概率。

（参考公式：方差）
【答案】（1）；（2）96.5；（3）.
【解析】试题分析：（1）由题意，根据平均数的计算公式，结合茎叶图的特点，从而可求出图中的值；（2）根据题目中所提供的方差的计算公式，将图中数据逐一代入计算，从而可求出车间工人的成绩方差；（3）根据图中数据，统计出这20人中良好与及格的人数，并算出人数比，从而算出抽出的5人中良好与及格的人数，再用列举法算出事件总数与所求事件的个数，由古典概型公式进行计算，从而问题可得解.
试题解析：(1)
解得
（2）
(3)由题意可得,“良好”有8人,“及格”有12人,若从“良好”和“及格”中抽取5人,则“良好”和“及格”的人数分别为,
记抽取的“良好”分别为1,2;“及格”为3,4,5,从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种结果…10分
记“从这5人中选2人,至少有一人为‘良好’”为事件A,则事件A有(1,2),(1,3),(1,4),
(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)共7种结果,故
13．【题文】某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．【答案】(1)；(2) 第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；(3).
【解析】试题分析：（1）)由题设可知，，；（2）由第1，2，3组的比例关系为1:1:4，则分别抽取1人，1人，4人；（3）设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，由穷举法，求得至少有1人年龄在第3组的概率为．
(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：
共种可能．
其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，
所以至少有1人年龄在第3组的概率为．
14．【题文】为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图所示是测量数据的茎叶图.规定：当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时，该产品为优等品.
（1）试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；
（2）若从甲、乙两种产品的优等品中各随机抽取1件，抽到的2件优等品中，“甲产品的含量28毫克优等品必须在内，且乙产品的含量28毫克优等品不包含在内”为事件，求事件的概率.
【答案】（Ⅰ）甲、乙两种产品的优等品率分别为，;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）由茎叶图易知，甲、乙两种产品的优等品率分别为，；（2）穷举法，得到。

试题解析：
（Ⅰ）从甲产品抽取的件样品中优等品有件，优等品率为，
从乙产品抽取的件样品中优等品有件，优等品率为
故甲、乙两种产品的优等品率分别为，．
（Ⅱ）记甲种产品的件优等品分别记为，，，，且甲产品的含量毫克优等品设为；
乙种产品的件优等品分别记为，，，，，且乙产品的的含量毫克优等品设为；若从中各随机抽取件，构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，共有种；事件所含基本事件为：，，
，，共有种，所求概率为．
15．【题文】《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在到之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；
（2）已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.
【答案】（1）0.28，（2）.
【解析】试题分析：（1）第1组或第4组的频率为，所以被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.28；（2）第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民共3名，记3名男性市民为，，，3名女性市民为，，，穷举所有事件，求得至少有1名女性市民的概率为.
试题解析：
（1）被采访人恰好在第1组或第4组的频率为，
∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.28，
（2）第5，6两组的人数为，
∴第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民共3名，
记第5，6两组中的3名男性市民分别为，，，3名女性市民分别为，，，
从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有15个基本事件，
列举如下：，，，，，，，，，，，，，，，
至少有1名女性，，，，，，，，，，，，共12个基本事件，
∴从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传务队，至少有1名女性的概率为
.
16．【题文】某学校为了解该校教师对教工食堂的满意度情况，随机访问了50名教师.根据这50名教师对该食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为： [)40,50， [
)50,60，…，
[)80,90， []90,100.
（1）求频率分布直方图中a 的值；
（2）从评分在[)40,60的受访教师中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[
)50,60的概率. 【答案】（1）0.022；（2）
3
10
. 【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的性质可知各频率之和为1即可得a =0.022;（2）先计算出受访教师中评分在[50，60)的人数：50×0.006×10＝3(人)，然后列出所有组合可能即可 解析：(1)因为(0.004＋0.006＋0.018＋a ×2＋0.028)×10＝1， 所以a ＝0.022
17．【题文】某公司需要对所生产的,,A B C 三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如下表所示：
采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取6件. （1）求分别抽取三种产品的件数；
（2）将抽取的6件产品按种类,,A B C 编号，分别记为,,,1,2,3i i i A B C i = ，现从这6件产品中随机抽取2件.
（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果； （ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率. 【答案】（1）2件、3件、1件；（2）11
15
【解析】试题分析：
（1）由条件先确定在各层中抽取的比例，然后根据分层抽样的方法在各层中抽取可得A 、B 、C 三种产品分
别抽取了2件、3件、1件．（2）（ⅰ）由题意设A 产品编号为12,A A ；
B 产品编号为123,,;B B B
C 产品编号为1C ，然后列举出出从6件产品中随机抽取2件的所有可能结果．（ⅱ）根据古典概型概率公式求解即可． 试题解析：
（1）由题意得在每层中抽取的比例为
61
1802709090=++，
因此，在A 产品中应抽取的件数为1
180290⨯=件， 在B 产品中应抽取的件数为1
270390⨯=件， 在C 产品中应抽取的件数为1
90190
⨯=件． 所以A 、B 、C 三种产品分别抽取了2件、3件、1件.
（2）（i ）设A 产品编号为12,A A ；
B 产品编号为123,,;B B B
C 产品编号为1C ， 则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1211121311212223211213,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
A A A
B A B A B A
C A B A B A B A C B B B B
{}{}{}{}11232131,,,,,,,B C B B B C B C ，共15个．
（ii ）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有： {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1112131121222321112131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C A B A B A B A C B C B C B C ，共11个. 所以这两件产品来自不同种类的概率为1115
P = ． 18．【题文】分别抛掷两颗骰子各一次，观察向上的点数，求：
(1)两数之和为5的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(),x y 在圆2215x y +=内部的概率.
【答案】(1) 19 (2) 29
【解析】试题分析：（1）列举可得共有36个等可能基本事件，“两数之和为5”含有4个基本事件，由概率公式可得；
（2）点（x ，y ）在圆x 2+y 2
=15的内部包含8个事件，由概率公式可得．
(2)基本事件总数为36，点(),x y 在圆2215x y +=的内部记为事件C ，则C 包含8个事件C 中所含基本事件： ()1,1， ()1,2， ()1,3， ()2,1， ()2,2， ()2,3， ()3,1， ()3,2，所以()82369P C ==， ∴点(),x y 在圆2215x y +=内部的概率为29
. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
19．【题文】某企业准备推出一种花卉植物用于美化城市环境，为评估花卉的生长水平，现对该花卉植株的高度（单位：厘米）进行抽查，所得数据分组为[)[)[)[]
10,15,15,20,,30,35,35,40 ，据此制作的频率分布直方图如图所示.
（1）求出直方图中的a 值；
（2）利用直方图估算花卉植株高度的中位数；
（3）若样本容量为32，现准备从高度在[]30,40的植株中继续抽取2颗做进一步调查，求抽取植株来自同一组的概率.
【答案】（1）0.0625（2）26（3）47
【解析】试题分析：（1）0.0625a =；（2）中位数估计为： 0.50.4375255260.06255-+⨯
=⨯；（3）高度在[)30,35的植株个数为6，高度在[]35,40的植株个数为2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件11516+=，故所求概率为164297P =
=。

试题解析：
（1）由条件， ()0.20.01250.0250.050.03750.01250.0625a =-++++=；
（2）由于()0.01250.0250.0550.4375++⨯=，故中位数估计为： 0.50.4375255260.06255
-+⨯=⨯； （3）由样本容量为32可知，高度在[)30,35的植株个数为： 320.037556⨯⨯=，
高度在[]35,40的植株个数为2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件11516+=，故所求概率为164297
P ==. 20．【题文】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1， 2， 3， 4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.
（1）列出所有可能的结果；
（2）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；（3）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.
【答案】（1）见解析（2）
3
8
P=（3）
5
16
P=.
【解析】试题分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从两个盒子中分别取一个球，共有16种结果，满足条件的事件是所取两个小球上的数字为相邻整数，可以列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果．
（2）满足条件的事件是所取两个小球上的数字之和能被3整除，列举出共有5种结果，得到概率；（3）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有共5种，即可得概率．
（2）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有：
()()()()()()
1,2,2,1,2,3,3,2,3,4,4,3，共6种.
故所求概率
63
168
P==.
（3）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()()()()()
1,2,2,1,2,4,3,3,4,2共5种.故所求概率为5
16
P=.。