19-20版 第1章 1.2 1.2.1 “且”与“或”

1．2基本逻辑联结词1．2.1“且”与“或”
学
习目标核心素养
1.了解联结词“且”与“或”的含义．(重点)．
2．会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题．(难点、易混点)．3．能够判断命题“p且q”“p或q”的真假．(重点)1.通过学习基本逻辑联结词“且”与“或”，培养学生的数学抽象素养．2．通过判断用“且”“或”联结而成的复合命题的真假，提升学生的逻辑推理素养.
1．用逻辑联结词构成新命题
构成新命题记作读作
用联结词“且”把命题p和q联结起来，
就得到一个新命题
p∧q p且q
用联结词“或”把命题p，q联结起来，
就得到一个新命题
p∨q p或q
约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义？
[提示]命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”“同时”的意思．“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替．思考2：观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“或”的含义？
[提示]命题③是将命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．“或”从集合的角度看，可设A＝{x|x满足命题p}，B＝{x|x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p 和q，即两者中至少要有一个．
2．含逻辑联结词的命题真假的判断
p q p∧q p∨q
真真真真
真假假真
假真假真
假假假假
[提示]p且q为真命题，说明p真、q真，故p或q一定是真命题．反之不一定成立，即若p或q为真命题，p且q不一定为真命题，比如p真q假时，p或q真，但p且q假．
1．已知命题p：对顶角相等，命题q：27是3的倍数，则p∧q表示() A．对顶角相等或27是3的倍数
B．对顶角相等
C．27是3的倍数
D．对顶角相等且27是3的倍数
D[p∧q表示对顶角相等且27是3的倍数．]
2．下列命题中既是“p∧q”形式的命题，又是真命题的是()
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根和是1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
D[有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形，既是“p∧q”形式的命题，
又是真命题．]
3．下列命题是“p∨q”形式的是()
A．6≥6
B．3是奇数且3是质数
C.2是无理数
D．3是6和9的约数
A[6≥6⇔6＞6或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命题；B和D是“p∧q”形式的命题；C不包含任何逻辑联结词，所以B，C，D不正确，故选A.]
含有“且”“或”命题的构成
(1)p：2是无理数，q：2大于1；
(2)p：N⊆Z，q：{0}⊆N；
(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数；
(4)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．
[解](1)p∧q：2是无理数且大于1，
p∨q：2是无理数或大于1.
(2)p∧q：N⊆Z且{0}⊆N，
p∨q：N⊆Z或{0}⊆N.
(3)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数，
p∨q：35是15的倍数或是7的倍数．
(4)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.
1．指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；
(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．
[解](1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．
含有逻辑联结词的命题的真假
判断
假．
(1)p：6<6，q：6＝6.
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分．
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2＜0无解．
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，
q：函数y＝cos x是奇函数．
[解](1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤
(1)逐一判断命题p，q的真假.
(2)根据“且”和“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假.,p∧q为真⇔p和q同时为真，,p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.
2．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．
(1)p：3是无理数，q：π不是无理数；
(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
[解](1)∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．
(3)∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．
根据命题的真假求参数范围
1．逻辑联结词“且”与集合中的哪种运算对应？与电学中的电路又有什么关系？
[提示](1)对于逻辑联结词“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，二者含义是一致的，都表示“既……，又……”的意思．
(2)对于含有逻辑联结词“且”的命题真假的判断，可以
联系电路中两个串联开关的闭合或断开与电路的通或断的对
应加以理解(如图所示)．
2．逻辑联结词“或”与集合中的哪种运算对应？与电学
中的电路又有什么关系？
[提示](1)对于逻辑联结词“或”的理解，可联系集合中“并集”的概念，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，二者含义是一致的，如果p：集合A；q：集合B；则p∨q：集合A∪B.
“或”包含三个方面：x∈A且x∉B，x∉A且x∈B，
x ∈A ∩B .
(2)对于含有逻辑联结词“或”的命题真假的判断，可以联系电路中两个并联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图所示)．
【例3】 设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．
[思路探究] 首先求出命题p ，命题q 所满足的条件，根据p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，可知p ，q 为一真一假，再分类讨论求出a 的范围．
[解] 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4＜0.
解这个不等式得：－3<a <1.
对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.
又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p ，q 必是一真一假．
当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
1．(变换条件)本例中将“p ∧q ”为假命题改为“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
[解] 由“p ∧q ”为真命题知p ，q 均为真命题． 由⎩⎨⎧
－3＜a ＜1，a ＞0，得0＜a ＜1. 故a 的取值范围是(0,1)．
2．(变换条件)本例中将“p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅”改为“p ：方程x 2－(a ＋1)x ＋1＝0有两不相等的实数根”，求a 的取值范围．
[解] 由方程x 2－(a ＋1)x ＋1＝0有两不相等的实数根，得Δ＝[－(a ＋1)]2－4＞0，
解得a ＜－3或a ＞1.
由p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，
所以p，q必是一真一假．
当p真q假时a＜－3，当p假q真时，0＜a≤1.
综上可知，a的取值范围是(－∞，－3)∪(0,1]．
解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.
提醒：求解时要注意区间端点值的检验.
1．思考辨析
(1)p与q同真，则p∧q为真；p与q有一假，则p∧q为假．()
(2)p与q有一真，则p∨q为真；p与q同假，则p∨q为假．()
(3)命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，使用了逻辑联结词“且”．
[提示](1)√(2)√
(3)דx＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”．
2．已知p：正方形的对角线相等，q：20是3的倍数，则p∨q()
A．是真命题B．是假命题
C．有可能是真命题D．不一定是假命题
A[正方形的对角线相等，所以命题p是真命题，所以p∨q是真命题．] 3．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p，q只有一个是真命题
D．命题p，q至少有一个是真命题
C[p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题；p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，同时满足，则p，q只有一个为真命题，故选C.] 4．有以下四个命题：
(1)直线a平行于直线b；
(2)直线a平行于直线b或直线a平行于直线c；
(3)直线a平行于直线b且直线a平行于直线c；
(4)a2＋1≥1.
其中是“p∨q”形式的命题的序号为________，“p∧q”形式的命题的序号为________．
(2)(4)(3)[(1)是简单命题；(2)是p∨q形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(3)是p∧q的形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(4)是p∨q形式，其中p：a2＋1＞1，q：a2＋1＝1.]课时分层作业(三)“且”与“或”
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．“xy≠0”是指()
A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0
C．x，y中至少一个不为0 D．x，y不都是0
A[x，y要同时不等于0，才有xy≠0.B中包括x≠0，y＝0；x＝0，y≠0和x≠0，y≠0的情况．而C，D中都包含x或y可能为0的情况．]
2．下列命题是真命题的是()
A．5＞2且7＞8
B．3＞4或3＜4
C．9≤7
D．方程x2－3x＋4＝0有实根
B[虽然p：3>4是假命题，但q：3<4是真命题，所以p∨q是真命题．]
3．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π
2；命题q：函数y＝cos x的图
象关于直线x＝π
2对称，则下列判断正确的是()
A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真
C[函数y＝sin 2x的最小正周期为2π
2＝π，故p为假命题；x＝
π
2不是y＝cos
x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.]
4．下列命题： ①2>1或1<3；
②方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；
③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ④集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
C [前三个命题是“p ∨q ”形式，第四个是“p ∧q ”形式，根据真值表判断方法知命题③中两个简单命题均为假命题，故命题③是假命题．]
5．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，下面使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )
A ．(0，－3)
B ．(1,2)
C ．(1，－1)
D ．(－1,1)
C [使“p ∧q ”为真命题的点即为直线y ＝2x －3与抛物线y ＝－x 2的交点．] 二、填空题
6．已知p ：不等式ax ＋b >0
的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪ x ＞－b
a
，q ：关于x 的不等式(x
－a )(x －b )<0的解集为{x |a ＜x ＜b }，若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________．
b ≤a ≤0 [∵p ∨q 为假命题，∴p ，q 均为假命题．p 假⇔a ≤0，q 假⇔a ≥b ，则b ≤a ≤0.]
7．已知命题p ：“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条抛物线”，则下列四种形式的命题：①p ；②q ；③p ∨q ；④p ∧q 中，真命题是________．
①③ [∵p 为真命题，q 为假命题，p 或q 为真，p 且q 为假， ∴①、③是真命题．]
8．已知命题p ：不等式|x －1|＞m 的解集是R ，命题q ：函数f (x )＝2－m
x 在
区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．
{m |0≤m ＜2} [若命题p 为真可得m ＜0，若命题q 为真可得m ＜2，由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假可知p ，q 只能一真一假．若p 真q 假，可得m 不存在；若p 假q 真，可得0≤m ＜2.]
三、解答题
9．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅. [解] (1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题．
10．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
[解] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，
∴－2＜a ＜2， ∴p ：－2＜a ＜2.
函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数， 则有5－2a >1，即a <2.∴q ：a ＜2.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． (1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧
－2＜a ＜2，a ≥2，此不等式组无解．
(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧
a ≤－2 或a ≥2，
a <2，
∴a ≤－2.
综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．
[能力提升练]
1．下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假的是( )
A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅
B ．p ：在△AB
C 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：y ＝sin x 在第一象限是增函数
C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R)；q ：不等式|x |＞x 的解集为(－∞，0)
D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：3≥3
C [由已知条件知命题p 与命题q 中应该有一个为真，一个为假． 选项A 中，命题p ，q 均假，排除；
选项B 中，命题p ，q 均为真，排除；
选项C 中，命题q 为真，p 为假；
选项D 中，命题p 和命题q 都为真，排除．]
2．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减，q ：函数f (x )＝x 2－
2cx －1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c 的取值范围为________．
⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1 [若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在
区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12，故0<c ≤12
.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1.]。