2021高三数学北师大版(文)一轮教师用书：第2章 第9节 函数与方程

第九节函数与方程
[最新考纲]结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
(对应学生用书第33页)
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系
Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点
零点个数210
[常用结论]
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．()
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.
()
(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)√
二、教材改编
1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 123456
y 124.433－7424.5－36.7－123.6
则函数y
A．2个B．3个
C．4个D．5个
B[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]
2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是()
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
C[由题意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，
f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，
∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]
3．函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是________．
1[由已知得f′(x)＝e x＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1
e－3＜0，
f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点．]
4．函数f(x )＝x
1
2
－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
x
的零点个数为________．
1[作函数y1＝x
1
2
和y2＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
x
的图像如图所示．
由图像知函数f(x)有1个零点．]
(对应学生用书第33页)
⊙考点1函数零点所在区间的判定
判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程；
(2)零点存在性定理；
(3)数形结合法，画出相应函数图像，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断．
1.函数f(x)＝ln x－
2
x2的零点所在的区间为()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B[由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln 2－
1
2＝ln 2－ln e＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]
2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；
又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.]
3．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2
，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝________. 5 [∵f ′(x )＝1x ＋2＞0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52＝ln 52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，∴f (x )的零点在⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，3内，则整数k ＝5.] (1)f (a )·f (b )＜0是连续函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要
条件．
(2)若函数f (x )在[a ，b ]上是单调函数，且f (x )的图像连续不断，则f (a )·f (b )＜0⇒函数f (x )在区间[a ，b ]上只有一个零点．
⊙考点2 函数零点个数的判断
求函数零点个数的基本解法
(1)直接法，令f (x )＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点；
(2)定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图像法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数．
(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧
ln x －x 2＋2x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0
的零点个数为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 (3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(1)B (2)D (3)C [(1)由f (x )＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·(1－cos x )＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，
又∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.
(2)依题意，在考虑x ＞0时可以画出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图像(如图)，可知两个函数的图像有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，综上，函数f (x )有3个零点．故选D.
(3)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点．
当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3，分别
画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图像，如图所示，两函数图像
有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．
根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有1个零点．综
上所述，f (x )的零点个数为3.]
(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图像在区间[a ，b ]
上是连续不断的曲线，且f (a )·
f (b )＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(2)图像法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图像．在画函数的图像时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．
1.函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 B [令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，
可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x . 设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x . 在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.]
2．已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧
－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．
3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得⎩⎨⎧ b ＝－4，c ＝－2.
由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，
该方程等价于⎩
⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0， ① 或⎩⎨⎧ x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0. ②
解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]
⊙考点3 函数零点的应用
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解．
根据函数零点个数求参数
已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互
异的实数根，则实数a 的取值范围是________．
(0,1)∪(9，＋∞) [设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图像如图所示．
由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价
于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图像有4个不同的交点且
4个交点的横坐标都小于1，
所以⎩⎨⎧
y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )
有两组不同解， 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a )2－4a ＞0，即a 2－10a ＋9＞0，
解得a ＜1或a ＞9.
又由图像得a ＞0，∴0＜a ＜1或a ＞9.]
由函数的零点个数求参数的值或范围的策略
已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图像的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
根据函数有无零点求参数
已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 0，x ≤0，e x ，x ＞0，
则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是________．
(－∞，0]∪(1，＋∞) [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的
根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧ x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0
的大致图像(图略)． 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]
函数有无零点问题⇔函数图像与x 轴有无公共点问题．
根据零点的范围求参数
若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和
区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12[依题意，结合函数f (x )的图像分析可知m 需满足⎩⎨⎧ m ≠2，f (－1)·f (0)＜0，f (1)·f (2)＜0，
即⎩⎨⎧ m ≠2，
[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)＜0，
[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]＜0，
解得14＜m ＜12.] 此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．
1.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范
围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2)
C [因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C.]
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－1，x ＜1，log 12
x ，x ≥1，若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实
根，则实数k 的取值范围是________．
(－1,0) [关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数y 1＝f (x )与函数y 2＝k 的图像有三个不同的交点，作
出函数的图像如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)．]。