数学本讲测评：第二讲直线与圆的位置关系2

本讲知识结构
本讲测试
1如图2—1，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点,CD⊥AB 于D ，若BC=3，AC=4,则AD∶CD∶BD 等于（ )
图2-1
A.4∶6∶3 B 。

6∶4∶3 C.4∶4∶3 D 。

16∶12∶9
思路解析:由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC 2=AD·AB，于是AD=5
16。

同理，BD=5
9，CD=5
12，据此即得三条线段的比值。

答案:D
2如图2-2,在半圆O 中，AB 为直径,CD⊥AB，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，则图中相似三角形一共有( )
图2-2
A.3对 B 。

4对 C.5对 D 。

6对
思路解析:由题设，△ABC 是直角三角形,CD⊥AB ，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对。

又AF 平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似。

答案:C
3如图2—3，在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，且AD=DC,则sin∠ACO 等于（ ） A.
10
10
B 。

10
2 C 。

5
5 D 。

4
2
图2-3
思路解析：连结BD 、DO,过O 作OE⊥AC 于E,由AB 为直径,有BD⊥AC,由△ABC 是直角三角形，AD=CD,得△ABC 是等腰直角三角形，然后设AE=x,用x 表示出CE ，进一步表示出OC,利用三角函数定义即可得到所求的值.
答案:A
4如图2—4是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度。

如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移___________米（π取3.14,结果精确到0。

01米）。

图2-4
思路解析:计算出内外跑道的长度差即可. 答案：3.83
5如图2-5，已知△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于F ，交△ABC 的外接圆于E,ED 切圆于E ，交BC 的延长线于D 。

求证：AE 2=AF·DE。

思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形，所以利用平行将AE 换成EC,根据△AFE∽△ECD，得到比例式，再换回线段即可.
证明：连结EC.∵四边形ABCE 内接于⊙O, ∴∠7=∠3＋∠5。

又∵∠5=∠2，∠2=∠1， ∴∠7=∠3＋∠1。

∵∠4=∠3＋∠1，∴∠7=∠4。

∵DE 切⊙O 于E ，EC 为弦， ∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD。

∴EC
AF DE
AE ,即AE·EC=DE·AF。

∵∠1=∠2,∴=。

∴AE=EC。

∴AE2=DE·AF。

6如图2-6所示，已知AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且=,过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O 的切线.
图2-6
思路分析：要证DE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，连结OD，只需证明OD⊥DE即可,即“作半径,证垂直”,这是证明圆的切线的另一方法。

证明：连结OD、AD.
∵=,∴∠1=∠2.
∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3。

∴AE∥OD.
∵AE⊥DE，∴OD⊥DE。

∴DE是⊙O的切线.
7如图2-7，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC 于D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

图2—7
求证：（1)DE⊥AC；
（2）BD 2=CE·CA.
思路分析：本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线作法是解题关键,即连结圆心和切点的半径,根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线.
证明:(1)连结OD 、AD.
∵DE 是⊙O 的切线，D 为切点, ∴OD⊥DE。

∵AB 是⊙O 的直径，
∴AD⊥BC.∴AB=AC，BD=DC. ∴OD∥AC，DE⊥AC. （2)∵AD⊥BC,DE⊥AC, ∴△CDE∽△CAD.
∴CD
CE CA
CD =。

∴CD 2=CE·CA。

∴BD=DC。

∴BD 2=CE·CA.
8如图2—8，已知⊙O 和⊙O′都经过A 、B 两点,AC 是⊙O′的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O 的切线，交⊙O′于点D 。

求证：AB 2=BC·BD。

图2-8
思路分析：欲证AB 2=BC·BD ，即要证
AB
BD
BC AB =,于是只要证
△ABD∽△ABC 即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证。

证明:∵AC 是⊙O′的切线,轻轻告诉你
AD 是⊙O 的切线，∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D。

∴△ABD∽△CBA.
∴AB
BD BC
AB =，即AB 2=BC·BD.
9如图2-9,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下水面宽度AB 为7.2米,桥的最高点处点C 高出水面2.4米。

现有一艘宽3米,船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由。

图2-9
思路分析：求出图中NF 的长，只要NF 的长超过2米即可. 解:由垂径定理可知OP=1。

5米，OC=1.5+2。

4=3.9米,
由OQ NQ
PQ QF =可得25
.225.29.35.122++-=-PQ PQ PQ PQ ,
解得PQ=8
5,所以QF=8
7.因为PQ
QF PO
NF =,所以NF=2.1＞2，
即这艘船能顺利通过这座拱桥。