《第2课时 商品利润最大问题1》教案 (公开课)2022年北师大版数学

2.4 二次函数的应用
第2课时商品利润最大问题
1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点)
2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)
一、情境导入
某商店经营T恤衫，成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，销售量是500件，而单价每降低10元，就可以多售出200件．请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
二、合作探究
探究点一：商品利润最大问题
【类型一】利用二次函数求实际问题中的最大利润
某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元时，销售量为y套．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？
(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
解析：(1)由销售单价为x元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y与x的函数关系式；(2)直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价；(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)，然后利用配方法求最值．
解：(1)销售单价为x元，那么销售量减少
x－60
5×20，故销售量为y＝240－
x－60
5×20＝－4x＋480(x≥60)；
(2)根据题意可得x(－4x＋480)＝14000，解得x1＝70，x2＝50(不合题意，舍去)，故当销售价为70元时，月销售额为14000元；
(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19200＝－4(x－80)2x＝80时，w有最大值，最大值为6400.
所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
方法总结：先得到二次函数的顶点式y
＝a(x－h)2＋k，当a＜0，x＝h时，y有最大
值k；当a>0，x＝h时，y有最小值k.
变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第7题
某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．右面的二次函数图象(局部)刻画了该公司年初以来累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和w和销售时间t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答以下问题：
(1)由图象上的信息，求累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可到达30万元；
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元．
解析：(1)此题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出w与t之间的函数关系式；
(2)把w ＝30代入累计利润w ＝1
2t 2－2t 的函
数关系式里，求得月份；(3)分别将t ＝7，t ＝8代入函数解析w ＝1
2t 2－2t ，再把总利润
相减就可得出．
解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2，－2)，故可设其函数关系式为w ＝a (t －2)2－2.∵所求函数关系式的图象过(0，0)，于是得a (0－2)2－2＝0，解得a ＝1
2.∴函数关系式
为w ＝12(t －2)2－2，即w ＝1
2
t 2－2t .
所以，累积利润w 与销售时间t 之间的函数关系式为w ＝1
2
t 2－2t ；
(2)把w ＝30代入w ＝12t 2－2t ，得1
2t 2－
2tt 1＝10，t 2＝－6(不合题意，舍去)．
所以，截止到10月末公司累积利润可达30万元；
(3)把t ＝7代入关系式，得w ＝1
2×72－
2×，把t ＝8代入关系式，得w ＝1
2×82－2×8
＝16.16－10.5＝5.5(万元)．
所以，第8个月公司所获利润是5.5万元．
方法总结：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对此题图象中所给信息的理解是解决问题的关键．
【类型二】 综合运用一次函数和二次函数求最大利润
宿松超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系如图(20≤x ≤60)．
(1)求每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系式；
(2)假设该商品每天的利润为w (元)，试确定w (元)与售价x (元/件)之间的函数关系式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大，最大利润是多少？
解析：(1)当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w (元)与售价x (元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．
解：(1)分两种情况：当20≤x ≤40时，
设y ＝ax ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧20a ＋b ＝40，40a ＋b ＝60，解
得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝20，故y ＝x ＋20；当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，根据题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧40m ＋n ＝60，60m ＋n ＝20，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－2，
n ＝140，故y ＝－2x ＋140.
故每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数表达式是y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋20〔20≤x ≤40〕，－2x ＋140〔40＜x ≤60〕； (2)w ＝错误!
①当20≤x ≤40时，w ＝x 2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x 的增大而增大，又20≤x ≤40，因此当x ＝40时，w 有最大值，w 最大值＝402－400＝1200；②当40＜x ≤60时，w ＝－2x 2＋180x －2800＝－2(x －45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x ≤60，所以当x ＝45时，w 有最大值，w 最大值＝1250.
综上所述，当x ＝45时，w 最大值＝1250. 所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．
方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞 第2题
【类型三】 利用表格信息求最大利润 某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x (1≤x ≤90)天的售价与销量的相关
该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元．
(1)求出y 与x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
解析：(1)分1≤x ＜50和50≤x ≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．
解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x )(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000；当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000.
综上所述，y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000〔1≤x ＜50〕，－120x ＋12000〔50≤x ≤90〕； (2)当1≤x ＜50时，y ＝－2x 2＋180x ＋2000，二次函数开口向下，对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x ≤90时，y ＝－120x ＋12000，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000.
综上所述，销售该商品第45天时，当
天销售利润最大，最大利润是6050元．
方法总结：此题考查了二次函数的应用，读懂表格信息、理解利润的计算方法，即利润＝每件的利润×销售的件数，是解决问题的关键．
三、板书设计
商品利润最大问题
1．利用二次函数求实际问题中的最大利润
2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润
本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有方案、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现〞的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与开展的过程，让学生既获得了知识又开展了智力，同时提升了能力.
第2课时 三角形的三边关
系
1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；
2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难
点)
一、情境导入
数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？
问：你能不能给三角形下一个完整的定义？
二、合作探究
探究点一：三角形按边分类
以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是( )
解析：
三角形根据边分类
⎩⎪⎨⎪
⎧不等边三角形等腰三角形⎩
⎪⎨⎪⎧只有两边相等的三角形
三边相等的三角形〔等边三角形〕 应选D.
方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键． 探究点二：三角形中三边之间的关系 【类型一】 判定三条线段能否组成三角形
以以下各组线段为边，能组成三角形的是( )
A ．2cm ，3cm ，5cm
B ．5cm ，6cm ，10cm
C ．1cm ，1cm ，3cm
D ．3cm ，4cm ，9cm
解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．应选B.
方法总结：判定三条线段能否组成三角
形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．
【类型二】 判断三角形边的取值范围
一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )
A ．3＜x ＜11
B ．4＜x ＜7
C ．－3＜x ＜11
D ．x ＞3
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x A.
方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【类型三】 三角形三边关系与绝对值的综合
假设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，化简|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |.
解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a －b －c ＜0，b －c －a ＜0，c ＋a －b ＞0.∴|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |＝b ＋c －a ＋c ＋a －b ＋c ＋a －b ＝3c ＋a －b .
方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．
三、板书设计
1．三角形按边分类：
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．
2．三角形中三边之间的关系：
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．
本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形〞引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系〞．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力。