2016届高三数学理二轮专题复习讲解练习专题二十二几何证明选讲(新课标版)

1．(2015·广东，15，中)已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.
【解析】由于O为AB的中点且BC∥OD，∴OP∥BC且OP＝1
2BC＝
1
2，AC
＝
AB 2－BC 2＝15， ∴CP ＝12AC ＝152. 又∵CD 是圆O 的切线， ∴∠ACD ＝∠ABC .
又∵∠DPC ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ABC ∽Rt △DCP ， ∴PD AC ＝CP BC ，
∴PD ＝CP ·AC BC ＝15
2×151＝152，
∴OD ＝OP ＋PD ＝12＋15
2＝8. 【答案】 8
2．(2015·湖北，15，中)如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，
且BC ＝3PB ，则AB
AC
＝________．
【解析】 设PB ＝1，则BC ＝3. ∵P A 2＝PB ·PC ，∴P A ＝2. ∵△PBA ∽△P AC ， ∴AB AC ＝P A PC ＝24＝12. 【答案】 1
2
3．(2015·江苏，21A ，10分，中)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外
接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .
求证：△ABD ∽△AEB .
证明：因为AB ＝AC ， 所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ， 所以∠ABD ＝∠E ，
又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB .
1．(2012·北京，5，中)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )
A ．CE ·C
B ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·AB
C ．A
D ·AB ＝CD 2 D ．C
E ·EB ＝CD 2
【答案】 A 由切割线定理可知CE ·CB ＝CD 2.又由平面几何知识知△ADC ∽△CDB ，得相似比：CD AD ＝DB
CD ，即AD ·DB ＝CD 2，∴CE ·CB ＝AD ·DB .故选A.
2．(2014·广东，15，易)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积
＝________.
【解析】 ∵EB ＝2AE ，∴AE AB ＝1
3. 又∵AB 綊DC ，
∴△AEF ∽△CDF ，且AE DC ＝1
3. ∴△CDF 的面积
△AEF 的面积＝9. 【答案】 9
3．(2013·陕西，15B ，易)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．
【解析】 ∵PE ∥BC ，∴∠PED ＝∠BCE . 又∵∠BCE ＝∠BAD ，∴∠PED ＝∠BAD . 在△PDE 和△PEA 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠P ＝∠P ，∠PED ＝∠EAP ，
∴△PDE ∽△PEA ， ∴PD PE ＝PE
P A ，∴PE 2＝PD ·P A ＝2×3＝6， ∴PE ＝ 6. 【答案】
6
4．(2012·陕西，15B ，易)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.
【解析】 圆的半径OC ＝3，OE ＝2，CE ＝DE ＝32－22＝ 5.
而△DFE ∽△DEB ，∴DF DE ＝DE
DB ， ∴DF ·DB ＝DE 2＝5. 【答案】 5
5．(2012·课标全国，22，10分，中)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：
(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD .
证明：(1)如图，连接AF ，因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .
又CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，所以四边形ADCF 是平行四边形，
故CD ＝AF .
因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ， 故CD ＝BC .
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，∠BGD＝∠BDG.
由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，
故△BCD∽△GBD.
考向1相似三角形的判定方法与性质的应用1．相似三角形的判定方法
(1)判定定理
定理1：两角对应相等，两三角形相似．
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
定理3：三边对应成比例，两三角形相似．
(2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
(3)直角三角形相似的特殊判定方法
斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
2．相似三角形的性质
(1)相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比．
(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．
(1)(2014·陕西，15B)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半
圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.
(2)(2012·辽宁，22，10分)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E，证明：
①AC·BD＝AD·AB；
②AC＝AE.
【思路导引】解题(1)及(2)①的关键是证明三角形相似，题(2)②需注意应用圆中的有关定理，并结合相似三角形进行证明．
【解析】(1)∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，
∴△AEF∽△ACB，∴AC
AE＝
BC
EF，
∴2＝BC
EF，∴EF＝3.
(2)证明：①由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，
所以△ACB∽△DAB，从而AC
AD＝
AB
BD，
即AC·BD＝AD·AB.
②由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，所以△EAD∽△ABD.
从而AE
AB＝
AD
BD，即AE·BD＝AD·AB.
结合①的结论，可得AC＝AE.
相似三角形判定定理的选择
(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；
(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；
(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定．
(2012·天津，13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆
的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB
相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝3
2，则线段CD的长为________．
【解析】由相交弦定理得F A·FB＝FE·FC，即3×1＝3
2FC，∴FC＝2.
∵FC∥BD，∴AF∶FB＝AC∶CD＝3∶1，∴3CD＝AC.
由切割线定理得DC·DA＝DB2，(*)
其中DA＝AC＋CD＝3CD＋CD＝4CD.
又△AFC∽△ABD，∴FC
DB＝AF
AB＝
3
4，得DB＝
8
3，代入(*)式得DC·4DC＝
64
9，∴
CD＝4 3.
【答案】4
3
考向2截割定理与射影定理的应用
1．平行线等分线段定理
(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)推论
①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别
是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
(1)(2015·广东广州模拟，15)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥
AC ，AE ＝2，EC ＝1，BC ＝4，则BF ＝________.
(2)(2015·天津南开模拟，13)如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为1 cm 2，则平行四边形ABCD 的面积为________．
【解析】 (1)在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴BF BC ＝BD AB ＝EC
AC ，
又∵AE ＝2，EC ＝1，BC ＝4， ∴BF 4＝11＋2，
∴BF ＝43.
(2)∵AE ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ， ∴AE ∶CD ＝AF ∶CF ， ∵AE ∶EB ＝1∶2，
∴AE ∶AB ＝AE ∶CD ＝1∶3， ∴AF ∶CF ＝1∶3， ∴AF ∶AC ＝1∶4，
∴△AEF 与△ABC 中AE 边与AB 边高的比为1∶4，
∴△AEF 与△ABC 的面积的比为1∶12，
∴△AEF 与平行四边形ABCD 的面积的比为1∶24， ∵△AEF 的面积等于1 cm 2，
∴平行四边形ABCD 的面积等于24 cm 2. 【答案】 (1)4
3 (2)2
4 cm 2
利用比例关系求值或证明的方法
高考中常考查三角形的边、面积等的求值和比例的证明、相似三角形的证明等．在求值时，往往需要利用线段的比例关系建立方程求解，或者利用三角形相似求解；在证明时，往往会通过三角形相似或平行线分线段成比例得到比例关系，进而求证．同时要注意直角三角形的勾股定理和射影定理在解题中的应用．
(2014·湖南长沙一模，11)如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD
＝80，BC ＝100，则EF ＝________.
【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ，∴EF AB ＝CF
BC ， EF CD ＝BF BC .
∴EF AB ＋EF CD ＝CF ＋BF
BC ＝1， 即EF 20＋EF
80＝1. ∴EF ＝16. 【答案】 16
1．(2015·广东中山一模，15)△OAB 是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点，且PO ＝3，P A ·PB ＝4，则腰长OA ＝________.
【解析】如图，作OD⊥AP，垂足D，则PO2－PD2＝OB2－BD2，所以PO2－OB2＝PD2－BD2，
因为AD＝BD，所以PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝P A·PB＝4，所以PO2－OB2＝4，
所以OB2＝9－4＝5，
所以OB＝5，所以OA＝ 5.
【答案】5
2．(2015·天津河东二模，13)如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC 为半圆的切线，且BC＝43，则点O到AC的距离OD＝________．
【解析】∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，
∵OD⊥AC，在△ABC与△ADO中，
∴∠ADO＝∠ABC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADO，∴OD
BC＝
AO
AC.
在△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝83，AB＝AC2－BC2＝12，
∴OA＝BO＝6，∴OD＝AO·BC
AC＝
6×43
83
＝3.
【答案】3
3．(2015·陕西咸阳调研，15B)已知梯形ABCD的上底AD＝8 cm，下底BC＝15 cm，在边AB，CD上分别取E，F，使AE∶EB＝DF∶FC＝3∶2，则EF＝________.
【解析】因为AE∶EB＝3∶2，
所以AE∶AB＝3∶5.
所以EP∶BC＝3∶5，又因为BC＝15 cm，
所以EP＝9 cm，同理PF＝3.2 cm.
所以EF＝EP＋PF＝12.2 cm.
【答案】12.2 cm
4．(2015·江苏南京三模，21(A)，10分)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，DE交AB于点F.求证：△PDF∽△POC.
证明：因为AE＝AC，
所以∠CDE＝∠AOC.
又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，
从而∠PFD＝∠OCP，
在△PDF与△POC中，∠P＝∠P，∠PFD＝∠OCP，
故△PDF∽△POC.
5．(2014·河南开封一模，22，10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点B
作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .
(1)求证：△ABF ∽△EAD ；
(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BAF ＝∠AED . 又∵∠BFE ＝∠C ，
∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠ADE ， ∴∠BF A ＝∠ADE . ∴△ABF ∽△EAD .
(2)∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32，
又△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB
AE ， ∴BF ＝AB AE ·AD ＝332.
6．(2014·山西四校联考，22，10分)如图所示，P A 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和圆O 分别交于D 和E 两点．
(1)求证：AB AC ＝P A
PC ；
(2)求AD ·AE 的值．
解：(1)证明：∵P A 为圆O 的切线， ∴∠P AB ＝∠ACP ，
又∵∠P 为公共角，∴△P AB ∽△PCA ， ∴AB AC ＝P A PC .
(2)∵P A 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， ∴P A 2＝PB ·PC ，即102＝5PC ， ∴PC ＝20，∴BC ＝15.
又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225. 又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝1
2，∴AC ＝65，AB ＝35， 如图，
连接EC ，则∠AEC ＝∠ABC ， 又∵∠CAE ＝∠EAB ，∴△ACE ∽△ADB ， ∴AE AB ＝AC
AD ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.
1．(2015·重庆，14，易)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P .若P A ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，则
BE＝________．
【解析】设ED＝x，则CE＝2x.
∵P A为⊙O的切线，
∴P A2＝PC·PD，
即62＝3×(3＋2x＋x)，∴x＝3.
由相交弦定理得，AE·BE＝CE·ED，
即9BE＝2x·x＝2×32，∴BE＝2.
【答案】 2
2．(2015·课标Ⅱ，22，10分，中)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O 与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F两点．
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．
解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，
所以AE＝AF，故AD⊥EF.
从而EF ∥BC .
(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ， 故AD 是EF 的垂直平分线．
又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上． 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .
由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，
所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝1
2MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝103
3.
所以四边形EBCF 的面积为.33
16233221233310212
=⨯⨯-⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯ 3．(2015·课标Ⅰ，22，10分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .
(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
(2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．
解：(1)
连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB .
在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，
所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，
所以DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.
由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.
可得x＝3，
所以∠ACB＝60°.
1．(2014·天津，6，中)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE＝BE·DE；
④AF·BD＝AB·BF.
则所有正确结论的序号是()
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
【答案】D如图，对于①，∵BF是圆的切线，∴∠CBF＝∠BAC，∠4＝∠1.
又∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，
即BD平分∠CBF，故①正确；
对于②，根据切割线定理有FB2＝FD·F A，故②正确；
对于③，∵∠3＝∠2，∠BED＝∠AEC，
∴△BDE∽△ACE.
∴AE
BE＝
CE
DE，即AE·DE＝BE·CE，故③错误；
对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD ＝∠AFB ， ∴△BFD ∽△AFB ，∴BF AF ＝BD
AB ， 即AF ·BD ＝AB ·BF ，故④正确，故选D.
2．(2014·湖南，12，易)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．
【解析】 如图，设AO 与BC 交于点D ，延长AO 交⊙O 于点E .
在Rt △ABD 中，由题意知AB ＝3，BD ＝1
2BC ＝2， 故AD ＝1.
设⊙O 的半径为r ，由相交弦定理得， AD ·DE ＝BD ·DC ，
即1×(2r －1)＝2×2，∴r ＝32.
【答案】 3
2
3．(2014·湖北，15，易)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________．
【解析】由切割线定理得QA2＝QC·QD＝4，∴QA＝2.由切线长定理得PB＝P A，又Q是P A的中点，∴PB＝P A＝2QA＝4.
【答案】 4
4．(2014·辽宁，22，10分，中)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.
又由于∠PGD＝∠EGA，
故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PF A.
由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB.
于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，
故DC ∥AB .
由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角.． 于是ED 为直径.．由(1)得ED ＝AB .
5．(2013·课标Ⅱ，22，10分，中)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．
(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DC
EA
，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.
所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径.． (2)连接CE ，
因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.
而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.
6．(2013·课标Ⅰ，22，10分，中)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .
(1)证明：DB ＝DC ；
(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：如图，连接DE ，交BC 于点G .
由弦切角定理得∠ABE ＝∠BCE .
而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，所以BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为圆的直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .
(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32.
设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，
所以CF ⊥BF ，BC 为△BCF 外接圆的直径，故Rt △BCF 外接圆的半径等于3
2. 方法点拨：解答此类问题时要注意圆的切线的一些性质和弦切角定理的运用，有时也与正弦定理、余弦定理相结合解三角形.．
考向1 与圆有关的比例线段问题
(1)(2014·重庆，14)过圆外一点P作圆的切线P A(A为切点)，再作
割线PBC依次交圆于B，C.若P A＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．
(2)(2014·课标Ⅱ，22，10分)如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O
于点E.证明：
①BE＝EC；
②AD·DE＝2PB2.
【解析】(1)由切割线定理得P A2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去).．
如图，
由弦切角定理知∠P AB＝∠PCA，又∠APB＝∠CP A，故△APB∽△CP A，则AB CA
＝AP
CP，即
AB
8＝
6
3＋9
，解得AB＝4.
(2)证明：①连接AB，AC，
由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA，因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，
∠DCA＝∠P AB，
所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵
， 因此BE ＝EC .
②由切割线定理得P A 2＝PB ·PC . 因为P A ＝PD ＝DC ， 所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .
由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2.
与圆有关的比例线段问题的解题方法
涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．
(1)(2013·北京，11)如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB
与圆O 相交于D ，若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.
(2)(2013·湖南，11)如图，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．
【解析】 (1)设PD ＝9t ，DB ＝16t (t ＞0)，则PB ＝25t .根据切割线定理得P A 2＝PD ·PB ，即32＝9t ×25t ，解得t ＝15，所以PD ＝95，PB ＝5.
在Rt △P AB 中，由勾股定理得AB ＝4. (2)由相交弦定理可知， P A ·PB ＝PC ·PD ， 所以PC ＝4，故CD ＝5.
如图，取CD 的中点M ，连接OM ，OC .
在Rt △OMC 中，OM ＝
OC 2－CM 2＝
7－254＝3
2，由垂径定理可知OM 即
为圆心O 到弦CD 的距离，其大小为3
2.
【答案】 (1)95 4 (2)3
2
考向2 四点共圆问题
圆内接四边形的性质定理和判定定理
四边形ABCD 内接于⊙O ，
则∠A ＋∠C ＝π，∠B ＋∠D ＝π
在四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝π，则四边形ABCD 内接于圆
(2014·课标Ⅰ，22，10分)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边
形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .
(1)证明：∠D ＝∠E ；
(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．
【证明】(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
(2)设BC的中点为N，如图，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，
即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.．【点拨】解题(1)的关键是运用四点共圆的性质，得∠D＝∠CBE；解题(2)的关键是运用MB＝MC来寻找思路．
证明四点共圆的方法
(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆．
(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
(5)相交弦定理的逆定理．四边形ABCD的对角线交于点P，若P A·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆．
(6)割线定理的逆定理．四边形ABCD的一组对边AB，DC的延长线交于点P，
若P A·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．
(2011·辽宁，22，10分)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD
的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC＝∠EBA，
故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，
从而∠FED＝∠GEC.
如图，连接AF，BG，
则△EF A≌△EGB，
故∠F AE＝∠GBE，
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，
所以∠F AB＝∠GBA.
所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°， 故A ，B ，G ，F 四点共圆．
1．(2015·北京海淀模拟，5)已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为( )
A ．4 B.95 C.125 D.165
【答案】 D 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝25－16＝3， ∵以BC 为直径的圆交AB 于D ， ∴AC 是圆的切线，∴AC 2＝AD ·AB ， ∴AD ＝AC 2AB ＝95，
∴BD ＝AB －AD ＝5－95＝16
5.故选D.
2．(2015·广东珠海二模，15)如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若圆O 的面积为4π，∠ABC ＝30°，则AD 的长为________．
【解析】 ∵AB 是圆O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，
∵圆O 的面积为4π，∴OA ＝2，AB ＝4. ∵∠ABC ＝30°，∴AC ＝2，
∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，
∵AD⊥CE于点D，
∴AD＝AC·sin 30°＝2×1
2＝1.
【答案】1
3．(2014·北京东城三模，12)如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD ＝2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F.若CD＝2，则AB＝________，EF＝________．
【解析】∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.
∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·BD.
∵AD＝2BD，CD＝2，
∴(2)2＝2BD·BD，解得BD＝1，
∴AD＝2BD＝2，
∴AB＝AD＋BD＝2＋1＝3.
在Rt△CDE中，∵E为AD的中点，
∴DE＝1
2AD＝1，CD＝2，
∴CE＝CD2＋DE2＝3，
又由相交弦定理得AE·EB＝CE·EF，
即1×2＝3EF，∴EF＝23 3.
【答案】323 3
4．(2015·湖北武汉模拟，15)如图，圆O与圆O′相交于A，B两点，AD与AC 分别是圆O与圆O′的A点处的切线．若BD＝2BC＝2，则AB＝________．
【解析】∵AC是⊙O′的切线，
∴∠CAB＝∠D.
∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB＝∠C，
∴△ACB∽△DAB，∴BC
AB＝
AB
BD，
∴AB2＝BC·BD＝2，∴AB＝ 2.
【答案】2
5．(2014·河南郑州一模，22，10分)如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O的割线，AC＝AB.
(1)证明：AC2＝AD·AE；
(2)证明：FG∥AC.
证明：(1)∵AB是⊙O的一条切线，
∴AB2＝AD·AE. 又∵AC＝AB，
∴AC2＝AD·AE.
(2)∵AC2＝AD·AE，∴AC
AD＝
AE
AC，
又∵∠DAC ＝∠CAE ，
∴△CAD ∽△EAC ，∴∠ACD ＝∠AEC .
又∵四边形DEGF 是⊙O 的内接四边形，
∴∠CFG ＝∠AEC ，∴∠ACD ＝∠CFG .
∴FG ∥AC .
6．(2015·辽宁大连三模，22，10分)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD
的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AC ︵＝AE ︵，DE 交AB 于点F .
(1)证明：DF ·EF ＝OF ·FP ；
(2)当AB ＝2BP 时，证明：OF ＝BF .
证明：(1)如图，连接EO ，
∵AC ︵＝AE ︵，
∴∠AOE ＝∠CDE ，∴∠EOF ＝∠PDF ，
又∠EFO ＝∠PFD ，∴△EFO ∽△PFD ，
∴OF DF ＝EF PF ，
∴DF ·EF ＝OF ·FP .
(2)设BP ＝a ，由AB ＝2BP ，得AO ＝BO ＝BP ＝a ，
由相交弦定理得DF ·EF ＝AF ·BF ，
∴AF ·BF ＝OF ·FP ，
∴(a ＋OF )·BF ＝OF ·(a ＋BF )，
∴OF ＝BF .
思路点拨：(1)利用弧长相等，转化为角相等，通过三角形相似证明；(2)设BP ＝a ，由AB ＝2BP ，通过相交弦定理以及数量关系转化证明．
7．(2015·河北石家庄模拟，22，10分)如图，AB ，CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E ，交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC ＝ED ＝1，P A ＝2.
(1)求AC 的长；
(2)试比较BE 与EF 的长度关系．
解：(1)∵过A 点的切线交DC 的延长线于P ，
∴P A 2＝PC ·PD ，
∵PC ＝1，P A ＝2，∴PD ＝4.
又PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，
如图，连接BC .
∵∠P AC ＝∠CBA ，∠PCA ＝∠CAB ，
∴△P AC ∽△CBA ，∴PC AC ＝AC AB ，
∴AC 2＝PC ·AB ＝PC ·CE ＝2，
∴AC ＝ 2.
(2)BE ＝AC ＝2，
由相交弦定理可得CE ·ED ＝BE ·EF .
∵CE ＝2，ED ＝1，∴EF ＝ 2.
∴EF ＝BE .
8．(2015·吉林长春质检，22，10分)如图，圆O 的直径为BD ，过圆上一点A 作圆O 的切线AE ，过点D 作DE ⊥AE 于点E ，延长ED 与圆O 交于点C .
(1)证明：DA 平分∠BDE ；
(2)若AB ＝4，AE ＝2，求CD 的长．
解：(1)证明：∵AE 是⊙O 的切线，
∴∠DAE ＝∠ABD .
∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，
∴∠ABD ＋∠ADB ＝90°.
又∠ADE ＋∠DAE ＝90°，
∴∠ADB ＝∠ADE ，∴DA 平分∠BDE .
(2)由(1)可得△ADE ∽△BDA ，
∴AE AD ＝AB BD ，
∴2AD ＝4BD ，即BD ＝2AD ，
∴∠ABD ＝30°，∴∠DAE ＝30°. ∴.33230tan =︒=AE DE
由切割线定理可得AE 2＝DE ·CE ， ∴，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯=CD 33233222 解得CD ＝433.。