资金的等值计算

第一期期末投资A到n期期末的本利和为A（1＋i）n-1； 第二期期末投资A到n期期末的本利和为A（1＋i）n-2； 依次类推，第n-1期期末投资A到n期期末的本利和为A（1
＋i）；第n期期末的投资A到期末的本利和为A。所以，在 n期中，每期期末投资A，n期后的本利和为： F=A（1＋i）n-1（）＋A（1＋i）n-2＋…＋A（1＋i）＋A 即F=A[1+(1＋i)+＋…＋A（1＋i）n-2＋（1＋i）n-1] 两边同乘以（1+i） F（1＋i）=A[(1＋i)+＋…＋A（1＋i）n-1＋（1＋i）n] 两式相减得： F（1＋i）-F=A[（1+i）n-1]
利息率、利润率或收益率是一定时期
内的利息、利润或收益与投入资金的 比率，反应资金时间变化的增值率或 报酬率，这是衡量资金的时间价值的 相对尺度。
4、资金时间价值意义
项目的经济评价中，必须增强资金的时 间观念，考虑资金的时间价值，采用动 态分析方法将不同的费用或效益折算成 同一时点来进行比较。
5、资金时间价值计算方法
2、资金时间价值表现形式
一是资金投入生产或流通领域产生的增值 称为利润（Profit）或收益（Income）
二是把资金存入银行或向银行借贷所得到 或付出的增值额称为利息（Interest）
3、资金时间价值衡量尺度
利息、利润或收益是资金投入后在一定 时期内产生的增值，或者视为使用资金 的报酬，这是衡量资金的时间价值的绝 对尺度。
一般地说，将t＋k个时点上发生的资金 折现到第t个时点，所得的等值金额就是 t＋k个时点上的资金金额的现值。
常用P表示。
终值Future Value 与现值等价的将来某时点的资金值称为
“终值”
等年值 分期等额收支的资金值。
$4资金时间价值计算公式
针对不同类型的现金流量图归纳公 式，故公式一定要与图对应学习
评价：资金时间价值不完善，利息没转入记息 基数。如国库券
年份 1 2 3 ┇ N
年初借款 P P(1+i) P(1+2I)
P[1+(n-1)i]
年末利息 Pi Pi Pi ┇ Pi
年末本利和 P+Pi=P(1+i) P(1+i)+Pi=P(1+2i) P(1+2i)+Pi=P(1+3i) ┇ P[1+(n-1)i]+Pi=P(1+ni)
例如，年初的100元和年底的110元，在 单利10％的情况下是等值的。
2、算例——理解资金等值概念
[例2-1］投入生产的1000元资金，若年利率为 8％，试问10年后的等值资金为多少？15年后 的等值资金又为多少？
解：10年后的等值资金为：
F10＝P（1＋i）10＝1000（l＋0.08）10＝ 2158.92（元）
［例5］某钢铁企业引进1.7米轧钢机，总 投资额为38.9亿元，投资利润率为8％。 该设备每年利润为7.78亿元，利润全部 用于偿还投资，试求投资偿还年限。
对公式（13）整理，得偿还年限公式。
P=A［（1＋i）n-1］/［i（1＋i）n］
A［（1＋i）n-1］=Pi（1＋i）n
（1＋i）n=A/(A-Pi)=(1-Pi/A)-1
由公式(9)可直接求得：
F=3310万元
也可查复利系数表得（F／A，10％，3） ＝3.310，故得：
F＝A（F／A，i，n）＝1000（F／A， 10％，3）＝1000×3.310＝3310
（万元）
即投产时需一次还清本利和3310万元。
2、等额收付偿债基金公式
等额收付偿债基金公式是等额收付终值 公式的逆运算。由公式（9）变换后可直 接导出： A＝F[[i/1+i]n-1]]-----(11)
折成年末×（1+0.1）
3、等额收付现值公式
若在每年年末等额收付资金A，在利率为i 的条件下与之经济等值的现值为多少？ 其现金流量图如图2-6所示。将公式(9)代 入公式(8)，得
P=A[（1＋i）n-1]/[i（1＋i）n]_____(13)
当n趋于无穷大时，近似P=A/I。某些股票 用此公式计算价格。
解：由公式(11)可直接求得：
A＝F[i／[（1＋i）n-1]]＝ 5000×0.181=905万元
也可查复利系数表得（A／F，5％，5） ＝0.18096，故求得：F（A／，i，n）＝ 5000（A／F，5％，5）＝ 5000×0.18096≈905万元
即每年年末应等额存入银行905万元。
二、等额收付系列公式
1、等额收付终值公式
若每期期末支付同等的数额资金A，在 利率为i的情况下，n期后的未来值应该 是多少？其现金流量图如图2-4所示。
利用一次收付终值公式（6），分别计 算每期期末投资A到n期期末的本利和， 总和即为未来值F。
F=?
01 2 3
n-1 n
A 图 2—4 等额收付终值现金流量图
根据公式可直接求得：F＝P（1＋i） n=100（1＋10％）5＝161.05（万元）
可查复利系数表（见附表）得（F／P， 10％，5）=1.6105，得：F=P（F／P，i， n）＝161.05（万元），即第5年末一次 偿还银行本利和161.05万元
2、一次收付现值公式
问题刚好和一次收付终值相反，即在已知利率i 的条件下，要想在n期期未得到资金F，期初 应一次投入多少资金？其现金流量图如图2-3 所示。
一次收付现值公式为：P=F Nhomakorabea1/(1+i)n]=F(P/F,i,n)--------（8）
1／（1＋i）n：一次收付现值系数，并用符号 （F/P,i，n）表示，其系数值可查复利系数表
求得。
[例2]某企业拟在今后第5年年末能从银行取出 20万元购置一台设备，若年利率为10％，那么 现在应存入银行多少钱？
由公式（13）可直接求得： P＝2×6.1446＝12.2892（万元） 也可查复利系数表得（P／A，10％，10）＝
6.1446，故求得： P＝A（P／A，i，n）＝2（P／A，10％，10）＝
2×6.1446＝12.2892（万元）
计算表明，如果每年要等额收回本利和2万元， 10年总计收回20万元，那么在年利率为10％、复 利计息的条件下，则开始时的期初投资应为 12.2892万元。
15年后的等值资金为：
F15＝P（1＋i）15＝1000（1＋0.08）15＝ 3172.17（元）
3、几个概念
等值资金： 在利率一定的条件下，我们把不同时间 （时期、时点）上绝对数额不等，而经 济价值相等的若干资金，称为等值资金。
资金等值计算：
利用资金等值原理，我们可以把某一时 间点上的资金值，按照所给定的利率换 算为与之等值的另一时间点的资金值， 这一换算过程称为资金的等值计算。
式中［（1＋i）n-1］/［i（1＋i）n］称为 等额收付现值系数，也叫年金现值系数， 用符号（P／A，i，n）表示。此时公式 （13）可写成： P=A（P／A，i,n）___________（14）
用此公式不仅求现值，也可求n、I等。
［例4］某项目投资，要求连续10年内连本 带利全部收回，且每年年末等额收回本 利和为2万元，当年利率为10％，在复利 计息条件下，问开始时的期初投资是多 少？
② 复利法
核心：以本金与累计利息之和为基数计算 利息，即“利上加利” 本利和公式推导：
技术经济分析中时间价值一般采用复利 法，充分反应资金的时间价值
年份 年初借款
1P
2 P(1+i)
3 P(1+i)2
┇
N
┇P(1+i)n-1
年末利息 Pi P(1+i)i P(1+i)2i
┇P(1+i)n-1i
注意点：采用公式(9)和(11)进行复利计 算时，现金流分布必须符合图2-4与图25的形式，即连续的等额收付序列值A必 须发生在第1期期末至第n期期末，否则 必须进行一定的变换和换算。
例3：例1改为年初借款
[例1]某改扩建工程，每年初向银行借款 1000万元，3年投产，年利率为10％，复 利计息，问投产时一次还清借款本利多 少？
式中i／［（1＋i）n-1］称为等额收付偿债 基金系数，也叫基金存储系数
（Sinking－Fund Deposit Factor），用符号 （A／F，i，n）表示。这样式（11）又 可写成：
A＝F（A／F，i，n）-----(12)
这是已知F、i、n，求A。其现金流量图如 图2-5所示。
[例2]某工厂计划自筹资金于5年后新建 一个基本生产车间，预计需要投资5000 万元。若年利率为5％，在复利计息条件 下，从现在起每年年末应等额存入银行 多少钱？
一、一次收付终值和现值公式
含义：一次收付又称整收整付，是指所分 析系统的现金流量，无论是流入还是流 出，均在一个时间点上发生。 （现金流 量图类型）
1、一次收付终值公式
假设有一笔资金P，按年利率i进行投资，n年 后的本利和F（即终值）应该是多少？其现金 流量图如图2-2所示。
根据复利法计算公式（2-3），一次收付终值 公式为：
折现（贴现Discount ）：
把将来某一时间点上的资金值换算成现 在时间点上的等值资金值 。
折现率Discount Rate ：进行资金等值计 算中使用的反映资金时间价值的参数叫 折现率 。（如利率、收益率）
现值Present Value
“现值”并非专指一笔资金“现在”的 价值，它是一个相对的概念。
名义利率= 一个计息周期的利率*每年计息周 期次数 名义利率和实际利率公式推倒： 有效年利率（实际）i＝（1+r/m）m-1 设：名义利率r，实际利率i，一年中计息次数 m，本金P。
例：年名义利率为24%时，当计息周期分别为 年、半年、季、月、连续时的年实际利率。
$3 资金等值
1、概念 在考虑资金时间价值的情况下，绝对值 数额不等的若干资金，在不同的时间， 可能具有相同的经济价值。
资金的等值计算
$1资金的时间价值
引例：
资金价值会随时间变化；变化原因：资 金增殖、通货膨胀、个人储蓄
资金的时间价值
Time Value of Money
概念
资金随时间的变化而引起的价值量的变 化，称为资金的时间价值.
如： 某项目投资100万元，建成投产后，每年
可得利润20万元，即为100万元在特定生 产经营活动中所产生的时间价值。
F＝P（1＋i）n-------（6）
（1＋i）n：一次收付终值系数，记为
（F/P,i,n）。斜线右下方的符号表示已知因素， 斜线左上方符号表示欲求因素。这样上式可以 写成：
F＝P（F／P，i，n）-------（7）
[例1]某工程项目需要投资，现在向银行借 款100万元，年利率为10％，借款期5年， 一次还清。问第5年末一次偿还银行本利 和是多少？
即：F=A[[1+i]n-1]/i]_____________(9)
[[1+i]n-1]/i]称为等额收付终值系数
Uniform-Series Compound Amount Factor，用 符号（F/A，i，n）表示。这样可进一步写 成：
F＝A（F/A，i，n）-------（10）
[例1]某改扩建工程，每年末向银行借款 1000万元，3年投产，年利率为10％，复 利计息，问投产时一次还清借款本利多 少？
年末本利和
P+Pi=P(1+i) P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2 P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)3 ┇ P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i=P(1+i)n
2、利息率
（1）概念 简称利率，是一定时期内利息总额与本 金的比率 。 资金价格：国家的一种宏观调控手段。
和银行利息计算方法一样，放利息计算中 讲。
$2 利息和利率
1、利息 （1）概念
贷款人向借款人让渡资金使用权而得 到的一种报酬。
① 单利法
核心：以借款本金为基数计息，不论计息期数多 少，利息不再生息。 本利和公式推导：
P-为本金， n-为计息期数（通常为年） i-代表利率， I代表所付或所收的总利息， F代表本利和
（2）不同计息周期利率换算问题
年利率÷12=月利率 年利率÷360＝日利率 月利率÷30=日利率 月利率×12=年利率
例：1）按月记息，月利1%——年利12%，每月 记息一次
2）按年记息，年利12%——年利12%，每年 记息一次 如果本金1000元，求在单、复利计算下一年后各 自的本息和。
3、名义利率和实际利率（年利）