精品解析：湖南省株洲市醴陵四中2018-2019学年高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

数学试卷
考试时间：120分钟满分150分
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上）
1. 下列哪个命题的逆命题为真（ ） A. 若a b >，则ac bc > B. 若22a b >，则0a b >> C. 若|3|1x ->，则24x << D.
2x <<，则24x >
【答案】B 【解析】 【分析】
依次写出每个选项的逆命题，再判断真假得到答案.
【详解】A 选项逆命题为：若ac bc >，则a b >，当0c <时不成立，为假命题，排除；
B 选项逆命题为：若0a b >>，则22a b >，正确.
C 选项逆命题为：若24x <<，|3|1x ->，3x =时，|3|0x -=，为假命题，排除；
D 选项逆命题为：若24x >2x <<，3x =-满足24x >，为假命题，排除；
故选：B .
【点睛】本题考查了逆命题，命题的真假判断，意在考查学生的推断能力. 2. 已知R a ∈，则“1a >”是“1
1a
<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
“a ＞1”⇒“11a ＜
”，“11a
＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a
＜”， “1
1a
＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，
∴“a ＞1”是“1
1a
＜”的充分非必要条件． 故选A ．
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3. 若数列的前4项分别是
1111
,,,23
45
--，则此数列的一个通项公式为（ ） A. 1(1)n n
--
B. (1)n n
-
C. 1
(1)1
n n +-+
D. (1)1
n n -+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】设所求数列为{}n a ，可得出()11
1
111
a
+-=
+，()21
2
121
a
+-=
+，()31
3
131
a
+-=
+，()41
4
141
a
+-=
+，
因此，该数列的一个通项公式为()1
11
n n
a n +-=
+.
故选：C.
【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
4. 如果方程22
143
x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )
A. 34m <<
B. 72
m >
C. 732
m <<
D.
7
42
m << 【答案】D 【解析】
方程表示焦点在y 轴上的椭圆，需满足40
{30
34m m m m
->->->-，解之可得
7
42
m <<．
5. 已知点(,)a b 在直线231x y +=上，则48a b +的最小值为（ ）
A. B. 4
C. D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
计算得到231a b +=，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】点(,)a b 在直线231x y +=上，故231a b +=
，48a b ≥==+当1
4
a =
，16b =时等号成立.
故选：A .
【点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 6. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. 4y x x
=+
B. 4
sin sin y x x
=+
（0πx <<） C. 4x x y e e -=+ D. 3log 4log 3x y x =+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据基本不等式对四个选项分别判断可得结论． 【详解】对于A ，当0x <时，函数4
y x x
=+
无最小值，所以A 不正确． 对于B ，由题意得0sin 1x <≤，且4sin 4sin sin y x x x x
=+
≥=，而当等号成立时需满足4
sin sin x x
=
，即sin 2x =，所以B
不正确． 对于C ，由题意得0x e >，44x x y e e -=+≥=，
当且仅当4x x e e -=，即2x ln =时等号成立，所以C 正确．
对于D ，当01x <<时，3log 0x <，log 30x <，所以D 不正确． 故选C ．
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，即“一正——各项均为正；二定——
积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 7. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5
2
S S =( ) A. 11 B. 5
C. 8-
D. 11-
【答案】D 【解析】
试题分析：设公比为，由2580a a +=，得，解得
，所以
．故
选D ．
考点：等比数列的前项和.
8. 在ABC ∆中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，若cos c A b =， 则ABC ∆形状为（ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形
C. 一定是直角三角形
D. 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形
【答案】C 【解析】
因为cos c A b =所以由余弦定理得2222b c a b
bc c
+-=，
整理得222c a b =+，即三角形为直角三角形，故选C ． 9. 给出下列两个命题：命题:p 空间任意三个向量都是共面向量；命题:q 若0a >，0b >，则方程
221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ ）
A. p q ∧
B. p q ∨
C. ()p q ⌝∧
D. ()p q ⌝∨
【答案】D 【解析】 【分析】
判断命题p 和命题q 为假命题，再判断复合命题的真假得到答案. 【详解】命题:p 空间任意三个向量都是共面向量，为假命题；
当0a b =>时，方程221ax by +=表示圆，故q 为假命题； 故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题. 故选：D .
【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.
10. 点12F F 、分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，点B 为该双曲线虚轴的一个端点，若
12120F BF ︒∠=，则双曲线的离心率为（ ）
A.
2
B.
C.
D.
32
【答案】A 【解析】 【分析】
根据12120F BF ︒
∠=
得到
tan 60c
b
=︒=. 【详解】12120F BF ︒
∠=，故160F BO ∠=︒
，即
tan 60c b =︒=
c e a ===
. 故选：A .
【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应题号的横线上）
11. 设变量,x y 满足约束条件：222y x
x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则3z x y =-的最小值为__________. 【答案】8- 【解析】 【分析】
先画出线性约束条件可行域，再将3z x y =-表示成关于y 的表达式，分析截距与z 值的基本关系即可求解 【详解】如图：线性约束条件可行域为阴影部分面积，由333
x z
z x y y =-⇒=
-，要求z 的最小值，即求3
z
-的最大值，当图像过()2,2-时，满足条件，将()2,2-代入3z x y =-可得8z =-
故答案为：8-
【点睛】本题考查由线性约束条件求目标函数最值，正确画图是关键，属于基础题 12. 在ABC ∆中，若sin :sin :sin 7:8:13A B C =，则C =__________． 【答案】
23
π 【解析】 ∵
由
正弦
定
理可
得
sin :sin :sin 7:8:13
A B C =，∴7813a b c =：：：：
，令7a k =，
8b k =，13c k =（
k >），
利
用
余
弦
定
理
有
2222222
49641691
cos 21122a b c k k k C ab k +-+-===-，∵0180C ︒<<︒，∴120C =，故答案为120. 13. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是
3
2
，则双曲线22221x y a b -=的离心率是___________ 5 【解析】
由题意知2232a b a -=，则2a b =，双曲线的离心率为2255
22
a b b a b +==
． 14. 已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,
45612131477a a a a a a +++
+++=，且13k a =,
则k =_________．
【答案】18 【解析】
471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，717
3
a ∴= 同理94561213141177
a a a a a a a =+++
+++=，
97
a ∴=423
d ∴=
，
23
d =
91376k a a -=-=2
693÷=9918k ∴=+=
15. 已知动点M 分别与两定点(1,0)A ，(1,0)
B -的
连线的斜率之积为定值(0)m m ≠，若点M 的轨迹是焦
点在x 轴上的椭圆（除去点A B 、），则m 的取值范围是___________. 【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】 化简得到221AM BM
y k k m x ⋅==-，即22
1y x m
-=，根据题意01m <-<，解得答案. 【详解】设(),M x y ，22111AM BM
y y y k k m x x x ⋅=⋅==-+-，即22
1y x m
-=. 表示焦点在x 轴上的椭圆（除去点A B 、），故01m <-<，故(1,0)m ∈-. 故答案为：(1,0)-.
【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，意在考查学生的计算能力和理解能力.
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）
16. 已知221
:12;:210(0)3
x p q x x m m --≤-+-≤> 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】9m > 【解析】
试题分析：先解不等式，得p ，再因式分解得q ；由逆否命题等价性得q 是p 的必要非充分条件，即p q ,
最后结合数轴得不等式，解得实数m 的取值范围 试题解析：
{}
1
:12,2,10,|2,103
x p x x A x x x -⌝-
>-=-或或 {}
22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+->-+=-+或或
p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，B
∴A ，即12
9,9110m m m m -<-⎧⇒>∴>⎨
+>⎩
. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
17. 已知双曲线以椭圆22
1259
x y +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，
（1）求该双曲线的标准方程
（2）求该双曲线的焦点坐标，离心率，渐近线方程.
【答案】（1）22
1169x y -
=（2）焦点为(5,0)，(5,0)-；离心率54
e =；渐近线方程3
4
y x 【解析】 【分析】
（1）计算得到4a =，5c =，3b =，得到双曲线方程. （2）根据双曲线方程直接计算得到答案.
【详解】（1）由题意设双曲线的
标准方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，由题知4a =，5c =得3b =，
则双曲线标准方程为22
1169
x y -
=. （2）由22
1169x y -
=得双曲线的焦点为(5,0)，(5,0)-，离心率54
c e a ==， 渐近线方程3
4
y
x ； 【点睛】本题考查了椭圆的焦点，顶点，双曲线方程，焦点，离心率，渐近线，意在考查学生的计算能力. 18. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和n S .
【答案】（1）n a n =，（2）1
n n
S n =+ 【解析】 【分析】
（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程即可求出等差数列的公差，从而可求出数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）求出1
1
n n a a +⋅，利用裂项相消求和法可求出n S
【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 因为11a =，且139,,a a a 成等比数列，
所以2
319a a a =，即2(12)1(18)d d +=⨯+，
解得0d =（舍去）或1d =， 所以n a n =，
（2）由（1）可得11111
(1)1
n n a a n n n n +==-⋅++，
所以111111+2231n n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
n n n =-
=++ 【点睛】此题考查等差数列基本量计算，考查等比中项的应用，考查裂项相消求和法，属于基础题 19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且角B ，A ，C 成等差数列. (1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2) 若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 【答案】(1)1(2)33
4
【解析】
分析：（1）由角B A C ，， 成等差数列以及三角形内角和公式知60A =︒ ，再由余弦定理和条件可得由a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形得
＝.，由此求得m 的值．
（2）由cos A ＝＝，可得2
.bc a ≤，故23
222
ABC
bc a S
sin A =≤⨯
，由此求得结果． 详解：
(1)由角B ，A ，C 成等差数列知60A =︒.
又由a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形得＝.
即cos A ＝＝，∴m ＝1
(2)∵cos A ＝＝，
∴22222bc b c a bc a ≥＝＋－－，即2.bc a ≤ 故2333 .22ABC
bc a S
sin A =≤⨯=. ∴ABC 面积的最大值为
33
点睛：本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及解三角形的方法，属于中档题． 20. 已知()31
x
f x x =
+，且满足111,()n n a a f a +==， (1)求证:1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． (2){}
n b 的
前n 项和21n
n =-s , 若12
12n b b T a a =
++…+n n
b a ，求n T 【答案】（1）见解析；（2）5(35)2n
n +-⋅. 【解析】
试题分析：（1）取倒数将递推关系转化为相邻两项差为常数3，再根据等差数列定义得证（2）先根据等差
数列通项公式求1
n
a ，再根据和项与通项关系求n
b ，最后根据错位相减法求和n T
试题解析：(1)
,
,则
,
是首项为1,公差为3的等差数列;
（2）
S n
=21n - 1
2n n b -∴=
由(1)知11
3n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项是，公差为的等差数列
()1113232232n n n n n
b n a n a n a -∴=-∴=∴=-⋅- T n =()()21142723221n n -+⋅+⋅+⋯+-⋅
()()()2122423523222n n n T n n -=+⋅+⋯-⋅+-⋅
（1）-（2）得：
()()211323232322,5352n n n n n T n T n --=+⋅+⋅+⋯+⋅--⋅∴=+-⋅
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
21. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率e = 4. （1）求椭圆的方程；
（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且0OA OB ⋅>（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
【答案】（1）2
214x y +=（2
）2,222⎛⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到2a b =，2ab =，解方程得到答案.
（2）设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得到1221214x x k
=+，122
1614k x x k +=-+，12120OA OB x x y y ⋅=>+，化简得到答案. 【详解】（1
）由2c e a =
=，得2234a c =，再由222c a b =-，得2a b =. 由题意可知12242a b ⨯⨯=，即2ab =，解方程组2,2,a b ab =⎧⎨=⎩
得2a =，1b =， 所以椭圆的方程为2
214
x y +=. （2）显然0k =不满足题设条件，可设直线l 的方程为2y kx =+，
设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2
21,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，∴224(2)4x kx ++=，
∴()221416120k x kx +++=，∴1221214x x k =
+，1221614k x x k +=-+， 由()22(16)414120k k ∆=-⋅+⋅>，()22163140k
k -+>，2430k ->得234k >①. ∵12120OA OB x x y y ⋅=>+. 又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，
∴()()212121212124x x y y k x x k x x +=++++()22212161241414k k k k k ⎛⎫=+⋅+⋅-+ ⎪++⎝⎭
()
22212121641414k k k k k +⋅=-+++()2
244014k k -=>+∴204k <<②. 综合①②可知2344
k <<， ∴k
的取值范围是2,222⎛⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线斜率范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.。