§5.2-力矩---刚体绕定轴转动微分方程
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F f m a i i
的切向加速度，质元沿
法向运动的科里奥里加
i
i
速度（定轴转动刚体没 有这种运动）
圆周轨迹切线投影
Fi fi miai
同乘以 ri
Fi ri fi ri miai ri miri2β ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
外内
力 Fi
力 fi
miai
圆周轨迹切线投影
同乘以 ri
Fi fi miai Fi ri fi ri miai ri miri2β
ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
§6.1 力矩
一. 力矩
力
?
加速度 角加速度
质点运 动状态 的改变
转动刚体 状态的改
变
刚体绕定轴转动微分方程
z
F//
F
hr
M z (F ) F r
F F Fn
Fh
力矩是代数量 使刚体逆时针加速转动，为正数；否则为负。 力矩取决于力的大小、方向和作用点位置
二. 刚体定轴转动微分方程
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 解 dm 质元 dm m dx
l
dm 重力矩 dM gdm x cos
O
ml
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
转动定律 M
J J 1 ml2
3
3g cos
1 12
ML2
2. (薄板)垂直轴定理
Jz Jx Jy
x,y 轴在薄板内； z 轴垂直薄板。
z
x
y
例如 求对薄圆盘的一条直径的转动惯量
已知
Jz
1 mR2 2
Jz Jx Jy Jx Jy
Jx
Jy
1 mR2 4
z
R
x
m
y
四. 转动定律的应用举例
例 滑轮半径 r =20cm ，转动惯量 J = 0.5kg ·m2。在绳端施以 F = 98N 的拉力，不计摩擦力。
的分布。
计算转动惯量的两个定理 1. 平行轴定理
J z Jc md 2
z
dC m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量
JZ ? JC
Jc :刚体绕通过质心轴的转动惯量
d :两轴间垂直距离
z
z
Lm
例 均匀细棒的转动惯量
J Z
JZ
m
L 2
2
1 mL2 3
L/ 2
Jz
求 (1) 滑轮的角加速度 (2) 如以重量P = 98N 的物体挂在绳端，计算滑轮的角加速度
解 (1) (2)
M J
M Fr
Fr 39.2
J
mg T ma
Tr J a r
21.8
O rT
F
mg
例 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时
J L R2dm R2 L dm mR2
0
0
例 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
o解dm来自 ds m πR 2 2πrdr 2mr dr R2
dm 转动惯量 dJ r 2dm
m
dr r
o
J
m
dJ
0
R 0
2m R2
r
3dr
1 mR2 2
R
转动惯量与质量分布有关，取决于刚体质量相对转轴在空间
外力矩 M 内力矩为0 转动惯量 J
刚体定轴转动微分方程 M Jβ
讨论
（1）牛顿定律比较：F
ma
-fi
h
ri
fi
mi
（2）转动惯量 J Δmiri2—— 转动惯性
三. 转动惯量的计算
定义式：
J miri2
质量连续分布:
J r2dm
例 均质细棒L 、 M ，绕端点轴 z 和质心轴 z′的转动惯量
解 质元质量
dm M dx
z
z’
L
dx
x
质元转动惯量 dJ z x2dm
o x L/2-x
Jz
dJ L x2 M dx ML2
0L
3
J z'
L ( L -x)2 dm ML2
02
12
转动惯量与转轴有关
例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
解 dm 转动惯量 dJ R2dm
dr r
圆盘摩擦力矩
M
R
dM
2 mgR
0
3
转动定律
M J d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l’ 处。
Nx
求 l’=？时，轴对棒作用力的水平分量为 0
解 设轴对棒的水平分力为 Nx
? l' C
acx
由质心运动定理 由转动定律
F Nx mac
Fl' ( 1 ml2)β 3
ac
l
2
F
Nx
F (3l' 2l
1)
Nx 0
l' 2l 3
打击中心
二. 定轴转动定律
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
外内
包括：饶转轴加速转动
力力
2l
d d dt d
d
3g
cos
2l
d
0
0
2 3g sin / l
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间.
解
细圆环
dm
σ
ds
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
df 的力矩 dM rdf
外力矩 M 内力矩为0 转动惯量 J
刚体定轴转动定律 M Jβ
讨论
（1）牛顿定律比较：F
ma
-fi
h
ri
fi
mi
（2）转动惯量 J Δmiri2—— 转动惯性
的切向加速度，质元沿
法向运动的科里奥里加
i
i
速度（定轴转动刚体没 有这种运动）
圆周轨迹切线投影
Fi fi miai
同乘以 ri
Fi ri fi ri miai ri miri2β ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
外内
力 Fi
力 fi
miai
圆周轨迹切线投影
同乘以 ri
Fi fi miai Fi ri fi ri miai ri miri2β
ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
§6.1 力矩
一. 力矩
力
?
加速度 角加速度
质点运 动状态 的改变
转动刚体 状态的改
变
刚体绕定轴转动微分方程
z
F//
F
hr
M z (F ) F r
F F Fn
Fh
力矩是代数量 使刚体逆时针加速转动，为正数；否则为负。 力矩取决于力的大小、方向和作用点位置
二. 刚体定轴转动微分方程
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 解 dm 质元 dm m dx
l
dm 重力矩 dM gdm x cos
O
ml
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
转动定律 M
J J 1 ml2
3
3g cos
1 12
ML2
2. (薄板)垂直轴定理
Jz Jx Jy
x,y 轴在薄板内； z 轴垂直薄板。
z
x
y
例如 求对薄圆盘的一条直径的转动惯量
已知
Jz
1 mR2 2
Jz Jx Jy Jx Jy
Jx
Jy
1 mR2 4
z
R
x
m
y
四. 转动定律的应用举例
例 滑轮半径 r =20cm ，转动惯量 J = 0.5kg ·m2。在绳端施以 F = 98N 的拉力，不计摩擦力。
的分布。
计算转动惯量的两个定理 1. 平行轴定理
J z Jc md 2
z
dC m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量
JZ ? JC
Jc :刚体绕通过质心轴的转动惯量
d :两轴间垂直距离
z
z
Lm
例 均匀细棒的转动惯量
J Z
JZ
m
L 2
2
1 mL2 3
L/ 2
Jz
求 (1) 滑轮的角加速度 (2) 如以重量P = 98N 的物体挂在绳端，计算滑轮的角加速度
解 (1) (2)
M J
M Fr
Fr 39.2
J
mg T ma
Tr J a r
21.8
O rT
F
mg
例 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时
J L R2dm R2 L dm mR2
0
0
例 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
o解dm来自 ds m πR 2 2πrdr 2mr dr R2
dm 转动惯量 dJ r 2dm
m
dr r
o
J
m
dJ
0
R 0
2m R2
r
3dr
1 mR2 2
R
转动惯量与质量分布有关，取决于刚体质量相对转轴在空间
外力矩 M 内力矩为0 转动惯量 J
刚体定轴转动微分方程 M Jβ
讨论
（1）牛顿定律比较：F
ma
-fi
h
ri
fi
mi
（2）转动惯量 J Δmiri2—— 转动惯性
三. 转动惯量的计算
定义式：
J miri2
质量连续分布:
J r2dm
例 均质细棒L 、 M ，绕端点轴 z 和质心轴 z′的转动惯量
解 质元质量
dm M dx
z
z’
L
dx
x
质元转动惯量 dJ z x2dm
o x L/2-x
Jz
dJ L x2 M dx ML2
0L
3
J z'
L ( L -x)2 dm ML2
02
12
转动惯量与转轴有关
例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
解 dm 转动惯量 dJ R2dm
dr r
圆盘摩擦力矩
M
R
dM
2 mgR
0
3
转动定律
M J d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l’ 处。
Nx
求 l’=？时，轴对棒作用力的水平分量为 0
解 设轴对棒的水平分力为 Nx
? l' C
acx
由质心运动定理 由转动定律
F Nx mac
Fl' ( 1 ml2)β 3
ac
l
2
F
Nx
F (3l' 2l
1)
Nx 0
l' 2l 3
打击中心
二. 定轴转动定律
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
外内
包括：饶转轴加速转动
力力
2l
d d dt d
d
3g
cos
2l
d
0
0
2 3g sin / l
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间.
解
细圆环
dm
σ
ds
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
df 的力矩 dM rdf
外力矩 M 内力矩为0 转动惯量 J
刚体定轴转动定律 M Jβ
讨论
（1）牛顿定律比较：F
ma
-fi
h
ri
fi
mi
（2）转动惯量 J Δmiri2—— 转动惯性