专题--三角形中的三线(高角分线中线)
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三角形中的三线 （中线+角分线+高）
目录
1 三角形的中线问题 2 三角形的角分线问题 3 三角形的高线问题
【PART.01】
三角形的中线问题
A designer can use default text to simulate what text would look like. If it is not real text. A designer can use default text to simulate what
变式 在△ABC 中，已知 b＝acosC＋ 33csinA，点 M 是 BC 的中点．
(1) 求角 A 的大小；
【解答】因为 b＝acosC＋ 33csinA，根据正弦定理得 sinB＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以 sin(A＋C)＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以
b＝c＝
3时，中线 AM 的长度
4
42
4
取得最大值32.
【PART.02】
三角形的角分线问题
A designer can use default text to simulate what text would look like. If it is not real text. A designer can use default text to simulate what
例
在△ABC 中，asinB＝bsinA＋π3.
(1) 求角 A 的大小； 60°
(2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．
【解答】 因为 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以12AB·AC·sin∠BAC＝12AB·AD·sin∠BAD
＋12AD·AC·sin∠DAC，所以12×3×1×sinπ3＝12×3×AD×sinπ6＋12×AD×1×sinπ6，
【解答】 因为 2sin∠ACB＝ 3sin∠ABC，由正弦定理得sin∠ABACB＝sin∠ACABC ⇒ssiinn∠ ∠AABCCB＝AACB＝ 23，所以 2AB＝ 3AC.又 AB＝2 3，所以 AC＝4.
在△ABC 中，2sin∠ACB＝ 3sin∠ABC，AB＝2 3， BC 边上的中线长为 13.
M
【解答】 在△ABC 中，由余弦定理得 b2＋c2－bc＝3.因为 bc≤b2＋2 c22≤6.
又
AM
是
BC
边上
的
中线，所以
→ AM
＝A→B＋A→C，
两
边平方得|
→ AM|2
＝1(b2＋c2
＋
2
4
bc)≤1
b2＋c2＋b2＋c2 2
＝1×3×(b2＋c2)≤9，当且仅当
text would look like.
知识梳理
1. 利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2. 内角平分线定理：AACB＝DBDC.（怎么证明？） 3. 等面积法：
S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，12c·ADsinA2＋12b·ADsinA2＝12bcsinA， 得(b＋c)AD＝2bccosA2，整理得 AD＝2bbc＋cocsA2(角平分线长公式)．
sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋
33sinCsinA，所以
cosAsinC＝
3 3 sinCsinA.
因为 sinC≠0，所以 tanA＝ 3.又 0＜A＜π，所以 A＝π3.
在△ABC 中，已知 b＝acosC＋ 33csinA，点 M 是 BC 的中点．
(1) 求角 A 的大小； 60° (2) 若 a＝ 3，求中线 AM 长度的最大值．
例
在△ABC 中，asinB＝bsinA＋π3. (1) 求角 A 的大小；
【解答】 因为 asinB＝bsinA＋π3，由正弦定理得 sinAsinB＝sinBsinA＋π3. 因为 sinB≠0，所以 sinA＝sinA＋π3，所以 sinA＝12sinA＋ 23cosA，即12sinA＝ 23cosA， 所以 tanA＝ 3.因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3.
2. 向量法：A→D2＝14(b2＋c2＋2bccosA)．
推导过程：由A→D＝12(A→B＋A→C)，得A→D2＝14(A→B＋A→C)2＝14A→B2＋14A→C2＋12|A→B||A→C|·cosA， 所以A→D2＝14(b2＋c2＋2bccosA)．
在△ABC 中，2sin∠ACB＝ 3sin∠ABC，AB＝2 3， BC 边上的中线长为 13. (1) 求 AC 的值；
所以
AD＝3
3 4.
例 2 已知在平面四边形 ABCD 中，AB＝1，BD＝2，BC＝ 19，DB 为∠ADC 的平分线．
(1) 若 cosA＝14，求△BDC 的面积；
【解答】 在△ABD 中，由 cosA＝14，得 sinA＝ 415. 由正弦定理可得sBinDA＝sin∠ABADB，即si2nA＝sin∠1ADB，所以 sin∠ADB＝12sinA＝
text would look like.
知识梳理
1. 中线长定理：AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．
推导过程： 在△ADB 中，cos∠BDA＝AD2＋2ABDD·B2－D AB2， 在△ADC 中，cos∠CDA ＝AD2＋2ADDC·D2－CAC2，而 cos∠BDA+ cos∠CDA=0, 化简得 AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．
在△ABC 中，2sin∠ACB＝ 3sin∠ABC，AB＝2 3， BC 边上的中线长为 13.
(1) 求 AC 的值； AC=4
(2) 求△ABC的面积．
所以 x＝1，从而 BC＝2，所以 AC2＝BC2＋AB2，则∠ABC＝π2，所以 S△ABC＝12AB·BC ＝12×2 3×2＝2 3.
(1) 求 AC 的值； AC=4
(2) 求△ABC的面积．
【解答】 如图，记 BC 的中点为 D，则 AD＝ 13，设 BD＝CD＝x.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，即 cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，由余弦定理可得 BD2＋2AADD·B2－D AB2＋CD22＋AADD·C2－D AC2＝0，即x2＋2 1133－·x12＋x2＋2 1133－·x16＝0，
目录
1 三角形的中线问题 2 三角形的角分线问题 3 三角形的高线问题
【PART.01】
三角形的中线问题
A designer can use default text to simulate what text would look like. If it is not real text. A designer can use default text to simulate what
变式 在△ABC 中，已知 b＝acosC＋ 33csinA，点 M 是 BC 的中点．
(1) 求角 A 的大小；
【解答】因为 b＝acosC＋ 33csinA，根据正弦定理得 sinB＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以 sin(A＋C)＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以
b＝c＝
3时，中线 AM 的长度
4
42
4
取得最大值32.
【PART.02】
三角形的角分线问题
A designer can use default text to simulate what text would look like. If it is not real text. A designer can use default text to simulate what
例
在△ABC 中，asinB＝bsinA＋π3.
(1) 求角 A 的大小； 60°
(2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．
【解答】 因为 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以12AB·AC·sin∠BAC＝12AB·AD·sin∠BAD
＋12AD·AC·sin∠DAC，所以12×3×1×sinπ3＝12×3×AD×sinπ6＋12×AD×1×sinπ6，
【解答】 因为 2sin∠ACB＝ 3sin∠ABC，由正弦定理得sin∠ABACB＝sin∠ACABC ⇒ssiinn∠ ∠AABCCB＝AACB＝ 23，所以 2AB＝ 3AC.又 AB＝2 3，所以 AC＝4.
在△ABC 中，2sin∠ACB＝ 3sin∠ABC，AB＝2 3， BC 边上的中线长为 13.
M
【解答】 在△ABC 中，由余弦定理得 b2＋c2－bc＝3.因为 bc≤b2＋2 c22≤6.
又
AM
是
BC
边上
的
中线，所以
→ AM
＝A→B＋A→C，
两
边平方得|
→ AM|2
＝1(b2＋c2
＋
2
4
bc)≤1
b2＋c2＋b2＋c2 2
＝1×3×(b2＋c2)≤9，当且仅当
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知识梳理
1. 利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2. 内角平分线定理：AACB＝DBDC.（怎么证明？） 3. 等面积法：
S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，12c·ADsinA2＋12b·ADsinA2＝12bcsinA， 得(b＋c)AD＝2bccosA2，整理得 AD＝2bbc＋cocsA2(角平分线长公式)．
sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋
33sinCsinA，所以
cosAsinC＝
3 3 sinCsinA.
因为 sinC≠0，所以 tanA＝ 3.又 0＜A＜π，所以 A＝π3.
在△ABC 中，已知 b＝acosC＋ 33csinA，点 M 是 BC 的中点．
(1) 求角 A 的大小； 60° (2) 若 a＝ 3，求中线 AM 长度的最大值．
例
在△ABC 中，asinB＝bsinA＋π3. (1) 求角 A 的大小；
【解答】 因为 asinB＝bsinA＋π3，由正弦定理得 sinAsinB＝sinBsinA＋π3. 因为 sinB≠0，所以 sinA＝sinA＋π3，所以 sinA＝12sinA＋ 23cosA，即12sinA＝ 23cosA， 所以 tanA＝ 3.因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3.
2. 向量法：A→D2＝14(b2＋c2＋2bccosA)．
推导过程：由A→D＝12(A→B＋A→C)，得A→D2＝14(A→B＋A→C)2＝14A→B2＋14A→C2＋12|A→B||A→C|·cosA， 所以A→D2＝14(b2＋c2＋2bccosA)．
在△ABC 中，2sin∠ACB＝ 3sin∠ABC，AB＝2 3， BC 边上的中线长为 13. (1) 求 AC 的值；
所以
AD＝3
3 4.
例 2 已知在平面四边形 ABCD 中，AB＝1，BD＝2，BC＝ 19，DB 为∠ADC 的平分线．
(1) 若 cosA＝14，求△BDC 的面积；
【解答】 在△ABD 中，由 cosA＝14，得 sinA＝ 415. 由正弦定理可得sBinDA＝sin∠ABADB，即si2nA＝sin∠1ADB，所以 sin∠ADB＝12sinA＝
text would look like.
知识梳理
1. 中线长定理：AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．
推导过程： 在△ADB 中，cos∠BDA＝AD2＋2ABDD·B2－D AB2， 在△ADC 中，cos∠CDA ＝AD2＋2ADDC·D2－CAC2，而 cos∠BDA+ cos∠CDA=0, 化简得 AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．
在△ABC 中，2sin∠ACB＝ 3sin∠ABC，AB＝2 3， BC 边上的中线长为 13.
(1) 求 AC 的值； AC=4
(2) 求△ABC的面积．
所以 x＝1，从而 BC＝2，所以 AC2＝BC2＋AB2，则∠ABC＝π2，所以 S△ABC＝12AB·BC ＝12×2 3×2＝2 3.
(1) 求 AC 的值； AC=4
(2) 求△ABC的面积．
【解答】 如图，记 BC 的中点为 D，则 AD＝ 13，设 BD＝CD＝x.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，即 cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，由余弦定理可得 BD2＋2AADD·B2－D AB2＋CD22＋AADD·C2－D AC2＝0，即x2＋2 1133－·x12＋x2＋2 1133－·x16＝0，