陕西省咸阳市西北农林科大附中高一数学上学期第一次月

2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高一（上）第一次月
考数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分每题有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1﹣x＜0}，则正确的是（）
A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
2．设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5}，集合B={3，5}，则（）A．U=A∪B B．U=（∁U A）∪B C．U=A∪（∁U B）D．U=（∁U A）∪（∁U B）
3．若f：A→B能构成映射，则下列说法正确的有（）
（1）A中的任意一元素在B中都必须有像且唯一；
（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；
（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；
（4）像的集合就是集合B．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．为了得到y=x2﹣2x+3的图象，只需将y=x2的图象（）
A．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A．y=x+1 B．y=﹣x2C． D．y=x3
6．某集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，满足A⊊B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≥2} B．{a|a＞2} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
7．若在[1，+∞）上，函数y=（a﹣1）x2+1与y=均单调递减，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．0≤a≤1D．0＜a＜1
8．设定义在R上的函数f（x）=x|x|，则f（x）（）
A．只有最大值B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，又无最小值
9．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5
10．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有
＜0，则（）
A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11．幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则的值为．
12．已知f（x）是一次函数，满足3f（x+1）=6x+4，则f（x）= ．
13．若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈[a，b]的图象关于直线x=1对称，则b= ．
14．设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是．
三.解答题（本大题共3小题共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算骤）
15．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|0＜x＜4}，C={x|x＜a}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）若B⊆C，求实数a的取值范围．
16．已知函数．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）证明函数在（0，+∞）上是减函数．
17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f（x）=x2+4x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间．
附加题（第1题5分，第2题5分，第3题10，共20分）
18．函数的值域是（）
A．R B．[﹣9，+∞）C．[﹣8，1] D．[﹣9，1]
19．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是．
20．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
（3）求函数在区间[﹣5，5]上的最小值g（a）．
2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高一（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分每题有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1﹣x＜0}，则正确的是（）
A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题．
【分析】先将集合A化简，再根据0＞﹣1，即可得到结论．
【解答】解：∵﹣1﹣x＜0
∴x＞﹣1
∴集合A={x|x＞﹣1}，
∵0＞﹣1
∴{0}⊆A
故选D．
【点评】本题重点考查元素与集合，集合与集合之间的关系，化简集合，搞清元素与集合，集合与集合之间的关系的符号表示是关键．
2．设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5}，集合B={3，5}，则（）A．U=A∪B B．U=（∁U A）∪B C．U=A∪（∁U B）D．U=（∁U A）∪（∁U B）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5}，集合B={3，5}，知∁U B={1，2，4，6，7}，由此能导出A∪（∁U B）=U．
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，
集合A={1，3，5}，集合B={3，5}，
∴∁U B={1，2，4，6，7}，
∴A∪（∁U B）={1，2，3，4，5，6，7}=U，
故选C．
【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
3．若f：A→B能构成映射，则下列说法正确的有（）
（1）A中的任意一元素在B中都必须有像且唯一；
（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；
（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；
（4）像的集合就是集合B．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】映射．
【专题】计算题．
【分析】根据映射的定义，对于两个集合A，B，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，A中的任意一元素在B中都必须有像且唯一；A中的多个元素可
以在B中有相同的像；B中的多个元素不可以在A中有相同的原像，像的集合就是集合B的子集．
【解答】解：根据映射的定义，对于两个集合A，B，对于集合A中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，
A中的任意一元素在B中都必须有像且唯一；故（1）正确
A中的多个元素可以在B中有相同的像；故（2）正确
B中的多个元素不可以在A中有相同的原像，故（3）错误
像的集合就是集合B的子集，故（4）错误，
综上可知共有2个正确，
故选B．
【点评】本题考查映射的概念，在映射中，集合A的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，可以多元对一元，不可以一元对多元．
4．为了得到y=x2﹣2x+3的图象，只需将y=x2的图象（）
A．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数图象平移的法则，进行图象平移即可．
【解答】解：因为y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
所以为了得到y=x2﹣2x+3的图象，
只需将y=x2的图象向右平移1个单位，得到y=（x﹣1）2的图象，
再向上平移2个单位，得到y=（x﹣1）2+2的图象；
即y=x2﹣2x+3的图象．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象平移的应用问题，正确掌握平移规律是解题的关键，是基础题目．
5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A．y=x+1 B．y=﹣x2C． D．y=x3
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】规律型；函数的性质及应用．
【分析】对于A，函数为增函数，但不是奇函数；
对于B，函数为偶函数；
对于C，函数在定义域的两个区间分别为减函数；
对于D，函数为增函数，是奇函数．
【解答】解：对于A，函数为增函数，但不是奇函数，不满足题意；
对于B，﹣（﹣x）2=﹣x2，函数为偶函数，不满足题意；
对于C，y′=﹣，函数在定义域的两个区间分别为减函数，不满足题意；
对于D，y′=3x2，函数为增函数，（﹣x）3=﹣x3，是奇函数，满足题意；
故选D．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
6．某集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，满足A⊊B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≥2} B．{a|a＞2} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】作图题；集合．
【分析】由题意，用数轴表示集合的关系，从而求解．
【解答】解：由题意，作图如下：
则a≥2，
故选A．
【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，借助数轴可以形象表示集合关系，属于基础题．7．若在[1，+∞）上，函数y=（a﹣1）x2+1与y=均单调递减，则a的取值范围是（）
A．a＞0 B．a＞1 C．0≤a≤1D．0＜a＜1
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题．
【分析】函数y=（a﹣1）x2+1在[1，+∞）上单调递减，则a﹣1＜0，即a＜1；由函数y=
在[1，+∞）上单调递减，可得a＞0．取交集可得答案．
【解答】解：函数y=（a﹣1）x2+1在[1，+∞）上单调递减，则图象是开口向下的抛物线，可得a﹣1＜0，即a＜1；
由函数y=在[1，+∞）上单调递减，由反比例函数的性质可得a＞0．
故a的取值范围为：0＜a＜1
故选D．
【点评】本题为函数单调性的判断，结合已知函数的单调性是解决问题的关键，属基础题．
8．设定义在R上的函数f（x）=x|x|，则f（x）（）
A．只有最大值B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，又无最小值
【考点】函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先绝对值，再求出函数的值域，问题得以解决．
【解答】解：当x≥0时，f（x）=x2≥0，故f（x）的值域为[0，+∞），
当x＜0时，f（x）=﹣x2＜0，故f（x）的值域为（﹣∞，0），
因此定义在R上的函数f（x）=x|x|的值域为（﹣∞，+∞），
故选：D．
【点评】本题主要考查了含有绝对值函数的值域的求法，属于基础题．
9．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．
【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2
其对称轴为：x=1﹣a
∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数
∴1﹣a≥4
∴a≤﹣3
故选A
【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．
10．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有
＜0，则（）
A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】确定函数在[0，+∞）上单调减，结合函数是偶函数，即可得到结论．
【解答】解：由题意，∵对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，
∴函数在[0，+∞）上单调减
∴f（3）＜f（2）＜f（1）
∵函数是偶函数，∴f（﹣2）=f（2）
∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
故选A．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，确定函数的单调性是关键．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11．幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则的值为．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可设f（x）=xα（α为常数），再利用其函数图象经过点（2，4），代入求出α即可．
【解答】解：设f（x）=xα（α是常数），∵幂函数f（x）的图象经过点（2，4），∴4=2α，解得α=2，
∴f（x）=x2．
∴．
故答案为．
【点评】理解幂函数的定义是解题的关键．
12．已知f（x）是一次函数，满足3f（x+1）=6x+4，则f（x）= 2x﹣．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题．
【分析】先设出一次函数的解析式，再根据3f（x+1）=6x+4可确定出k，b的值，进而可求函数解析式
【解答】解：由题意可设f（x）=kx+b
∵3f（x+1）=6x+4，
∴3[k（x+1）+b]=6x+4
即3kx+3k+3b=6x+4
∴
解得k=2，b=﹣
∴f（x）=2x﹣
故答案为：2x﹣
【点评】本题考查了利用待定系数法求解函数的解析式，属于基础试题
13．若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈[a，b]的图象关于直线x=1对称，则b= 6 ．
【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性．
【专题】计算题．
【分析】根据二次函数图象关于直线x=1对称，得到二次函数的对称轴，求出a，再根据f （x）是定义在[a，b]上，即a、b关于x=1也是对称，建立等式关系求出b即可．
【解答】解：二次函数y=x2+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，
说明二次函数的对称轴为1，即﹣=1．
∴a=﹣4．而f（x）是定义在[a，b]上的，即a、b关于x=1也是对称的，
∴=1．
∴b=6．
故答案为6
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及奇偶函数图象的对称性，属于基础题．
14．设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象，结合图象解题．
【解答】解：由奇函数图象的特征可得f（x）在[﹣5，5]上的图象．
由图象可解出结果．
故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．
【点评】本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节．
三.解答题（本大题共3小题共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算骤）
15．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|0＜x＜4}，C={x|x＜a}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）若B⊆C，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）直接利用两个集合的交集和并集的定义可求得A∩B，A∪B．
（2）根据 B={x|0＜x＜4}，C={x|x＜a}，B⊆C，可得 a的取值范围．
【解答】解：（1）利用两个集合的交集和并集的定义可得A∩B={x|0＜x≤3}，A∪B={x|﹣1≤x＜4}．
（2）∵B={x|0＜x＜4}，C={x|x＜a}，B⊆C，∴a≥4．
【点评】本题考查集合的表示方法、子集的定义，两个集合的交集、并集的定义和求法，准确理解子集，交集，并集的定义，
是解题的关键．
16．已知函数．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）证明函数在（0，+∞）上是减函数．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）根据使函数的解析式有意义的原则，我们易求出函数的解析式，根据反比例函数的性质，我们易求出函数的值域；
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x1，x2，且x1＜x2，我们作差f（x1）﹣f（x2），并判断其符号，进而根据函数单调性的定义，可得到结论．
【解答】解：（1）要使函数的解析式有意义
自变量应满足x≠0
故f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
由于≠0，则﹣2≠﹣2
故f（x）的值域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=﹣=＞0
即f（x1）＞f（x2）
故函数在（0，+∞）上是减函数
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，函数的值域，其中熟练掌握基本初等函数的定义域，值域，及函数单调性的证明方法是解答本题的关键．
17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f（x）=x2+4x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）当x＞0时，﹣x＜0，可求得f（x）=x2﹣4x+3，从而有函数f（x）的解析式；（2）可根据的图象得到函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解（1）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴对任意的x∈R都有f（﹣x）=f（x）成立
∴当x＞0时，﹣x＜0即f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+4（﹣x）+3=x2﹣4x+3．
∴
（2）图形如右图所示，函数f（x）的单调递增区间为[﹣2，0]和[2，+∞）．（写成开区间也可以）
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键在于求x＞0的解析式时，需从﹣x＜0入手，求得f（﹣x）的解析式，再利用奇偶性转化即可，属于中档题．
附加题（第1题5分，第2题5分，第3题10，共20分）
18．函数的值域是（）
A．R B．[﹣9，+∞）C．[﹣8，1] D．[﹣9，1]
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】将二次函数进行配方，分别求出各自的值域，然后确定函数的值域即可．
【解答】解：当0≤x≤3，f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，对称轴为x=1，抛物线开口向下，∵0≤x≤3，
∴当x=1时，函数f（x）最大为1，当x=3时，函数取得最小值﹣1，
∴﹣1≤f（x）≤1．
当﹣2≤x＜0，f（x）=x2+6x=（x+3）2﹣9，对称轴为x=﹣3，抛物线开口向上，
且函数在[﹣2，0]上单调递增，
∴﹣8≤f（x）＜0．
综上，﹣8≤f（x）≤1．
即函数的值域为[﹣8，1]．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数中的基本方法．19．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取
值范围是（，）．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】压轴题．
【分析】本题采用画图的形式解题比较直观．
【解答】解：如图所示：
∵f（2x﹣1）＜f（）
∴﹣＜2x﹣1＜，
即＜x＜．
故答案为：（，）
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用．关键是利用了偶函数关于y轴对称的性质．
20．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
（3）求函数在区间[﹣5，5]上的最小值g（a）．
【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）当a=﹣1时，根据函数f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[﹣5，5]，利用二次函数的性质求得函数f（x）取得最值．
（2）由于函数f（x）对称轴为 x=﹣a，要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，应有﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，由此求得a的范围．
（3）分当﹣a≤﹣5、当﹣5≤﹣a≤5时、当﹣a≥5时三种情况，分别利用二次函数的性质求得g（a）．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，∵函数f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[﹣5，5]，
故当x=1时，函数f（x）取得最小值为1，当x=﹣5时，函数f（x）取得最大值为 37．（2）由于函数f（x）=x2+2ax+2的对称轴为 x=﹣a，要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，
应有﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，解得a≥5，或a≤﹣5，即a的范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．（3）由于函数在区间[﹣5，5]上的最小值为g（a），
故当﹣a≤﹣5，即a≥5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上是单调增函数，故最小值g（a）=f（﹣5）=27﹣10a．
故当﹣5≤﹣a≤5，即5≥a≥﹣5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上的最小值g（a）=f（﹣a）=2﹣a2．
故当﹣a≥5，即a≤﹣5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数，故最小值g（a）=f（5）=27+10a．
综上可得，当a≥5时，g（a）=f（﹣5）=27﹣10a；当5≥a≥﹣5时，g（a）=f（﹣a）=2﹣a2；当a≤﹣5时，g（a）=f（5）=27+10a．
【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。