2020年驻马店市名校数学高二第二学期期末监测试题含解析

2020年驻马店市名校数学高二第二学期期末监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知集合{
}
(
){
}2
2,0,|lg 2x
M y y x N x y x x ====-，则()R
M C N ⋂为（ ）
A ．(]1,2
B ．()1,+∞
C ．[)2,+∞
D ．[
)1,+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
分别求出集合M ，N ，和R C N ，然后计算()R M C N ⋂. 【详解】
解：由0x >，得21x
y =>，故集合()1
M =+∞， 由220x x ->，得02x <<，故集合()02N ，
=，][()
,02,R C N =-∞⋃+∞ 所以()[
)2,R M C N ⋂=+∞ 故选：C. 【点睛】
本题考查了指数函数的值域，对数函数的定义域，集合的交集和补集运算，属于基础题. 2．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个 B ．120个
C ．96个
D ．72个
【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选B
考点：排列、组合及简单计数问题．
3．已知向量a v 与向量b v 的模均为2，若3a b -=v
v ）
A ．60︒
B ．30°
C ．120︒
D ．150︒
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意结合数量积的运算法则可得1
,2
cos a b =v v ，据此确定其夹角即可.
【详解】
∵222369a b a a b b -=-⋅+v v
v v v v 4024,28cos a b =-=v v ，
∴1
,2
cos a b =v v ，∴,60a b =︒v v ，
故选A. 【点睛】
本题主要考查向量夹角的计算，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．已知0,0,42a b a b >>+=，则
11
a b
+的最小值是 A ．4 B ．
92
C ．5
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】 将代数式
11
a b
+与代数式4a b +相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以2可得出答案． 【详解】
因为114(
)(4)4159b a a b a b a b ++=+++≥+= ， 又42a b +=，所以119
()2
a b +≥， 当且仅当12
,33
a b ==时取""=，故选B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．
H:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得2K 5．独立性检验中，假设0
k≈.下列结论正确的是
的观测值7.236
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关
C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关
D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关
【答案】A
【解析】
【分析】
K的临界值，根据临界值表找到犯错误的概率，即对“运动员受伤与不做热身运动没有关系”可先找到2
下结论。

【详解】
()
2 6.6350.01
P K≥=
Q，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选：A。

【点睛】
本题考查独立性检验，根据临界值表找出犯错误的概率是解这类问题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。

6．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】
【分析】
分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.
【详解】
解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键. 7．设命题:p x ∃∈R ，22012x >，则P ⌝为（ ）． A ．x ∀∈R ，22012x ≤ B ．x ∀∈R ，22012x > C ．x ∃∈R ，22012x ≤ D ．x ∃∈R ，22012x <
【答案】A 【解析】 【分析】
根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果. 【详解】
解：P ⌝表示对命题P 的否定，
“x ∃∈R ，22012x >”的否定是“x ∀∈R ，22012x ≤” ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型. 8．在平面直角坐标系
中，双曲线的
右支与焦点为的抛物线
交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据抛物线定义得到
，再联立方程得到
得到答案.
【详解】
由抛物线定义可得：
,
因为 ,
所以
渐近线方程为.
故答案选A 【点睛】
本题考查抛物线，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力. 9．为了得到函数sin(2)6
y x π
=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】D 【解析】
因为把2y sin x =的图象向右平移
12
π
个单位长度可得到函数22126y sin x sin x ππ⎛⎫
⎛
⎫=-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的图象，所以，为了得到函数sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，可以将函数sin2y x =的图象，向右平移
12
π
个单位长度故选D.
10．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i + B ．12i -+
C ．12i --
D ．12i -
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】
() 22112i i i i +=-=-+.
故选B 【点睛】
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.
11．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有( )
A ．24种
B ．16种
C ．12种
D ．10种
【答案】C 【解析】
根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有43=12⨯种，故选C. 12．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．22
83C A B ．26
86C A
C ．22
86C A
D ．22
85C A
【答案】C 【解析】
试题分析：第一步从后排8人中选2人有2
8C 种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有2
6A 种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是2
2
86C A 考点：排列组合
点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数2()2ln f x x x =-的单调递减区间是_________. 【答案】()
0,1 【解析】 【分析】
求出导函数()'f x ，在()0,∞+上解不等式()'0f x <可得()f x 的单调减区间． 【详解】
()
2
212'2x y x x x
-=-=
，其中0x >，
令'0y <，则()0,1x ∈，故函数2
2ln y x x =-的单调减区间为()0,1，填()0,1．
【点睛】
一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()'0f x <，则()f x 在(),a b 上为单调减函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为减函数，则()'0f x ≤．注意求单调区间前先确定函数的定义域．
14．若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y
+=，则
213x y
+的最小值为__________．
【解析】
分析：由对数运算和换底公式，求得x y 、 的关系为22x y +=，根据基本不等式确定 详解：因为0x >，0y >
所以4
22222log 3log 3log 3log 4
x
y
+=
()
24221
log 33log 32
x y ⨯=
22333x y ⨯=，所以22x y += ，即
()1
212
x y += 所以()211
212323x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1242233y x x y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
1823⎛≥
+ ⎝
1823⎛≥
+ ⎝⎭
≥
当且仅当43y x x y =，即4322y x x y x y ⎧=
⎪⎨⎪+=⎩
，此时61
x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩时取等号
所以最小值为
43
+ 点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．
15．若5
1()(2)a x x x x
+-的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为__________． 【答案】120 【解析】
分析：512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，令1x =，求出a ，再求出5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x
的一次项及1x -项即可.
详解：5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中，各项系数的和为3，
令1x =，13a +=，
2a ∴=，
55
12122a x x x x x x x x ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式中x 的系数为80，1x -的系数为40-，展开式中的常
数项为16040120-=. 故答案为：120.
点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．
16．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元． 【答案】37(元) 【解析】 【分析】
由已知条件直接求出数学期望，即可求得结果 【详解】
Q 一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出
一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1， 则这台机器每生产一件产品平均预期可获利： 50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)． 故答案为37(元) 【点睛】
本题主要考查了期望的实际运用，由已知条件，结合公式即可计算出结果，本题较为简单。

三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，
F 是DC 上的点，且1
2
DF AB =
，PH 为PAD ∆中AD 边上的高.
（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
12
. 【解析】 【分析】
（1）通过证明AB PH ⊥，PH AD ⊥证得线面垂直；
（2）求出点E 到平面ABCD 的距离，利用锥体体积公式即可得解. 【详解】
（1）因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以AB PH ⊥， 又因为PH 为PAD ∆中AD 边上的高，所以PH AD ⊥，
AB AD A ⋂=，AB Ì平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
所以PH ⊥平面ABCD . （2）11
12122
BCF S FC AD ∆=
⨯=⨯⨯=， 因为E 是PB 中点，PH ⊥平面ABCD ， 所以点E 到平面ABCD 的距离为11
22
PH =， 于是111111323212
E BC
F BCF V S -∆=⨯=⨯⨯=. 【点睛】
此题考查证明线面垂直和求锥体的体积，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，准确求出点到平面的距离，根据公式计算得解. 18．过点10
(
,0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线交于点,M N ，
求PM PN ⋅的最小值及相应的α值.
【答案】最小值为34
，此时α＝2π.
【解析】
设直线为10
cos {()2
sin x t t y t α
α
=
+=为参数，代入曲线并整理得 2
2
3
(1sin )(10cos )02
t t αα+++=则
1223
2
1sin PM PN t t α
⋅==+ 且，解得，所以当时，即
或
时，
PM PN ⋅的最小值为，此时
或．
19．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点
.
()1求证：平面ACG ⊥平面BCE ； ()2若3AB BC =
，求二面角B CA G --的余弦值.
【答案】()1证明见解析；()2217
. 【解析】 【分析】
()1推出CB AB ⊥，从而CB ⊥平面ABEF ，进而得出CB AG ⊥，再得出AG BE ⊥，从而AG ⊥平面
BCE ，由此能证明平面ACG ⊥平面BCE ；
()2以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B CA G --的余弦值.
【详解】
解：()1证明：Q 平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥， 平面ABCD I 平面ABEF AB =.
∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥.
在菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，可知ABE △为等边三角形，G 为BE 中点，
∴AG BE ⊥.
Q BE CB B =I ，∴AG ⊥平面BCE .
Q AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .
()2由()1知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG ，AF ，AD 两两垂直，
以A 为原点，如图建立空间直角坐标系.
设2AB =，则23
BC =，()0,0,0A ，(
)
3,0,0G
，33,1,3C -⎭，)
3,1,0B -.
设(),,m x y z =u r
为平面ABC 的法向量，
由00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 可得3023303x y x y z ⎧-=⎪⎨-+
=⎪⎩
， 取()3,0m =u r ，同理可求平面ACG 的法向量(3n =r
，。