浙江省台州温岭市第三中学九年级数学 26.1 二次函数(2) 课件 浙教版

这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
10
⑤ y=4x2.⑥ y=-x2;
(1)其中开口向上的有_①__②__⑤__(填题号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是___④_____(填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，
然后渐变小的有________(填题号).
②④⑥
2．函数y=x2的顶点坐标为 (0,0) ．若点（a，4）
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
抛物线
y=x2
y= -x2
顶点坐标 对称轴
（0，0） y轴
（0，0） y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的 在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小. 在对称轴的右 增大而增大. 在对称轴的右 侧, y随着x的增大而增大. 侧, y随着x的增大而减小.
（3)当x<0时,随着x的值增大-4,y 的值如何变化？当x>0呢？
（知道4)当的x？取什么值时,y的值最-6小?最小值是什么？你是如何
-8 y=-x2
（5)图象是轴对称图形吗？-如10 果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流.
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
当x= 5
在学中做—在做中 学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
驶向胜利 的彼岸
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的 y x2 增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大. 当x=0时，函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小, 当x=0时,函数y的值最大.
y x2
结束寄语
下课了!
• 只有不断的思考,才会有新的发现;只有 量的变化,才会有质的进步.
6、已知a≠0,b<0，一次函数是y=ax+b，二次函数是 y=ax2，则下面图中，可以成立的是（ ）
小结 拓展 回味无穷
驶向胜利
由二次函数y=x2和y=-x2知： 的彼岸
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开 口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开 口向下,并且向下无限伸展.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
做一做 8
函数y=ax2y(a≠0)的图看象图和说性话质y : 0
y=x2
驶向胜利 的彼岸
x
它们之 间有何 关系？
?
0
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
根据图形填表：
y x2
y=ax2的图象和性质
1、一次函数y=kx+b的图象是一条直线,
2、反比例函数y= k 的图象是 双曲线 。 x
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应 的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在同一坐标系中作出函数y=1/2x2、 y=x2和y=2x2的图象
结论：a>0 a越大，开口越小
在同一坐标系中作出函数y=-1/2x2、 y=-x2和y=-2x2的图象
结论：a<0 a越大，开口越大
y x2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, 对称轴是y轴.
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 原点 对称，也可以认 为y=－x2，是函数y=x2的图象绕原点 旋转180°得到．
4．点A（1，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= 1 ；点A 关于y轴的对称点B是 (-1,1) ，它在函数 y=x2 上； 点A关于原点的对称点C是(-1,-1)，它在函数 y=-x2上．
例题欣赏 10
5.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
y x2
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它 的开口向上,a越大，开口越小，并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下, a越大，开口越大，并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
你能根据表格中的数据作出猜想
吗？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
做一做 7
观察图象,回答问题串
y 2
驶向胜利 的彼岸
0
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. （2)图象-4与x轴-3 有-交2 点吗-1 ？--如21 果有1 ,交2点坐3标是4什么x?
3 左侧,y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧,y随着x
的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0 ,
当x 0时,y<0.
2、已知a＜-1，点(a－1,y1)、(a,y2)、(a＋1,y3)都在函
数y=x2的图象上，则（ C）
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
轴是什么?请你找出几对6 对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗4？如果有,交点坐标是什 么?
(4)当x<0时,随着x的值2增大,y 的值如何变化？
当x>0呢？
1
(5)当-x4取什-3么值-2 时-,1y的-02值最1 小?2最小3值是4 什x么？ 你是如何知道的？
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
x … -3 -2 -1 0
y=x2 … 9 4 1 0
描点,连线 y 10
1 2 3… 1 4 9…
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
议一议 4
观察图象,回答问题串
y
驶向胜利
y=x2 的彼岸
10
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
8
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称
（2）因为 4 2(1)2 ,所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
?
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与( 3,6)
1.填空：已知二次函数
① y= 3 x 2 ;② y=15x2;③ 5
9
y=-4x2;④y=- x2;
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
1.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴 是 y轴 ,在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在
对称轴的左 侧,y随着x的增大而减小,当x= 0 时,函 数y的值最小,最小值是 0 ,抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外). (2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的
在其图象上，则a的值是 ±2 ． 3．若点A(3，m)是抛物线y=-x2上一点，则m= -9.
4．若a＞1，点(-a-1，y1)、(a，y2）、(a＋1，y3）都 在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
5、已知抛物线y＝ax2经过点.( 2, 3) 2
①求抛物线的关系式； ②求抛物线上纵坐标等于3的点的坐标，并通过观察 函数图象回答，当x在什么范围内，y＜3？