浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学中考数学总复习《第三十四讲 圆的基本性质》课件 新人教版

分析 过点O作OD⊥AB于D，先求出钢珠的半径及OD 的长，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求 出AD的长，进而得出AB的长． 解析 连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝ 2AD，
∵钢珠的直径是10 mm， ∴钢珠的半径是5 mm， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，
∴OD＝3 mm， 在 Rt△AOD 中， ∵AD＝ OA2－OD2＝ 52－32＝4 mm， ∴AB＝2AD＝2×4＝8 mm.
(2)解 由(1)得△POD≌△ABO， ∴∠PDO＝∠AOB， ∵∠AOB＝12∠APB＝12×60°＝30°， ∴∠PDO＝30°， ∴OP＝OD·tan 30°＝3× 33＝ 3， ∴点 P 的坐标为：(－ 3，0)
∴b－＝33，k＋b＝0，
解得：k＝ 3 b＝3，
∴直线 l 的解析式为：y＝ 3x＋3.
_弦__所__对__的__两__条__弧__ ．
②平分弦(_不__是__直__径__)的直径_垂__直__于__弦__，并且平分 _弦__所__对__的__两__条__弧__． ③平分弧的直径_垂__直__平__分__弧所对的弦． 2．圆的中心对称性及圆心角定理 (1)圆是中心对称图形，__圆__心_是对称中心，旋转任__意__ 角度与自身重合． (2)顶点在__圆__心__的角叫做圆心角；__n_°__的__圆__心__角_所对 的弧就是n°的弧． (3)圆心角的性质 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_弧__相__等__，所 对的_弦__也__相__等__．
名师助学 1．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 2．钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形
的外心在斜边中点处，锐角三角形的外心在三角 形内部； 3．经过同一直线上的三点不能作圆．
对 接中 考
对接点一：垂直于弦的直径
常考角度 运用垂径定理进行相关的计算或证明．
【例题1】 (2012·衢州)工程上常用钢珠来测量零件上 小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得 钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示， 则这个小圆孔的宽口AB的长度为________mm.
∴⌒ ＝⌒ . AB CD
答案 AB＝CD
⌒⌒ ＝
AB CD
对接点三：圆周角定理
常考角度 运用圆周角定理进行相关的计算或证明．
【例题3】 (2012·湖州)如图，△ABC是 ⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直 径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD 交⊙O于点D，则∠BAD的度数是
A．45° C．90°
理由； (2)求 A，B，C，D 四点的坐标．
解 (1)AB＝CD 证明：作O′E⊥AB，O′F⊥CD，垂足 分别为E、F. ∵O′的坐标为(1，－1)， ∴O′E＝O′F，∴AB＝CD.
(2)连接 O′B ∵△O′EB 为直角三角形，
∴BE＝ O′B2－O′E2＝ 5－1＝2，
又∵OE＝1， ∴OB＝3， ∴B 点坐标为(3，0)， 同理可得 A、C、D 的坐标分别为 A(－1，0)、C(0，1)、 D(0，－3)．
(1)证明 连接 PB，∵直径为 OA 的⊙P
⌒ 与 x 轴交于 O、A 两点，点 B、C 把 三等分，
OA
∴∠APB＝∠DPO＝13×180°＝60°， ∠ABO＝∠POD＝90°， ∵PA＝PB， ∴△PAB 是等边三角形， ∴AB＝PA，∠BAO＝60°， ∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD， 在△POD 和△ABO 中， ∠OPO＝PDBA＝∠BAO∴△POD≌△ABO(ASA)； ∠POD＝∠ABO
的圆形纸片所覆盖．
分析 作圆的直径 CD，连接 BD，根据圆周角定理求 出∠D＝60°，根据锐角三角函数的定义得出 sin ∠D
＝BC，代入求出 CD
CD
即可．
解析 作圆 O 的直径 CD，连接 BD， ∵弦 BC 对的圆周角有∠A、∠D， ∴∠D＝∠A＝60°，∵直径 CD， ∴∠DBC＝90°， ∴sin ∠D＝BCCD， 即 sin 60°＝C3D，
如图，弦有_A__C_、__A__B__，直径有_A_B__．
⌒⌒⌒⌒ 、、、
2．弧、半圆、劣弧、优弧：如图，弧有_A_C____B_C____A_B____A_B_C_，
⌒
⌒⌒ 、
优弧有__A_B_C__，劣弧有__A__C___B_C___．
名师助学 1．直径是弦，弦不一定是直径，直径是最长的弦； 2．半圆是弧，弧不一定是半圆．
图1
在 Rt△ADB 中，AD＝1，AB＝2，
∴cos ∠DAB＝AADB＝12，∴∠DAB＝60°.
∴∠CAD＝∠DAB－∠CAB＝60°－45°＝15°.
(2)当AC与AD在AB两侧时，
如图2所示，
由(1)知，∠DAB＝60°，∠CAB＝
45°，
∴∠CAD＝∠DAB＋∠CAB
＝60°＋45°＝105°.
它到三角形_三__个__顶__点__的距离相等． 4．点和圆的位置关系有三种：点在圆内、
点__在__圆__上__ 、 点__在__圆__外__ ．如果圆的半径是r，点到 圆心的距离为d，那么： (1)点在圆上⇔d＝r； (2)点在圆内⇔ __d_＜__r_ ； (3) 点__在__圆__外___ ⇔d＞r.
圆的有关性质
1．圆的轴对称性及垂径定理 (1)圆是轴对称图形，_每__一__条__直__径__所__在__的__直__线__都是对称
轴． (2)圆心到圆的一条弦的_距__离__叫做弦心距；分一条弧成
_相__等__两条弧的点，叫做这条弧的中点． (3)垂径定理 ①垂直于弦的直径_平__分__这__条__弦__ ，并且平分
②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、两条弦心距中有_一__对__量__相__等___，那么它们所对应 的_其__余__各__对__量___都相等． 3．圆周角的定义及定理 (1)顶点在__圆__上__ ，它的两边__都___和__圆__相__交__的角叫做 圆周角． (2)圆周角定理 ①一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一__半_． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角__；90°的圆周 角所对的弦是__直__径__ ．
图2
பைடு நூலகம்
由(1)，(2)得∠CAD的度数为15°和
105°.
对接点四：点和圆的位置关系及三角形的外接圆
常考角度 1．根据d与R的关系判定点与圆的位置关系； 2．根据外心概念，进行相关的计算与证明．
【例题4】 (2012·阜新)如图，在△ABC
中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那
么△ABC能被半径至少为________cm
1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 2．直径所对的圆周角是直角．
【预测5】 如图，△ABC是⊙O的内接
三角形，若∠BCA＝60°，则
∠ABO＝________．
解析 ∵∠BCA＝60°， ∴∠AOB＝2∠BCA＝120°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝180°－2∠AOB＝30°. 答案 30°
(1)求证：△POD≌△ABO；
(2)若直线l：y＝kx＋b经过圆心P和D，求直线l的解析式
分析 (1)首先连接 PB，由直径为 OA 的⊙P 与 x 轴交于 O、
A 两点，点 B、C 把⌒ 三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝ OA
60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△PAB 是等边三角 形 ， 可 得 AB ＝ OP ， 然 后 由 ASA ， 即 可 判 定 ： △POD≌△ABO； (2)易求得∠PDO＝30°，由 OP＝OD·tan 30°，即可求得 点 P 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线 l 的解 析式．
() B．85° D．95°
分析 根据圆周角定理及推论和角平分线的定义可 分别求出∠BAC和∠CAD的度数，进而求出∠BAD 的度数．
解析 ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°， ∵∠C＝50°，∴∠BAC＝40° ∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D， ∴∠ABD＝∠DBC＝45°， ∴∠CAD＝∠DBC＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝40°＋45°＝85°， 所以选B. 答案 B
解得：CD＝2 3，∴圆 O 的半径是 3.
答案 3
1. 已知角度求线段常用解直角三角形； 2．直径等于半径的2倍； 3．在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等．
【预测4】 如图，点O是∠EPF的平分线上一点，⊙O 和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D，根据上 述条件，可以推出________或________． (要求：填写一个你认为正确的结论即可，不再标注 其他字母，不写推理过程)
解析 如图：作 OM⊥AB，交 AB 于点 M，ON⊥CD，交 CD 于点 N， 点 O 是∠EPF 的平分线上一点， ∴OM＝ON，根据在同圆中两弦的 弦心距相等，则弦长相等，知 AB ＝CD，
1. 根据圆心角定理由弧相等可得它们所对的圆心角相 等；
2．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 3．判定三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS； 4．用待定系数法求函数解析式．
【预测 3】 已知⊙O′与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C，D 两点，圆心 O′的坐标为(1，－1)，半径为 5. (1)比较线段 AB 与 CD 的大小，并说明
【预测 6】 已知 AB 为⊙O 的直径，AC 和 AD 为弦，AB＝2，
AC＝ 2，AD＝1，求∠CAD 的度数．
解 (1)当 AC 与 AD 在 AB 同侧时， 如图 1 所示，连接 BC，BD. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠C＝∠D＝90°. 在 Rt△ABC 中，AB＝2，
AC＝ 2，
∴cos ∠CAB＝AACB＝ 22，∴∠CAB＝45°.
题型 难易度 填空题 中等
2011年
圆周角定理与圆心角 定理(8分)
解答题
稍难
垂径定理与圆周角定
2012年 理(3分) .
选择题 容易
网 络构 建
圆的性质应理解 基本图形应牢记 圆中见弦想“垂径” 圆中见角想“圆周角
或圆心角” 关键找基本图形 否则造基本图形.
考 点梳 理
与圆有关的概念
1．弦与直径
名师助学 1．在运用圆周角与圆心角的关系时，不要忽略“同
弧或等弧”这个前提条件； 2．见直径时常常利用90°的圆周角，见90°的圆周角
常常利用它所对的弦是直径．
确定圆的条件及点与圆的位置关系
1．两个要素： __圆__心__和__半__径__． 2． 不__在__同__一__直__线__上__的三个点确定一个圆． 3．三角形的外心是三角形_三__边__垂__直__平__分__线__的交点，
∴OA＝ AC2＋OC2＝ 12＋22＝ 5.
答案 B
对接点二：圆心角定理
常考角度 运用圆心角定理解决关于圆心角、弧、弦、弦心距 之间关系的计算或证明．
【例题 2】 (2012·凉山州)如图，已知 直径为 OA 的⊙P 与 x 轴交于 O、 ⌒ A 两点，点 B、C 把 三等分， OA 连接 PC 并延长 PC 交 y 轴于点 D(0，3)．
第三十四讲 圆的基本性质
课 前必 读
考纲要求
1.理解圆及其有关概念； 2.了解弧、弦、圆心角的关系； 3.探索并了解点与圆的位置关系； 4.了解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征； 5.探索圆的性质，体会反证法的含义. .
近三 年浙 江省 中考 情况
考情分析
年份
考查点
2010年 垂径定理(4分)
【预测2】 小英家的圆形镜子被打
碎了，她拿了如图(网格中的每
个小正方形边长为1)的一块碎
片到玻璃店，配制成形状、大
小与原来一致的镜面，则这个
镜面的半径是
()
A．2
B. 5
C．2 2
D．3
解析 如图所示，作 AB，BD 的中 垂线，交点 O 就是圆心． 连接 OA、OB， ∵OC⊥AB，OA＝OB ∴O 即为此圆形镜子的圆心， ∵AC＝1，OC＝2，
答案 8
1. 圆中遇到弦的问题时常常利用垂径定理； 2．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解
答此题的关键．
【预测1】 如图，AB是⊙O的弦， AB长为8，P是⊙O上一个动点 (不与A、B重合)，过点O作 OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点 D，则CD的长为________．
解析 ∵OC⊥AP，OD⊥PB， ∴由垂径定理得：AC＝PC，PD＝BD， ∴CD 是△APB 的中位线， ∴CD＝12AB＝12×8＝4. 答案 4