(3)平面力偶系讲解

Fy
A
O x y
F
q
M O ( F ) xF sin q yF cos q xFy yFx
Fx x
已知F＝1400 N, r＝60 mm, a＝20°，求力Fn对O点的矩。
例1
Ft Fn Fn
Fr
MO (F ) F h Fr cos 78.93 N m
以后常用 合力矩定理
2.3 平面力对点之矩的概念及计算
2.3.1 力对点之矩（力矩）
B MO(F) r O h F A
力 F 与点 O 位于同一平面内， 点 O 称为 矩心 ，点 O 到力的作用 线的垂直距离h称为力臂。
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为正，反之为负。
M1
C
M2
60o D B
RA = RC = R, AC = a Mi = 0
C
RC M1 (1)
A
a R - M1 = 0
M1 = a R
RA
B
取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定 , 则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。
A 60o
M1
C
M2
60o D
RD = RC = R
B
Mi = 0
二. 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变.
M O1 F , F M O1 F M O1 F F d x1 F x1 Fd
M O2 F , F F d x2 F x2 F 'd Fd
三.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M1 , M 2 , M n ; 任选一段距离d
M1 F1 d
M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
2.4.1 力偶与力偶矩
力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的 转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶 对物体的作用效应由以下两个因素决定：
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面内的转向。
平面力偶可视为代数量，以M 或M(F, F')表示， D
A
F d
B
C
F'
M Fd 2 AABC
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零.
例2-1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求：
F F3 F4
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4d M1 M 2
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 1
n
2.4.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
2.4.2 同平面内力偶的等效定理定理 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示 的符号表示力偶。M为力偶的矩。
2.4.3 平面力偶系的合成
M1 F1d1 F3d F F3 F4
M 2 F2d2 F4d
M1(F1, F'1)， M2(F2, F'2)
总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶矩为
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N B
平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶 臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正， 反之则为负。力偶的单位与力矩相同。
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩
M F d 2ABC
M
i 1
n
i
0
思考题1
刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
F1
B
A
F4
D
F2
C
F3
思考题2
从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的 力P为什么能与M平衡呢？
M
O R
FO
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm ,求工件的
60 300N 0.2
N A N B 300 N
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。
取整体为研究对象
M AC RC d 0.255RC ( N.m)
M
i
0
M AC M 0
RC 3137N
[例5]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。
或
按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
2.4.2 同平面内力偶的等效定理定理
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼 此等效。 推论： (1) 任一力偶可以在它的作用面内 任意移转，而不改变它对刚体的作 用。因此，力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶 的转向不变，可以同时改变力偶中 力的大小和力偶臂的长短，而不改 变力偶对刚体的作用。
MO (F ) Fh 2 AOAB
力矩的单位常用N· m或kN· m。
2.3.2 合力矩定理与力矩的解析表达式
(1) 合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
M O (F R ) M O (F i )
i 1
n
y
(2) 力矩的解析表达式
- 0.5a R + M2 = 0
R C
C
M2 = 0.5 a R
(2)
A 60o 60o
M2
D
联立(1)(2)两式得:M1/M2=2
RD
力偶矩的符号
M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面 内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与 力臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC？ABD ABC ABD
M FR，F 'R FR d1 2ABD
M F , F ' Fd 2ABC




=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
N AD RB m 2m 0 l sin 45 l
[例6]不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力
偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。问M1与M2的比值为 多大，结构才能平衡?
B
C
M1
A 60o 60o
M2
D
B
解: 取杆AB为研究对象画受力图。 杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光 A 60o 滑面约束，则A处约束反力的方位可定。
N AD
解：1、研究对象二力杆：AD RC N AD
RB
练习：
2、研究对象： 整体 m N AD RB l 思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
N AD
解：1、研究对象二力杆：BC
RC
RB
RB
AD杆 m
RC
N AD
2、研究对象： 整体
MO (F ) MO (F r ) MO (F t ) MO (F t ) F cos r
§2-4
一.力偶和力偶矩
平面力偶理论
1.力偶 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组 成的力系称为力偶，记作 F , F


2.4 平面力偶
2.4.1力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系， 称为力偶，记为(F, F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂， 力偶所在的平面称为力偶作用面。 力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力 偶是静力学的两个基本要素。
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
解： 1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
Rh θ arccos 30 R
FA 11.4kN
FB sin θ F FA FB cos θ P
FB 10kN
2.碾子拉过障碍物， 应有 FA 0
用几何法解得
F P tanθ=11.55kN
3. 解得 Fmin P sin θ 10kN
例2-2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图. 用几何法，画封闭力三角形.