高考数学选择题临考押题训练 13 试题

2021届高考数学选择题临考押题训练〔13〕
1．在空间，以下命题正确的选项是 ( ) A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的
两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；
D项，正确．
答案：D
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，那么以下命题正确的选项是( ) A．假设l⊥m，m⊂α，那么l⊥α B．假设l⊥α，l∥m，那么m ⊥α
C．假设l∥α，m⊂α，那么l∥m D．假设l∥α，m∥α，那么l ∥m
解析：选项A，由一条直线垂直于一个平面内的一条直线得不到这条直线垂直于这个平面；选项B，两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个
平面；选项C，一条直线平行于一个平面，得不到这条直线平行于这个平面内任意一条直线；选项D，两条直线同时平行于同一平面，这两条直线可能平行、相交或者
异面．应选B.
答案：B
3．如图，在四面体ABCD中，假设截面PQMN是正方形，那么在以下命题中，错误的为 ( ) A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：∵截面PQMN为正方形，
∴PQ∥MN，∴PQ∥平面DAC.
又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故有选
项A、B、D正确，C错误．
答案：C
4．如下图，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的间隔等于线段BC的长．其中真命题的个数为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0
解析：PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC
又BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC；
∵OM∥PA，∴OM∥平面PAC；∵BC⊥平面PAC，
∴BC是点B到平面PAC的间隔，故①、②、③都正确．
答案：A
5．有四根长都为2的直铁条，假设再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁
条端点处相连可以焊接成一个三棱锥形的铁架，那么a 的取值范围是 ( ) A ．(0，6＋2) B ．(1,22) C ．(6－2，6＋2) D ．(0,22) 解析：构成如下图的两种三棱锥，
图(1)中有AC ＝BD ＝a ，取AC 中点E ， ∵AB ＝BC ＝2，那么BE ⊥AC ， ∴BE ＝
4－a 2
4
，易得DE ＝BE ，在△BDE 中由三边关系可得2
4－a 2
4
>a ，解得
0<a <22；
图(2)取BD 中点F ，∵AB ＝AD ＝a ， ∴AF ⊥BD ，
AF ＝a 2－1，∵BC ＝CD ＝BD ＝2，
∴CF ＝3，
在△AFC 中由三边关系可得
2－3<a 2
－1<2＋3，解得6－2<a <6＋2； 综上a 的取值范围为(0，6＋2)，应选A. 答案：A
6．如图，△ABC 为正三角形，AA ′ ∥BB ′∥CC ′，
CC ′⊥平面ABC 且3AA ′＝32
BB ′＝CC ′＝AB ，那么多面体 ABC －A ′B ′C ′的正视图(也称主视图)是 ( )
解析：根据三视图的定义，几何体的主视图是几何体在它的正前方的竖直平面上的 正投影，应选D. 答案：D
7．(2021年四校联考)假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是 ( )
A.13
B.2
3
C ．1
D ．2 解析：由几何体的三视图知几何体是底面为以1和2为直角边的直角三角形，高为 2的直三棱柱，∴V ＝1
2×1×2×2＝1，应选C.
答案：C
8．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，那么该四面体的体积的最大值为 ( ) A.
38a 3 B.2
8
a 3 C.18a 3 D.112a 3 解析：方法一：
设三棱锥另一棱长BC ＝x ，
如右图，取BC 的中点E ，连结AE 、DE ，易证BC 垂直于平面ADE ，
故V A －BCD ＝13S △ADE ·BE ＋13S △ADE ·EC ＝13S △ADE ·BC ＝13·12·a ·3a 2
－x
2
2x
＝
a
12
x
2
3a 2－x
2
≤a 12
·
x 2＋3a 2－x 2
2
＝a 3
8
， 当且仅当x 2＝(3a 2
－x 2
)⇒x ＝
6
2
a 时获得等号． 方法二：如上图，底ABD 是固定的，当C 动起来时，显然当平面CAD ⊥平面ABD 时高最大，体积最大， V max ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2·32a ＝a 3
8.
答案：C
9．如右图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，那么该多面体的体积为 ( ) A.
23 B.32 C.43 D.32
解析：如右图，分别过点A 、B 作EF 的垂线，垂足分别为G 、H ，连结DG 、CH ， 容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，
∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝2
4
，
∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝13×24×12＋13×24×12＋24×1＝2
3.应选A.
答案：A
10．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，假设AB ＝CD ＝2，那么四
面体ABCD 的体积的最大值为 ( )
A.
233 B.433 C ．2 3 D.83
3
解析：解法一：设AB ＝a ，CD ＝b ，异面直线AB 与CD 所成角为θ，间隔 为h ，将 △BCD 补成平行四边形BCDE ，那么BE ＝b ，∠ABE ＝θ，
∴V A －BCD ＝V A －BDE ＝V D －ABE ＝13×12ab sin θ·h ＝16
abh sin θ，由题意知a ＝b ＝2，分别以
AB 、CD 为直径作两个互相平行的圆面，那么h ＝23，∴V A －BCD ＝1
6
×2×2×23sin θ
＝
433sin θ≤43
3
，当θ＝90°时取等号．
解法二：分别以AB 、CD 为直径作两个互相平行的圆面，将四面体ABCD 放入长方 体中，如图，设长方体的底面边长为a 、b ，那么V A －BCD ＝13V 长方体＝13ab ×23＝23
3ab ，
又由a 2＋b 2
＝4≥2ab 得ab ≤2，那么V A －BCD ≤433
，应选B.
解法三：过CD 作平面PCD ，使AB ⊥面PCD ，交AB 于P ，设点P 到CD 的间隔 为
h ，那么有V A －BCD ＝13×2×12×2×h ＝23
h ，当球直径通过AB 与CD 的中点时h 最大，
h max ＝222－12＝23，故V max ＝
43
3
. 答案：B。