2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题21平面向量的应用(教学案)含解析

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
热点题型一 平面向量在平面几何中的应用 例1、（2018年天津卷）在如图的平面图形中，已知,
则
的值为
A. B.
C.
D. 0
【答案】C
【变式探究】(1)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →
＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A.5 B ．2 5 C ．5 D ．10
(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →
＝1，则AB 的长为__________。

【解析】(1)因为AC →·
BD →
＝0，所以AC ，BD 是互相垂直的对角线，所以S ＝12|AC |·|BD |＝12·5·25＝5。

(2)方法一：因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝AD →－12AB →
， 【答案】A
热点题型二 平面向量在三角函数中的应用
例2、已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤
0，π2。

(1)求a·b 及|a ＋b |；
(2)若f (x )＝a·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值。

(2)f (x )＝cos2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2。

∵x ∈⎣⎡⎦⎤
0，π2，∴0≤cos x ≤1。

①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾。

②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2
，即－1－2λ2
＝－32，解得λ＝1
2。

③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，即1－4λ＝－32，解得λ＝5
8，这与λ＞1相矛盾。

综上所述，λ＝1
2即为所求。

【提分秘籍】
利用向量求解三角函数问题的一般思路
(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式。

利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解。

(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。

(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。

【举一反三】
已知向量a ＝(cos x ，sin x )，|b |＝1，且a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |(k ＞0)。

(1)试用k 表示a·b ，并求a·b 的最小值；
(2)若0≤x ≤π，b ＝⎝⎛⎭⎫
12，32，求a·b 的最大值及相应的x 值。

热点题型三 平面向量在解析几何中的应用
例3．（2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A 为直线
上在第一象限内的点，
，以AB
为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若
，则点A 的横坐标为________．
【答案】3 【解析】设，则由圆心为中点得
易得
，与
联
立解得点D 的横坐标
所以
.所以
， 由得或
，
因为
，所以
【变式探究】(1)已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离d 的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
(2)已知椭圆方程为x 225＋y 29＝1，点A (1,1)，M 为椭圆上任意一点，动点N 满足AN →＝2AM →
，则N 点的轨迹方程为________。

【答案】(1)B (2)
x ＋2
100
＋
y ＋2
36
＝1
【提分秘籍】
向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。

(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法。

【举一反三】
已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →
＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝－4x
【解析】设P (x ，y )，因为M (－2,0)，N (2,0)， 所以|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →
＝(x －2，y )， 由|MN →|·|MP |→＋MN →·NP →＝0， 则4
x ＋
2
＋y 2
＋(4,0)·
(x －2，y )＝0， 化简整理得y 2＝－8x 。

所以选B 。

2.【2017北京，文12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．
【答案】6 【解析】
所以最大值是6.
3.【2017课标3，文13】已知向量，且a b ⊥，则m = .
【答案】2
【解析】由题意可得：
.
4.【2017天津，文14】在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2.若2BD DC =，（λ∈R ），
且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 .
【答案】 3
11
【解析】
,则
.
1.【2016高考天津文数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）
（A ）8
5
-
（B ）
8
1 （C ）
4
1 （D ）
8
11 【答案】B
2.【2016高考新课标2文数】已知向量a =(m ，4)，b =(3，-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】－6
【解析】因为a ∥b ，所以
，解得6m =-．
3.【2016高考新课标1文数】设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 【答案】23
-
【解析】由题意，
4【2016高考浙江文数】已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．
【解析】由已知得
，不妨取(1,0)=a ，=b ，设
，则
，取等号时
cos α与sin α同号．所以
（其中
，取θ为锐角）．显然，易知当2
αθπ
+=
时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等式中等号能同时取到，故所
5.【2016高考山东文数】已知向量若()
a ta
b ⊥+，则实数t 的值为________．
【答案】5-
1.【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，
，
()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】D
【解析】因为四边形CD AB 是平行四边形，所以
，所以
，故选D ．
5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【答案】A
【解析】由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2
＝6，两式相减，得4a ·
b ＝4，所以a ·b ＝1. 6．（2014·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →
＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______． 【答案】16
【解析】因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝2
3，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×
sin π6＝1
6 . 7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，
DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →
＝－23，则λ＋μ＝( )
A.12
B.23
C.56
D.7
12 【答案】C
【解析】建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，
y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，
y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →
得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，
y 2
＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ·AF ＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，
3(1－μ))＝1，①
CE →·CF →
＝(λ－1, 3(λ－1))·(μ－1, 3(1－μ))＝－23.② ①－②得λ＋μ＝56.
8．(2013年高考湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →
方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152
【答案】A
9．(2013年高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B.[]2－1，2＋2 C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]
【解析】由a ，b 为单位向量且a ·
b ＝0，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设
c ＝(x ，y )，代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2
＝1，又|c |＝
x 2＋y 2，故由几何性质得12＋12－1≤|c |≤
12＋12＋1，即2－1≤|c |≤ 2＋1.
【答案】A
10．(2013年高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤
0，π2.
(1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．。