四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用 第6课时 函数的单调性与导数同步测试 新人教A版选修2-2

第6课时函数的单调性与导数
基础达标(水平一)
1.函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为().
A.(2,+∞)
B.(-∞,2)
C.(-∞,0)
D.(0,2)
【解析】函数f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0<x<2,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,2).
【答案】D
2.已知定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且其导函数f'(x)满足>0,
则当2<a<4时,有().
A.f(2a)<f(log2a)<f(2)
B.f(log2a)<f(2)<f(2a)
C.f(2a)<f(2)<f(log2a)
D.f(log2a)<f(2a)<f(2)
【解析】∵函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),
∴函数f(x)的对称轴为x=2.
又∵导函数f'(x)满足>0,
∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,(-∞,2)上单调递增.
又∵2<a<4,
∴1<log2a<2<4<2a.
又函数f(x)的对称轴为x=2,
∴f(2)>f(log2a)>f(2a).
【答案】A
3.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,若a>b,则有().
A.f(a)g(a)=f(b)g(b)
B.f(a)g(a)>f(b)g(b)
C.f(a)g(a)<f(b)g(b)
D.f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定
【解析】由题意知[f(x)g(x)]'>0,∴f(x)g(x)在R上是增函
数.∵a>b,∴f(a)g(a)>f(b)g(b).
【答案】B
4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是().
【解析】在区间(-1,1)上,f'(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f'(x)单调递增,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加的越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,f'(x)单调递减,故y=f(x)在区间(0,1)上增加的越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.故选B.
【答案】B
5.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是.
【解析】f'(x)=(x-3)'e x+(x-3)(e x)'=(x-2)e x,令f'(x)>0,解得x>2.
【答案】(2,+∞)
6.函数y=ax3-x在R上是减函数,则实数a的取值范围为.
【解析】∵y'=3ax2-1,且函数y=ax3-x在R上是减函数,
∴y'=3ax2-1≤0在R上恒成立.
当x=0时,y'=3ax2-1≤0在R上显然成立;
当x≠0时,a R上恒成立,∴a≤0.
【答案】(-∞,0]
7.设函数f(x)=ln x-2ax,a>0,求函数f(x)的单调区间.
【解析】由题意知f(x)=ln x-2ax的定义域为(0,+∞),
且f'(x)2a,
因为a>0,x>0,2a>0,则1-2ax>0.
所以当x,f'(x)>0,
当x,f'(x)<0.
所以当a>0时,函数f(x)
拓展提升(水平二)
8.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是().
【解析】由题图可知,当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的;当-1<x<0时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当0<x<1时,xf'(x)<0,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当x>1
时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的.由上述分析,可知选C.
【答案】C
9.如图所示的是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f'(x)为函数f(x)的导函数,则不等式
x·f'(x)<0的解集为.
【解析】由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,和+∞)上为增函数,在(
内为减函数,
∴当x∈(-∞,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(时,f'(x)<0.
∴x·f'(x)的解集为{0.
【答案】{0
10.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是.
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),y'=4由y'>0得f(x)的增区间为
由y'<0得f(x)由于函数在(k-1,k+1)上不单调,所以
1≤
11.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,若f(x)在区间(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
【解析】f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1),
令f'(x)=0,得x1=a,x2=1.
①当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,
故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
②当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数,
从而f(x)在(-∞,0)上也为增函数.
综上所述,a的取值范围为[0,+∞).。