山东高考数学一轮总复习学案设计-第二章第四讲函数的奇偶性与周期性含答案解析

第四讲
函数的奇偶性与周期性
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一 函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x
都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数
都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数
图象特征
关于y 轴对称
关于原点对称 1．周期函数
对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
重要结论
1．奇(偶)函数定义的等价形式
(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；
(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )
f (x )＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．
2．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝
1
f (x )
，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |. 3．函数图象的对称关系
(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b
2对称；
(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点(a ＋b
2
，0)对称．
4．一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f (x )＝a x ＋a －
x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －
x 为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＋
a 2x －1
a 2x ＋1为奇函数； (3)函数f (x )＝log a
b －x
b ＋x
为奇函数； (4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．
双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论正确的为( BCD ) A ．若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0
B ．若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称
C ．若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称
D ．2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(－∞，0)的一个周期 题组二 走进教材
2．(必修1P 35例5改编)函数f (x )＝x 2－1，f (x )＝x 3，f (x )＝x 2＋cos x ，f (x )＝1
x ＋|x |中，偶函
数的个数是2.
3．(必修1P 45T6改编)若奇函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则它在[－b ，－a ]上是减函数；若偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则它在[－b ，－a ]上是减函数．
4．(必修4P 46T10改编)已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 3(x 2＋3)，则f (2019)＝1.
题组三 考题再现
5．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( D )
A ．e －
x －1 B ．e －
x ＋1 C ．－e －x －1
D ．－e －
x ＋1
[解析] 解法一：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －
x －1)＝－e －
x ＋1，选D ． 解法二：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．
6．(2018·全国卷Ⅱ，5分)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( C )
A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
[解析] 解法一：∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.
∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，∴f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C ．
解法二：由题意可设f (x )＝2sin(π
2x )，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个
周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2，故选C ．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究
考点一 函数的奇偶性
考向1 判断函数的奇偶性——自主练透
例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(1＋x )
1－x
1＋x
； (2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；
(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ，x >0，
x 2－x ，x <0；
(5)f (x )＝1－x 2
|x ＋2|－2
；
(6)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (0)≠0.
[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f (－x )，再判断f (－x )与f (x )之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．
[解析] (1)由题意得1－x 1＋x ≥0且x ≠－1，
∴－1<x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不存在奇偶性，为非奇非偶函数．
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－1≥0，
1－x 2≥0得x ＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，
∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．
(3)函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．
∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．
(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；
当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． (5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ≤1，x ≠0.
故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0.从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝
1－x 2x ，这时有f (－x )＝1－(－x )2－x
＝－1－x 2
x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数． (6)已知对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，不妨取x ＝0，y ＝0，则有2f (0)＝2[f (0)]2，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1.
取x ＝0，得f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，
所以f (y )＝f (－y )．又y ∈R ，所以函数f (x )是偶函数．
名师点拨 ☞
判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于f (x )或－f (x )，据此得出结论．
(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
考向2 函数的性质的综合应用——多维探究 角度1 利用奇偶性求参数的值或取值范围
例2 (1)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( B )
A ．－13
B ．13
C ．12
D ．－12
(2)已知f (x )＝a 2－3
2x ＋1是R 上的奇函数，则f (a )的值为( A )
A ．76
B ．13
C ．25
D ．23
[解析] (1)依题意b ＝0，且2a ＋(a －1)＝0， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13
.
(2)因为f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，所以f (0)＝a 2－32＝0，得a ＝3，所以f (x )＝32－32x ＋1.
所以f (a )＝f (3)＝32－39＝7
6
.故选A ．
角度2 函数奇偶性与单调性结合
例3 (1)若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为减函数，则不等式f (x )
＋f (x －1
2
)<0的解集为( C )
A ．(1
4，＋∞)
B ．(－1，1
4)
C ．(1
4
，1)
D ．(1
2
，1)
(2)(2020·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (1
3
)的x 的取值范围是( A )
A ．(13，23)
B ．[13，23)
C ．(12，23
)
D ．[12，23
)
[解析] (1)由已知得f (x )在(－1,1)上为递减， ∵f (x )＋f (x －12)<0，∴f (x －1
2
)<f (－x )，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1
2
>－x ，－1<x －12
<1－1<－x <1
解得1
4
<x <1，故选C ．
(2)由y ＝f (x )图象知，x 离y 轴越近，函数值越小，因此，|2x －1|<13，解得13<x <2
3
，故选A ．
角度3 函数奇偶性与周期性结合
例4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1
f (x )
，当1<x ≤3时，f (x )＝
cos
πx 3，则f (2 020)＝－12
. [分析] 先由已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把f (2 020)转化为f (4)，进而转化为f (2)，把x ＝2代入即可．
[解析] 由已知可得f (x ＋6)＝f ((x ＋3)＋3)＝－
1f (x ＋3)
＝－1
－1f (x )
＝f (x )，故函数f (x )的周期
为6，
∴f (2 020)＝f (6×336＋4)＝f (4)． ∵f (x )为偶函数，∴f (1)＝f (－1)，
则f (4)＝f (1＋3)＝－1f (1)＝－1f (－1)＝f (2)＝cos 2π3＝－1
2，
∴f (2 020)＝－1
2
.
角度4 单调性、奇偶性和周期性结合
例5 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )且在区间[0,2]上是增函数，
则( D )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11)
[分析]
由f (x )在定义域R 上满足f (x －4)＝
－f (x )
→得f (x －8)＝f (x )，可知f (x )是以8为周期的周期函数
→结合f (x )的奇偶性和单调性，即可得出选项
[解析] 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，
所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．
由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，
所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．
名师点拨 ☞
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2019·北京，13,5分)设函数f (x )＝e x ＋a e －
x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝－1.
(2)(角度2)(2019·广东省广州市高三测试，9)若f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝0，且在(0，＋∞)上是增函数，则x ·[f (x )－f (－x )]<0的解集为( D )
A ．{x |－3<x <0或x >3}
B ．{x |x <－3或0<x <3}
C ．{x |x <－3或x >3}
D ．{x |－3<x <0或0<x <3}
(3)(角度3)(2020·广东六校第一次联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )及f (x )＝－f (－x )，且在[0,1]上有f (x )＝x 2，则f (4 0392
)＝( D )
A ．94
B ．14
C ．－94
D ．－14
(4)(角度4)(2020·湖北、山东部分重点中学第一次联考，8)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，且y ＝f (x ＋3)为偶函数，若f (x )在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( B )
A ．f (－4.5)<f (3.5)<f (12.5)
B ．f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)
C ．f (12.5)<f (3.5)<f (－4.5)
D ．f (3.5)<f (12.5)<f (－4.5)
[解析] (1)∵f (x )＝e x ＋a e －
x 为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0， 即e －
x ＋a e x ＋e x ＋a e －
x ＝0， ∴(a ＋1)(e x ＋e －
x )＝0，∴a ＝－1.
(2)因为函数为奇函数，所以x ·[f (x )－f (－x )]<0等价于2x ·f (x )<0，由题设知f (x )在R 上是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，所以f (3)＝0，且f (x )在(－∞，0)上是增函数，即f (x )在(－∞，－3)上小于零，在(－3，0)上大于零，在(0,3)上小于零，在(3，＋∞)上大于零．又
x ·[f (x )－f (－x )]<0，所以x 与f (x )的符号相反，由x >0可得x ∈(0,3)；由x <0可得x ∈(－3,0)，所以x ·[f (x )－f (－x )]<0的解集是{x |－3<x <0或0<x <3}，故选D ．
(3)因为函数f (x )的定义域是R ，f (x )＝－f (－x )，所以函数f (x )是奇函数．又f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )－f (x )，故函数f (x )是以4为周期的奇函数，所以f (4 0392)＝f (2 020－12)＝f (－12)＝－f (12)．因为在[0,1]上有f (x )＝x 2，所以f (12)＝(12)2＝14，故
f (2 019 12)＝－1
4
，故选D ．
(4)易知函数f (x )的最小正周期T ＝6，f (x )的图象关于直线x ＝3对称，∴f (3.5)＝f (2.5)，f (－4.5)＝f (1.5)，f (12.5)＝f (0.5)．又f (x )在(0,3)内单调递减，∴f (3,5)<f (－4.5)<f (12.5)，故选B ．
考点二 函数的周期性——自主练透
例6 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝
1
－f (x )
，则f (2 022)＝2－ 3. (2)已知定义在R 上周期为3的奇函数f (x )，则f (1.5)＝0.
(3)设f (x )是周期为2的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，当－4≤x ≤－3时，f (x )＝－2(x ＋4)(x ＋3)，当2 019<x <2 020时，f (x )＝2×(2_020－x )(x －2_019).
[解析] (1)f (x )＝－1
f (x ＋2)＝f (x ＋4)，
∴y ＝f (x )的周期T ＝4，
f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝2－ 3.
(2)f (1.5)＝－f (－1.5)＝－f (－1.5＋3)＝－f (1.5)， ∴f (1.5)＝0. (3)设－4≤x ≤－2，
f (x )＝f (x ＋4)＝2(x ＋4)[1－(x ＋4)]＝－2(x ＋4)(x ＋3)， 设2019<x <2 020，
f (x )＝f (x －2 020)＝f (2 020－x )＝2×(2 020－x )(x －2 019)．
名师点拨 ☞
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升
函数三大性质的综合应用
例7 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)
成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0，给出下列命题：
①直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ②函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ③函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为①③.
[解析] ①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0.所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )，而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，故①正确．②当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]
上为增函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数，故②错误，③f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，故③正确．
名师点拨 ☞
函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
〔变式训练2〕
定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋32)＋f (x )＝0，且函数y ＝f (x －3
4)为奇函数，给出下列命题：
①函数f (x )的最小正周期是32；②函数y ＝f (x )的图象关于点(－3
4，0)对称；③函数y ＝f (x )的图象
关于y 轴对称．其中真命题的个数是( C )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[解析] 由f (x ＋3
2)＋f (x )＝0知f (x )为周期函数，且周期为3，故①不正确；
由函数y ＝f (x －34)为奇函数，知f (x )关于(－3
4
，0)对称，故②正确；
由f (x )关于(－34，0)对称，可知f (x )＋f (－32－x )＝0，又f (x ＋32)＋f (x )＝0，∴f (－3
2
－x )＝f (x
＋3
2)，
∴f(－x)＝f(x)，[或∵f(x－
3
4)是奇函数，∴f(x－
3
4)＝－f(－x－
3
4)，又f(x＋
3
2)＋f(x)＝0，即f(x
＋3
2)＝－f(x)]
∴f(x－
3
4)＝f[(－x－
3
4)＋
3
2]＝f(－x＋
3
4)＝f[－(x－
3
4)]即f(x)＝f(－x)．∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故③正确．。