2019年高考理科数学模拟卷4含答案

2019年高考模拟卷 理科 数 学（四）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}
220A x x x =--<，{}2log 0B x x =<，则A B =（ ）
A ．()1,2-
B ．()0,1
C ．(),2-∞
D ．()1,1-
2．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A ．
14
B ．13
C ．
25
D ．
12
3．欧拉公式i e cos isin θθθ=+(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当πθ=时，就有i πe 10+=．根据上述背景知识试判断
2018πi
3
e
-表示的复数在复平面对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，590S =，则等差数列{}n a 的公差d =（） A ．2
B ．
3
2
C ．3
D ．4
5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()
0.633log 132f f f -<-< B ．()()
()0.6332log 13f f f -<<- C ．()
()()0.632log 133f f f <-<-
D ．()
()()0.6323log 13f f f <-<
6．(
)
8
3
4
132x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭展开式中2x 的系数为（ ）
A ．1280-
B ．4864
C ．4864-
D ．1280
7．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体外接球的体积是（）
A ．
B C D ．
8．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（）
A ．3k ≤
B ．4k ≤
C ．5k ≤
D ．6k ≤
9．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π
2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
，其相邻一条对称轴方程为7π
12
x =
，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移π
6
个单位长度 B ．向左平移π
12
个单位长度 C ．向左平移
π
6
个单位长度 D ．向右平移
π
12
个单位长度 10．已知抛物线()220y px p =>上一点()5,t 到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线与圆
()2261x y -+=上的动点，则PQ
的最小值为（）
A
1
B
．2-
C
．D
．1
11．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（） A ．e
B
C ．
1e
D ．1
12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，，
则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（） A ．3972 B ．3974
C ．3991
D ．3993
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．平面向量a 与b 的夹角为
π
2
，1=a ，1=b ，则32-=a b _______． 14．已知x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪
⎨⎪⎩
，则2z x y =-的最小值为_______．
15．已知F 为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，
()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．
16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，
PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且4AP AC ==，过A 点分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连接EF ，则三棱锥P AEF -的体积的最大值为__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（12分）已知在ABC
△中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的
中点，ABC
△的面积为
2
3sin
AD
B
．
（1）求sin sin
BAD BDA
∠⋅∠的值；
（2）若6
BC AB
=，AD=b．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥底面ABCD，2
AB BC CD DA
====，1
PA=，120
BAD
∠=︒，E为BC的中点．
（1）求证：AE⊥平面PAD；
（2）若点F在线段CD上，且满足
1
3
DF DC
=，求直线AF与平面PEF所成角的正弦值．
19．（12分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和2⎭
都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．
21．（12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =+
+∈R ，()23
e 2
x g x x x =+-．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点． 如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩
（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；
（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫
⎪⎝⎭
，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()11f x x ax =-++．
（1）1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．
理科数学答案（四）
一、选择题． 1．【答案】A
【解析】解不等式220x x --<，得12x -<<，即()1,2A =-， 由2log 0x <，得01x <<，即()0,1B =，所以()1,2A B =-，故选A ．
2．【答案】B
【解析】设小三角形的直角边长度为1
则小三角形的面积和为141122⨯⨯⨯=，大三角形的面积和为1
442
⨯=，
则飞镖落在阴影部分的概率为21
243
=+，故选B ． 3．【答案】C
【解析】由题意，2018πi 3
2018π2018π2π2π1e
cos isin cos
isin 33332-⎛⎫⎛⎫
=-+-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
则2018π
i
3
e
-表示的复数在复平面对应的点为1,2⎛- ⎝⎭
，位于第三象限，故答案为C ．
4．【答案】C
【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，590S =， 所以5154
56010902
S a d d ⨯=+=+=，解得3d =，故选C ． 5．【答案】C
【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，
()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，
又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()
()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ． 6．【答案】A
【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出33x 项，第二个括号里出
1
x
项，或者第一个括号里出4
x ，第二个括号里出21
x
，具体为()
23
174
2688C C 11322x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣
⎦，
化简得到21280x -，故答案为A ． 7．【答案】D
【解析】由几何体正视图、侧视图均是边长为2的正方形，结合俯视图可得此几何体是棱长为2的正方体的一部分，如图，四棱锥E ABCD -，
所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径等于正方体的体对角线长，
即2R =R =
此几何体的外接球的体积34π
3
V R =⨯=，故选D ． 8．【答案】C
【解析】当0S =，1k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，1S =，2k =， 当1S =，2k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，6S =，3k =， 当6S =，3k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，21S =，4k =， 当21S =，4k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，58S =，5k =， 当58S =，5k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，141S =，6k =， 此时，由题意，满足输出条件，输出的数据为141， 故判断框中应填入的条件为5k ≤，故答案为C ． 9．【答案】B
【解析】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π
2ϕ<
)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭
，可得1A =，12π7π41π
23ω⋅
=-，解得2ω=． 再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅
+=，可得π3
ϕ=， 可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π
12个单位长度，
可得sin 2cos236ππy x x ⎛
⎫=++= ⎪⎝
⎭的图象，故选B ．
10．【答案】D
【解析】由抛物线()2:20C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2
p
x =-， 则点()5,t 到焦点的距离为562
p d =+
=，则2p =，所以抛物线方程2
4y x =， 设(),P x y ，圆()2
2:61M x y -+=，圆心为()6,0，半径为1， 则
PM ，
当4x =
时，PQ
11=，故选D ． 11．【答案】A
【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为12
12
ln ln x x x x <， 故()ln x
f x x =
在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x
>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ． 12．【答案】D
【解析】第1次染色的数为111=⨯，共染色1个， 第2次染色的最后一个数为623=⨯，共染色3个， 第3次染色的最后一个数为1535=⨯，共染色5个， 第4次染色的最后一个数为2847=⨯，共染色7个， 第5次染色的最后一个数为4559=⨯，共染色9个， ，
∴第n 次染色的最后一个数为()21n n ⨯-，共染色21n -个， 经过n 次染色后被染色的数共有()213521n n ++++-=个，
而201945456=⨯-，
∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为4589⨯， 且相邻两个数相差2，∴第2019的数为4589123993⨯-=．故选D ．
二、填空题． 13．【答案
【解析】因为平面向量a 与b 的夹角为
π
2
，所以0⋅=a b ，
所以32-=a b
14．【答案】
3
2
【解析】x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪
⎨⎪⎩
，画出可行域如图所示．
目标函数2z x y =-，即2y x z =-．平移直线2y x z =-，截距最大时即为所求． 21010
y x y +=--=⎧⎨
⎩，点11,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭， z 在点A 处有最小值1132222z =⨯+=，故答案为3
2
．
15．【答案
1
【解析】因为F 为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点，所以(),0F c -，
又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b b
k a a
-==--， 所以可得直线l 的方程为()a
y x c b
=
+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以
22b a a c b ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，整理得222b a ac =+， 又222b c a =-，所以22220c ac a --=，
故2220e e --=
，解得1e =1e >
，所以1e =
故答案为1e =+
16．【答案 【解析】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥， 又AB BC ⊥，且PA
AB A =，∴BC ⊥平面PAB ，则BC AE ⊥，
又PB AE ⊥，则AE ⊥平面PBC ，
于是AE EF ⊥，且AE PC ⊥，结合条件AF PC ⊥，得PC ⊥平面AEF ，
∴AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得AF = 而()
22211
224
AEF S AE EF AE EF AF ⨯⨯==≤+=△，
当且仅当2AE EF ==时，取“=”，此时AEF △的面积最大，
三棱锥P AEF -的体积的最大值为11233AEF P AEF PF S V ⨯⨯=⨯=
=△﹣．
．
三、解答题．
17．【答案】（1）
1
3
；（2． 【解析】（1）由ABC △的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD △的面积为2
6sin AD B ，
由三角形的面积公式可知2
1sin 26sin AD AB BD B B
⋅⋅=，
由正弦定理可得3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1
sin sin 3
BAD BDA ∠⋅∠=．
（2）6BC AB =，又因为D 为BC 的中点，所以26BC BD AB ==，即3BD AB =， 在ABD △中，由正弦定理可得
sin sin BD AB
BAD BDA
=
∠∠，所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠， 由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=，所以1
sin 3
BDA ∠=，sin 1BAD ∠=，
()0,πBAD ∠∈，2
πBAD ∴∠=
，
在直角ABD △中AD =1
sin 3BDA ∠=，所以1AB =，3BD =．
2BC BD =，6BC ∴=，
在ABC △中用余弦定理，可得2221
2cos 136216333
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=．
18．【答案】（1）详见解析；（2
． 【解析】（1）如图，连接AC ．
由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．
又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PA
AD A =，∴AE ⊥平面PAD ．
（2）由（1）知PA ，AE ，AD 两两垂直，因此以A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则()0,0,0A
，)E
，)
C
，()0,2,0D ，()0,0,1P ．
∵1
3DF DC =
，∴5,03F ⎫⎪⎪⎝⎭
，∴5,03EF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，易知()
EP =-， 设(),,x y z =n 为平面PEF 的一个法向量，则由00
EF EP ⎧⎪
⎨⎪⎩⋅=⋅=n n
，得5
03
0y z +=+=⎧⎪⎨⎪⎩， 取1x =
，得⎛= ⎝n ． 又∵35,033AF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，∴cos ,4AF AF AF ⋅〈==〉
=n n n 故直线AF 与平面PEF
19．【答案】（1）17
100
；（2）详见解析；（3）
2200．
【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[)30,50且未使用自由购的共有31417
+=
人，
所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率为17
100
P =． （2）X 所有的可能取值为1，2，3， ()1242
36
C C 115C P X ==
=；()214236C C 325C P X ===；()30
42
3
6
C C 135C P X ===． 所以X 的分布列为
所以X 的数学期望为131
1232555
EX =⨯+⨯+⨯=．
（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为
44
50002200100
⨯=． 20．【答案】（1）2214x y +=；（2）0k ≥
或4
3
k ≤-
．
【解析】（1）由题设知222a b c =+，c
e a
=．
由点()1,e 在椭圆上，得2
22211c a a b
+=，解得21b =，
又点⎭
在椭圆上，2221
12a b ∴+=． 即21112a
+=，解得2
4a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．
（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由22
1
4
y kx
x y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得2
2414x k =+， 120x x ∴+=，122
4
14x x k
=-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， 设()00,P x y ，则0022y kx k =+-， 依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，0102
0102
1y y y y x x x x --∴
⋅=---，
即()()22
0120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，
220012120y x y y x x ∴+++=，
()
()()(
)22
22002
4114422014k k x k k x k k +∴++-+--
=+有解，
()
(
)
()(
)2
2
2
2
2
2411624142014k Δk
k k
k k ⎡⎤
+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣
⎦
，
化简得2340k k +≥，0k ∴≥或4
3
k ≤-．
21．【答案】（1）见解析；（2）[)e 1,++∞．
【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x '++=>，
对于函数210y x ax =++≥，
①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．
()21
0x ax f x x ++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数；
②当0Δ>，即2a <-或2a >时，
当2a <-时，由()0f x '>
，得x <
x >
，
0<<，
()f x ∴
在⎛ ⎝⎭
为增函数，⎝⎭减函数，
⎫
⎪+∞⎪⎝⎭
为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x
++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．
综上，当2a <-时，()f x
在⎛ ⎝⎭
为增函数，⎝⎭减函
数，⎫
⎪+∞⎪⎝⎭
为增函数；
当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．
（2）()()()()22213
ln e ln e 022
x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，
()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2
ln e x x x a x -+=有解，
令()()2n 0e l x x x
h x x x
+-=>，()()()()
()
()2
2
11ln 1ln 11e e x
x
x x x
x x x x h x x
x
++-+-+++-=
'=
，
令()0h x '=，得1x =，
当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，
()()1e 1h x h ∴≥=+，
当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1
）12⎛ ⎝⎭
，1,2⎛ ⎝⎭
；（2
）2． 【解析】（1）2211:C x y +=，22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．
联立方程组得22221
2x y x y x
⎧+=+=⎪⎨⎪⎩
，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩
2212x y ⎧
⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，
∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭
，1,2⎛ ⎝⎭
． （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．
∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=
⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2cos 26πθ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
∴当11π
12
θ=
时，max 2S =+
23．【答案】（1）3
322x x x ⎧⎫
≤-≥
⎨⎬⎩⎭
或；（2）[]1,1-． 【解析】（1）1a =，()2,1
112,
112,1
x x f x x x x x x ≥⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩
， ()3f x ≥，则32x ≤-或3
2x ≥，不等式的解集为3322x x x ⎧⎫≤-≥
⎨⎬⎩
⎭
或． （2）()3f x x ≤-的解集包含[]1,1-，即为()3f x x ≤-在[]1,1-上恒成立．
[]1,1x ∈-，()1111f x x ax x ax =-++=-++．
故()3f x x ≤-，即为113x ax x -++≤-，即12ax +≤． 所以212ax -≤+≤，31ax -≤≤，
又因为[]1,1x ∈-，()311
311a a -≤-⋅≤-≤⋅≤⎧⎪⎨⎪⎩
，则[]1,1a ∈-．。