广东省顺德市勒流中学高二数学下学期第二次月考试题 理 新人教A版

广东2013～2014学年度第二学期第二学段考试高二年级理科数学试题卷
（人教版）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. （将答案填在答题纸上） 1、复数3
i 的值是（ ）
A i -
B 1
C 1-
D i
2、定积分
31
(3)dx -⎰
等于（ ）
A ． 6
B ． 6-
C ．3-
D ．3
3、.曲线5
21345y x x x =
++在1x =-处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π- B ．4
π C ．34π D ．54π
4、6
)3(y x +的二项展开式中，4
2
y x 项的系数是（ ）
A. 90
B. 45
C. 270
D. 135 5、用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，应该先
A. 假设三内角都不大于60︒
B. 假设三内角都大于60︒
C. 假设三内角至多有一个大于60︒
D. 假设三内角至多有两个大于60︒ 6、已知随机变量ξ服从正态分布(0,1),(1)N P p ξ≥=，则(11)P ξ-<<=（ ） A 12p - B 1p - C
12
p D 1
2p -
7、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图像如右图所示，则()f x 的图像只可能是（ ）
8、设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，
且(3)0g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ） A ． (3,0)(3,)-⋃+∞ B ． (3,0)(0,3)-⋃ C ． (,3)(0,3)-∞-⋃
D ． (,3)(3,)-∞-⋃+∞
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9、.曲线321y x x =+-在点(1,1)P --处的切线方程是 ；
10、从4名同学中选出3人，参加一项活动，则不同的选方法有 种（用数据作答）；
11、若)3
1
,(~n B X ，且,8)(=x E 则)(x D = ；
12、已知55443322105)21(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则=++++54321a a a a a .；
13、随机变量ξ的分布列如右图，其中a ，b ，1
2
成等差数列，
则()E ξ= . ；
14、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为 一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢， 按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则
(4)f =_____，()f n =___________.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15、（12分）已知复数
1
35
1
i
z i
i
+
=+-
-
求（1）z；（2）z。

16、（12分）3名教师与4名学生排成一横排照相，求（1）3名教师必须排在一起的不同排法有多
少种？（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？（3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？
17、（14
分）已知在n（其中n<15）的展开式中：（1）求二项式展开式中各项系数之和；
（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；（3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项。

18、（本小题满分14分）
某学校高一年级组建了A、B、C、D四个不同的“研究性学习”小组，要求高一年级学生必须参加，且只能参加一个小组的活动. 假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的.
（1）求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数；
（2）求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率；
（3）设随机变量X为甲、乙、丙三名同学参加A小组活动的人数，求X的分布列与数学期望EX. 19、（本小题满分14分）
设数列}
{
n
a的前n项和为
n
S，且
n
n
a
n
S-
=2（*
N
n∈）.
（1）求
1
a，
2
a，
3
a，
4
a的值；
（2）猜想
n
a的表达式，并加以证明。

20、（本小题满分14分）
已知x
x
a
x
f ln
)
(+
=，
x
x
x
g
ln
)
(=，(]e
x,0
∈，其中e是无理数且e=2.71828…，R
a∈.
（1）若1
a=，求)
(x
f的单调区间与极值；
（2）求证：在（1）的条件下，
2
1
)
(
)
(+
>x
g
x
f；
（3）是否存在实数a，使)
(x
f的最小值是1
-？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
2013～2014学年第二学期第二学段考试
高二年级理科数学答题卷
命题人： 审题人：
统分表：
一
、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分。

答案填在表中．．．．．．。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．答案写在横线上．．．．．．．。

9._______ 10.________ 11._________
12.__________ 13 14 ；
三、解答题：本大题共6小题,共80分。

应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15题：（12分） 解：
16题：（12分）
17题：（14分）
座位号
试 室
密
封
线
内不
准
答
题
姓 名 考 号
18题：（14分）
20题：（14分）
19题：（14分）
2013～2014学年第二学期第二学段考试
高二年级理科数学参考答案
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分。

答案填在表中
．．．．．．。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．答案写在横线上
．．．．．．．。

9.___0
x y
-=_ 10.___4_____ 11._____
16
3
____
12.____-2______ 13
1
3
14 37 ；3(1)1
n n-+
三、解答题：本大题共6小题,共80分。

应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15题：（12分）
解：因为
1
35
1
i
z i
i
+
=+-
-
∴
2
(1)2
3535
(1)(1)11
i i
z i i
i i
+
=+-=+-
-++
…………………………4分
3534
i i i
=+-=-…………………………6分
（2）34
z i
=-
345
z i
∴=-==-----------12分
16题：（12分）
解：（1）3名教师的排法有3
3
A，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有5
5
A种，
则共有35
35
720
A A=（种）------------4分
（2）3名教师的排法有3
3
A， 4个学生在4个位子上的全排列共有4
4
A种，则共有34
34
144
A A=（种）
----------8分
（3）43
45
1440
A A=---------------12分
17题：（14分）
解：（1）因为本题二项展开式中各项的系数就是各项的二项式系数012
,,,,n
n n n n
C C C C
所以各项系数之和为
0122
n n
n n n
C C C C
++++=------------------4分
（2）n（其中n<15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数
分别是8
n
C，9
n
C，10
n
C。

-----------6分
依题意得8109
2
n n n
C C C
+=，写成：
!!!
2
8!(8)!10!(10)!9!(9)!
n n n
n n n
+=∙
---
，------7分
化简得90+（n-9）(n-8)=2·10(n-8)，
即：n2-37n+322=0,解得n=14或n=23，因为n<15所以n=14。

------------9分
(2)展开式的通项
42
14
36
2
11414
r r
r
r r
r
T C x x C x
-
-
+
== ------------11分
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，------12分
0≤r≤14，所以展开式中的有理项共3项是：
077
114
0,
r T C x x
===；
666
714
6,164
r T C x x
===；
1255
1314
12,91
r T C x x
===
--------------14分
18题：（14分）
解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有6443=种. （4分）
（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为83
4
33
4=A ，
所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为8
5
831=-. ------------------- （8分） （3）由题意X 的可能取值为：0，1，2，3
642743)0(33===X P ，6427
43)1(3
213===C X P ，
64943)2(323===C X P ，161
4
)3(33
3===C X P ，------------------------ （12分）
所以X 的分布列如下：
故数学期望4
643642641640=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . -----------------（14分）
19题：（14分）
解：（1）因为n n a n S -=2，n n a a a S +++= 21，*
N n ∈ （1分）
所以，当1=n 时，有112a a -=，解得0121
21-
==a ； （2分） 当2=n 时，有22122a a a -⨯=+，解得122
1
223-==a ； （3分）
当3=n 时，有332132a a a a -⨯=++，解得232
1
247-==a ； （4分）
当4=n 时，有4432142a a a a a -⨯=+++，解得342
1
2815-==a . （5分） （2）猜想1
2
12--=n n a （*N n ∈） （9分）
方法一：
由n n a n S -=2（*N n ∈），得11)1(2----=n n a n S （2≥n ）， （10分） 两式相减，得12-+-=n n n a a a ，即12
1
1+=-n n a a （2≥n ）. （11分） 两边减2，得)2(2
1
21-=
--n n a a ， （12分） 所以{2-n a }是以-1为首项，2
1
为公比的等比数列，
故1
)21(12-⨯-=-n n a ， （13分）
即12
1
2--=n n a （*N n ∈）. （14分）
方法二：
①当n =1时，由（1）可知猜想显然成立； （10分） ②假设当n =k 时，猜想成立，即1
2
12--
=k k a ， （11分）
由n n a n S -=2（*
N n ∈），得11)1(2++-+=k k a k S ，k k a k S -=2
两式相减，得k k k a a a +-=++112， （12分） 所以11112
1
21)212(21121-+-+-=+-=+=
k k k k a a ， 即当n =k +1时，猜想也成立. （13分） 根据①和②，知对任意*N n ∈，猜想成立. （14分）
20题：（14分）
解：（1）当a =1时，x x x f ln 1)(+=，21
)(x
x x f -='，(]e x ,0∈ （1分） 令01
)(2
=-=
'x x x f ，得x =1. 当)1,0(∈x 时，0)(<'x f ，此时)(x f 单调递减； （2分） 当),1(e x ∈时，0)(>'x f ，此时)(x f 单调递增. （3分） 所以)(x f 的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e ），)(x f 的极小值为1)1(=f .
（4分） （2）由（1）知)(x f 在(]e ,0上的最小值为1. （5分） 令21ln 21)()(+=+
=x x x g x h ，(]e x ,0∈，所以2ln 1)(x
x x h -='. （6分） 当),0(e x ∈时，0)(>'x h ，)(x h 在(]e ,0上单调递增， （7分）
所以min max )(12
1
21211)()(x f e e h x h ==+<+=
=. 故在（1）的条件下，21
)()(+>x g x f . （8分）
（3）假设存在实数a ，使x x
a
x f ln )(+=（(]e x ,0∈）有最小值-1.
因为2
21)(x a
x x x a x f -=+-='， （9分）
①当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在(]e ,0上单调递增，此时)(x f 无最小值； （10分）
②当e a <<0时，当),0(a x ∈时，0)(<'x f ，故)(x f 在（0，a ）单调递减；当),(e a x ∈时，0)(>'x f ，故)(x f 在（a ，e ）单调递增； （11分） 所以1ln )()(min -=+=
=a a a a f x f ，得21
e
a =，满足条件； （12分） ③当e a ≥时，因为e x <<0，所以0)(<'x f ，故)(x f 在(]e ,0上单调递减.
1ln )()(min -=+=
=e e a
e f x f ，得e a 2-=（舍去）； （13分） 综上，存在实数21
e a =，使得)(x
f 在(]e ,0上的最小值为-1. （14分）。