专题22 相似三角形(归纳与讲解)(解析版)

专题22 相似三角形
【专题目录】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件 技巧2：巧作平行线构造相似三角形 技巧3：证比例式或等积式的技巧 (1)基本性质：a b ＝
c
d ad ＝bc ； (2)合比性质：a b ＝
c
d
a ＋
b b ＝
c ＋d
d
；
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件2．相交线型．
3．子母型．
4．旋转型．
1
2与
3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF
.
【类型】四、旋转型
4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.
求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE
.
参考答案
1．(1)证明：∵ED∥BC，
∵ED ∥BC，∴∠DE B ＝∠EBC.
h△BDE表示△BDE中DE边上的高，
∵DE＝6，∴BC＝10.
2．解：相似．理由如下：因为EO
BO＝
DO
CO，∠BO E＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，
△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.
3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，
∴∠BAC＝∠A DB＝90°.
又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)， ∴△ABC ∽△DBA. ∴AB AC ＝DB
DA
，∠BAD ＝∠C. ∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点， ∴DE ＝EC.
∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C. ∴∠BDF ＝∠BAD. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△DBF ∽△ADF. ∴
DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF
.
(第3题)
点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB ＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC. 4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，
∴∠DAE ＝∠BAC.
又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC. (2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB
AC
.
∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD
CE .
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.
【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF AF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD
并延长交BC 于点E ，求BE
EC
的值．
【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形
3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD
EC
.
【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1
4AB ，连接EM 并延长
交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.
参考答案
1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点，
∴BE ＝EF ＝FC.
∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD. ∴DF 是△ACE 的中位线． ∴DF ∥AE ，且DF ＝1
2AE.
∴DF ∥PE. ∴∠BEP ＝∠BFD. 又∵∠EBP 为公共角，
∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BP
BD
.
∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE. ∵DF ∥AE ，
∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ. ∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP
DF .
设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a. ∴PQ QD ＝AP DF ＝3 2.
∴BP PQ QD ＝5
3 2.
2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.
∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G. 又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.
在△ADF 和△GDC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠DAF ＝∠G ，∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，
∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG. ∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5
2.
∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE. ∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝5
2
.
3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，
∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD. ∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD
CF
.
∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.
∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF. ∴BP CP ＝BD EC
. 4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，
又∵∠AME ＝∠CM F ， ∴AE BE ＝CD BD ＝1
3，即BD ＝3CD. 又∵BD ＝BC ＋CD ， ∴BC ＝2CD.
(第4题②)
(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ， ∴AE AF ＝AM AC
. 又∵点M 为AC 边的中点， ∴AC ＝2AM. ∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF. ∴BC ＝2CD.
由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ， EF MF
∴EF ＝1
2CD.
∴BC ＝2CD.
(第4题④)
(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ， ∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B. ∴△AEF ∽△BED. ∴AE BE ＝AF BD . ∵AE ＝1
4
AB ，
＝1BE.＝1
BD.
1
2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，
3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.
求证：DC AE ＝CF AD
.
4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于
E.
求证：AM2＝MD·ME.
【类型】三、构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
【类型】四、等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
【类型】五、两次相似法
8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.
求证：BF BE ＝AB
BC
.
9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：
10
11BP
12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.
求证：PD 2＝PB·PC.
参考答案
1
2而解决问题．
3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴A E ∥D C ，∠A ＝∠C. ∴∠CDF ＝∠E.
∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CF
AD .
4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.
∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴BM＝AM.
∴∠B＝∠BAM.
∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.
5
6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，
∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.
又∵∠EDF＝∠DBE，
∴△DEF∽△BDE.
(2)由△DEF∽△BDE得DE
BD＝
EF
DE.即DE
2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝
∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.
∴DG DE ＝DE
DF .即DE 2＝DG·DF. ∴DG·DF ＝DB·EF.
7．证明：∴BG∴AP ，PE∴AB ，
∴∴AEP ＝∴DEB ＝∴AGB ＝90°. ∴∴P ＋∴PAB ＝90°， ∴PAB ＋∴AB G ＝90°.
89．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D.
∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ， ∴∠AMB ＝∠AND ＝90°. ∴△AMB ∽△AND.
(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD ，∠BAM ＝∠DAN.
又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB
BC .
∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，
∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.
∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN. ∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC .
10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，
∴∠ADB ＝∠AED ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠DAE ，
11
12．证明：如图，连接PA ，
∵EP 是AD 的垂直平分线， ∴PA ＝PD.
∴∠PD A ＝∠PAD.
∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP. 又∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP. 又∵∠APC ＝∠BPA ， ∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PC
PA .
A 3
243
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C
【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE∴BC 得
AD AE
DB EC
=，然后利用比例性质求EC 和AE
的值即可
【详解】∴//DE BC ， ∴
AD AE DB EC =，即932
AE
=， ∴6AE =，
∴628AC AE EC =+=+=． 故选C ．
例（
A A
B AC
AB BC
A B C D 例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）
A．30B．25C．22．5D．20
【答案】D
：
S
∆
例
得
m
A
【解析】
∴∴ABE=∴DCE, ∴AEB=∴CED,
∴∴ABE∴∴DCE,
∴AB BE CD CE
=.
∴BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴()9060
12045
AB m ⨯== 故选A.
【物高问题】
【题型】六、位似图形的概念与性质
例6、如图，∴ABC 与∴DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∴OD =1∴2，则∴ABC 与∴DEF 的面积比为（ ）
A 8
A ．20cm
B ．10cm
C ．8cm
D ．3.2cm
【答案】A
【提示】
根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解. 【详解】
解：设投影三角尺的对应边长为xcm , ∴三角尺与投影三角尺相似, ∴8：x ＝2：5, 12
BD ADE 与ABC 的周长之比为（
A ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成∴∴∴ABC ADE ∽， ∴∴AD ：A
B =1：3， ∴13ADE AB
C C C ∆∆=：：
， 即ADE 与ABC 的周长比为1：3． 故选：D ．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．
2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（ ）
A AD
B ，△∴FEB ，△A ∠=∠∴ADB ， ABD =∠，
又90AEC BEC =∠=∴FEB ，
ACE =∠，∴FDC △，【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3ABC 中，D 、A ∴∴ADE ∴∴ABC ，
∴∴ADE 与∴ABC 的周长之比为1：2，
∴∴ADE 与∴ABC 的面积之比为1：4，即1
4
．
故选：B ．
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似
比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．
4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定∴ABC 与∴DBA 相似的是（ ）
ABC ∴DBA ，故选项ABC ∴DBA ，故选项B 不符合题意；ACB 与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项B B ∠=∠，ABC ∴DBA ，故选项【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
ABC ∴A B C '''，是它们的对应角平分线，若的面积比是（ ）3 B ．C ．3【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质：【详解】
ABC ∴A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，8AD =，12A D ''=，
∴两三角形的相似比为： :8:122:3AD A D '=='，
则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9． 故选：B
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
二、填空题
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB ＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．
7．如图所示，要使ABC ADE
～，需要添加一个条件
∠=∠
【答案】ADE B
【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC与ADE相似，依据是：两角对应相等的
两个三角形相似．
【详解】解：添加ADE B
∠=∠，
A A
∠=∠
ABC ADE
∴～
故答案为：ADE B
∠=∠．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．
8
(1)
(2)
(2)
（
（
（2）
解：∴∴ADE∴∴ABC，
∴AD DE
AB BC
=，
24
3BC
=，
∴BC=6．
【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
相似三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD 中，点E 在AD 边上，EF ∴CD ，交对角线BD 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）
DE DF
EF DF
EF DF
EF DF
【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，
则CG 的长度为多少？（ ）
A．7B．8C．9D．10
，解：
∴
3
A．B．4C D．2
【答案】B
【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．
【详解】解：过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ACO ODB ∠=∠=︒，
90B BOD ∠+∠=︒，
A 的坐标是AC ＝1，122DB
=，即:B 的纵坐标是故选：B ． 4的
A ．
AD AF
BD EF
= B ．
AF DF
AE EB
= C ．
=AD AE
AB AC
D ．
C
AF FE DE
B = 【答案】D
∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【分析】根据DF BE
∥，DE BC
【详解】解：DF BE
∥，
AD AF
∴=，
BD EF
故A选项比例式正确，不符合题意；
DF BE
∥，
∴△∽△，
ADF ABE
5
【答案】9
x，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加【分析】设地面影长对应的树高为m
上墙上的影长CD即为树的高度．
x，
【详解】解：设地面影长对应的树高为m
由题意得，
140.5
x =， 解得8x =，
墙上的影子CD 长为1m ， ∴树的高度为()819m +=．
故答案为：9．
【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．
6
16AD BC ，
FCG ，
2， CFG 的面积之比AD BC ，
:(2)2:5x a a x ∴+-=，
6
7
x a ∴=，
68
,77
AE a EG a ∴=
=， :3:4AE EG =，
∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3，
∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7．
故答案为：16:7．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形的面积比等于相似比的平方等性质，是解此题的关键．
三、解答题
7，H
(1)(2)(2)
，证出ADK FGK ，得出比例式求出（）由正方形的性质求出出AM =4，FM =2，∴AMF 12CH AF =
，根据勾股定理求出（）
解：∴四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，
∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∴G =90°，
∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，
∴ADK FGK ，
∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，
∴3342
GK DG ==，
∴
3
1
2
tan
32
GK
GFK
FG
∠===；
（2）
解：∴正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∴E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则
∴
∴
∴
在
∴
8．如图所示，BEF的顶点
AF，满足
（（
CEB ， BCE ∠∴=，ABCD 是矩形，
∴BC DAB ∠，ACB =∠，BCE ACB ∠∠+=∴即∴90FAD DAC ∠∠∴+=︒，
90DAB ∠=︒，
90BAC DAC ∠∠∴+=︒，
FAD BAC ∠∠∴=，
在Rt ABC 中，
tan
BC
BAC
AB
∠===，
30
BAC
∴∠=︒，
30
FAD
∠
∴=︒；
（2）
由（1）得9030
ABC BAC
∠∠
=︒=︒
，，
CEB，
AB
CE
，
3
1
3
，
3，
FAE中，
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得∠。