2019高考数学文一轮分层演练：第8章立体几何 第2讲 Word版含解析

[学生用书P248(单独成册)]
一、选择题
1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS
D ．233
πS
解析：选A ．由πr 2＝S 得圆柱的底面半径是S
π
，故侧面展开图的边长为2π·S π
＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS ，故选A ．
2．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A ．π
B ．π3
C ．3π
D ．
3π3
解析：选D ．由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为22－12＝3，
因此体积＝2×12×13π×12×3＝3
3
π．
3．如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．26
解析：选D ．该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4，1，2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S
半圆柱底
－S
圆柱轴截面
＋S
半圆柱侧
＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋1
2
×2π×1＝26．故
选D ．
4．(2018·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．(9＋5)π
B ．(9＋25)π
C ．(10＋5)π
D ．(10＋25)π
解析：选A ．由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S ＝π×12＋4×2π＋1
2
×2π×5＝(9＋5)π．
5．(2018·云南第一次统考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
解析：选C ．由三视图知，该几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥，其中三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，所以该几何体的体积为12×3×4×5－13×1
2
×3×4×3＝24，故选C ．
6．正四棱锥P -ABCD 的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是( ) A ．16π B ．12π C ．8π
D ．4π
解析：选A ．设正四棱锥的外接球半径为R ，顶点P 在底面上的射影为O ，因为OA ＝
1
2
AC ＝12AB 2＋BC 2＝1
2（22）2＋（22）2＝2，所以PO ＝P A 2－OA 2＝（22）2－22＝
2．又OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，由此可知R ＝2，于是S 球＝4πR 2＝16π．
二、填空题
7．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________． 解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π．无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2．故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π．
答案：32π2＋8π或32π2＋32π
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－43－16＝132．
答案：132
9．
在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD -A 1C 1D 1，这个几何体的体积为40
3，则经过A 1，C 1，B ，
D 四点的球的表面积为________．
解析：设AA 1＝x ，则V ABCD ­A 1C 1D 1＝V ABCD ­A 1B 1C 1D 1－V B ­A 1B 1C 1＝2×2×x －13×1
2×2×2×x
＝40
3
，则x ＝4． 因为A 1，C 1，B ，D 是长方体的四个顶点，
所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R ＝22＋22＋42
2
＝6，所以球的表面积为
24π．
答案：24π
10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．
解析：由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥P ­ABCDE ，所以体积V ＝1
3
×⎝⎛⎭⎫12×2×1＋22×3＝5
3
3．
答案：53 3
三、解答题
11．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台
－V
圆锥
＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－1
3
π×22
×2＝1483
π．
12．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ．
(1)若圆锥内有一个高为x 的内接圆柱，则x 为何值时，圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？
(2)作一平面将圆锥分成一个小圆锥与一个圆台，当两几何体的体积相等时，求小圆锥的高与圆台的高的比值．
解：(1)设圆柱的侧面积为S ，底面半径为r ．
由r R ＝H －x H ，得r ＝R －R H
·x ． 则圆柱的侧面积S ＝2πrx ＝2πx ⎝⎛⎭⎫
R －R H ·x ＝－2πR H
·x 2
＋2πRx ，
显然，当x ＝－2πR 2⎝⎛⎭⎫－2πR H ＝H
2时，圆柱的侧面积最大，
最大侧面积为－2πR H ·⎝⎛⎭⎫H 22＋2πR ·H 2＝1
2πRH ．
(2)设小圆锥的底面半径为a ，高为b ．
由题意得小圆锥的体积V 1＝12×13πR 2H ＝1
6πR 2H ，
由a R ＝b H ，且13πa 2b ＝16πR 2H ，得b ＝312H ＝34
2
H ． 设圆台高为c ，则b c
＝
3
42H H －3
42
H
＝
34
2－34
，
故小圆锥的高与圆台的高的比值为
3
4
2－34
．。