广东省“四校”2016届高三第一次联考文科数学试题 Word版含答案[ 高考]

“四校”2015—2016学年度高三第一次联考试题
文科数学
本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟2015.9.11 注意事项：
1．答卷前，考生用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和学号填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先填选做题题号，再作答．漏填的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡、答题卷的整洁．考试结束后，将试卷与答题卷一并交回．
参考公式：半径为R的球的表面积公式：2
4
S R
=π
球
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1、已知集合2
{0,},{30},
A b
B x Z x x
==∈-<若,
A B≠∅则b等于（）
A．1 B．2 C． 3 D． 1或2
2、已知i为虚数单位，且|1|
ai
+=a的值为（）
A．1 B．2 C．1或-1 D．2或-2
3、双曲线
2
21
3
y
x
-=的渐近线方程为（）
A．y=B．y x
=±C．2
y x
=±D．y x
=
4、函数)
4
sin(
)
(
π
-
=x
x
f的图像的一条对称轴方程是（）
A．
4
π
=
x B．
2
π
=
x C．
4
π
-
=
x D．
2
π
-
=
x
5、设
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
-
=
>
=
,1
,0
,1
)
(
x
x
x
x
f，
⎩
⎨
⎧
=
为无理数
为有理数
x
x
x
g
,0
,1
)
(，若(())0
f g a=，则（）
A．a为无理数B．a为有理数C．0
a=D．1
a=
6、设函数()
f x，()
g x的定义域都为R，且()
f x是奇函数，()
g x是偶函数，则下列结论中
正确的是()
A．()g(x)
f x是偶函数B．|()|()
f x
g x是奇函数
C．()
f x
-是奇函数D．|()|
g x是奇函数
||||
CA CB
+AB
BC BA
=D．()()0
CA CB CA CB
+-=
我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”
题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A 、1365石 B 、338石 C 、169石 D 、134石
9、对任意非零实数b a ,，定义b a ⊗的算法原理如程序框图所示。

设a 为函数223y x x =-+
()x R ∈的最小值，b 为抛物线28y x =的焦点到准线的距离，则计算机执行该运算后输出
结果是( )
23A 、 32B 、 72C 、
1
2D 、 10、已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正
三角形，俯视图是直径为2的圆，
则此几何体的外接球的表面积为（ ）
A.
163π B. 43π C. 169π D. 49
π 11、已知满足22021020x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
的(,)x y 使22(1)x y m +-≤恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m ≥ B
．m ≥ C. 2m ≥ D.
m 12、若函数3
2
1
()2
f x x bx =-+
有且仅有两个不同零点， 则b 的值为（ ）
A ．2
B ．32
C ．2
2
3
D ．不确定
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13、如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下
降1米后，水面宽 米．
14、已知等比数列｛n a ｝为递增数列.若1a ＞0，且4652()5a a a +=，则数列｛n a ｝
的公比q =_____.
15、 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且1
2,cos ,4
a C ==-
3sin 2sin A B =,则c =____.
16、若正数x ，y 满足35x y xy +=，则43x y +的最小值是 ．
三、解答题：本大题共8小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17、(本小题满分12分)
等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值． 18、（本题满分12分）
空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，
空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三
第13题
（3
/g m μ）
方图；
（Ⅱ）在空气污染指数分别为50~100和150~200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A “两个都为良”发生的概率是多少？
19、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，
CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==， 3DE =.
（Ⅰ）求证：AB ∥平面CDE ；
（Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ； （Ⅲ）求三棱锥E ACD -的体积； 20、（本小题满分12分）
设椭圆M ：22221y x a b +=(0>>b a )的离心率与双曲线12
2=-y x 的离心率互为倒数，
且内切于圆42
2=+y x 。

（1）求椭圆M 的方程；
（2）已知(A -，F 是椭圆M 的下焦点，在椭圆M 上是否存在点P ，使AFP ∆的周长最大？若存在，请求出AFP ∆周长的最大值，并求此时AFP ∆的面积；若不存在，
请说明理由。

21、（本小题满分12分）
已知函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠
（1）求函数()f x 的极值；
（2）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数2
3
()[2()]2
x g x x m f x '=+-在区间()3,a 上有最值，求实数m 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22、选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）
如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ， DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F . （1）求证：DE 是圆O 的切线； （2）若060,CAB O ∠=的半径为2，1EC =，求DE 的值.
23、选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线l 过点P 且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()3
π
ρθ=-，直线l 与曲线C
相交于,A B 两点；
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若||AB =l 的倾斜角α的值。

24、选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）
设函数()|27|1f x x =-+。

（1）求不等式()f x x ≤的解集；
（2）若存在x 使不等式()2|x 1|f x a --≤成立，求实数a 的取值范围。

“四校”2015—2016学年度高三第一次联考
文科数学参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种解法供
参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照
评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未
改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
13、62 14、2 15、4 16、5
三、解答题：本大题共8小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17、解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d 。

由已知得()()1114
3615
a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ 解得131a d =⎧⎨=⎩ ……………………4分
所以()112n a a n d n =+-=+ ……………………6分
（Ⅱ）∵2n a n =+，∴11111
(2)(3)23
n n n b a a n n n n +===-
++++……………9分 ∴121011111111103445121331339
b b b ++
+=-+-++-=-= …………………12分
18、解：（Ⅰ）
所以事件A “两个都为良”发生的概率是()105
P A =
=. ……12分 19、（Ⅰ）证明：∵CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ∴//AB CD …………2分
∵AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE …………4分 （Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面A D E ，AE ⊂平面A D E ，所以CD AE ⊥.又因为
AE D E ⊥，CD DE D =,,CD DE CDE ⊂平面， 所以AE ⊥平面C D E . …………… …………7分
又因为AE ⊂平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面CDE . ………………8分
（Ⅲ）解：∵CD ⊥平面ADE ，∴CD 是三棱锥C AED -的高； …………9分
在Rt AED ∆
中，==
1322
AED S ∆=⨯⨯=
∴四棱锥E ACD -的体积
11633E ACD C AED AED V V S CD --∆==
=⨯=……12分
20、解：（1）∵双曲线122=-y x M 的离心率为2c e a =
=
…………………………2分
∵椭圆M 内切于圆42
2
=+y x
,424422==+a y x ，则的直径为圆
得：⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧-===222224
2c a b a c
a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧===22
2b c a …………………………4分 所求椭圆M 的方程为
22
142
y x +=．……………………5分 （2）椭圆M 的上焦点为1F ，由椭圆的定义得：11
||||4,|
|4||PF
PF PF PF +=∴=- AFP ∆的周长为
11|PA||||AF||PA|||4||46PF PF AF ++=-++≤+++当且仅当点P 在线段1AF 的延长线上时取等号。

∴在椭圆M 上存在点
P ，使AFP ∆
的周长取得最大值6+，
……………9分
直线1
AF 的方程为y =2211:142
y x x y x y y ⎧===-⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨
==⎪⎪+
=⎩⎩⎪⎩解得
∵点P
在线段1AF 的延长线上，∴点P
的坐标为(1P ，…………………11分
AFP ∆的面积111
||||322
AFP S AP FF =
=⨯⨯∆12分 21、解：（1）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且 1
()f x a x
'=-，…………2分
当0a <时， 1
'()0f x a x
=->，
∴()f x 在(0,)+∞单调增，()f x 无极值；…………3分 当0a >时，
由11'()0,f x a x a =->得:0<x<由11
'()0,f x a x a =-<得:x>
∴11
()(0,),)f x a a
+∞在上单调递增,在(上单调递减.…………4分
∴1())(ln 4)f x a a
=-+的极大值f( ,无极小值。

…………………5分
综上：当0a <时，()f x 无极值；
当0a >时，1
())(ln 4)f x a a
=-+有极大值f(，无极小值。

…………6分
（2）23
32()[2()](),22
x m g x x m f x x a x x '=+-=++- 2()3(2)1,g x x m a x '∴=++- ()g x 在区间(,3)a 上有最值，
()g x ∴在区间(,3)a 上有极值，即方程'()0g x =在(,3)a 上有一个或两个不等实根，
又()0
(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩
…………………………9分
由题意知：对任意2
2
[1,2],()3(2)1510a g a a m a a a ma '∈=++⋅-=+-<恒成立，
21515,a m a a a
-∴<=-因为[1,2]a ∈ 19
2m ∴<-
对任意[]2,1∈a ，()063263/
>++=a m g 恒成立
∴a a m 23
26
3266--=-->
∵[]2,1∈a ∴332->m 321932m ∴-<<-
………………………………12分
22、（1）连接OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠，∴//OD AE ，…………3分
又AE DE ⊥，∴DE OD ⊥，又OD 为半径，
∴DE 是圆O 的切线 ………………………………5分
（2）连结BC ，在Rt ABC ∆中，00
6060,4,cos 2CAB AB AC AB ∠==∴==…7分
又∵1,3EC AE EC CA =∴=+=
由圆的切割线定理得：23,DE CE EA DE ==∴=…………………10分 23、解：（1）
∵4cos(),4(cos cos
sin sin )2(cos )333
π
ππ
ρθρθθθθ=-
∴=+= …3分
∴2222(cos sin ),2x y x ρρθθ=∴+=+，
∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=。

………………………5分
（2）当0
90α=时，:2l x =，∴||AB =≠0
90α=舍 …………6分
当0
90α≠时，设tan k α=，则:(2),kx y 2k 0l y k x =---即，
∴圆心(1C 到直线kx y 2k 0--=的距离
d =
=
由2
2
2
2
||1344,214AB k d k ⎛⎫
+=+= ⎪+⎝⎭
得:解得:k= 2
(0,),33
ππ
ααπα∴±∈∴=tan =或 ……………………………10分
24、解：(Ⅰ)由()f x x ≤得|27|1x x -+≤，
∴270270787
:6271271232x x x x x x x x
-≥-<⎧⎧≤≤≤<⎨
⎨-+≤-++≤⎩⎩或解得或
∴不等式()f x x ≤的解集为8
{|6}3
x x ≤≤ ………………………………4分
(Ⅱ)令()()2|x 1||27|2|x 1|1g x f x x =--=---+
则6,17()410,1274,2
x g x x x x ⎧⎪≤⎪
⎪
=-+<≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩，∴min ()4g x =-…………………………8分
∵存在x 使不等式()2|x 1|f x a --≤成立，∴min (),4g x a a ≤∴≥-…………10分。