高考数学一轮复习第2单元函数、导数及其应用听课学案

第二单元函数、导数及其应用
第4讲函数概念及其表示
课前双击巩固
1.函数与映射的概念
2.函数的三要素
函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.
3.函数的表示法
函数的常用表示方法:、、.
4.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
常用结论
1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.
(5)y=tan x的定义域为.
(6)函数f(x)=xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为;当a<0时,值域为.
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.
题组一常识题
1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)
①y=±;②y2=x-1;③y=+;④y=x2-2(x∈N).
2.[教材改编]已知函数f(x)=若f[f(e)]=2a,则实数a= .
3.[教材改编]函数f(x)=的定义域是.
4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.
题组二常错题
◆索引:对函数概念理解不透彻;对分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻.
5.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的
是.(填序号)
①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=.
6.设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围
为.
7.已知f()=x-1,则f(x)= .
8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.
课堂考点探究
探究点一函数的定义域
考向1求给定函数解析式的定义域
1 (1)[2017·洛阳调研]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=e ln x的定义域和值域相同的是()
A.y=x
B.y=ln x
C.y=
D.y=10x
(2)[2017·揭阳二模]函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为()
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.[-1,2)
D.[-1,2]
[总结反思] 已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.
考向2求抽象函数的定义域
2 (1)若函数y=f(x)的定义域为[-1,1),则函数y=f(x2-3)的定义域为. (2)已知f(2x)的定义域是[-1,2],则f(log2x)的定义域为.
[总结反思] (1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域;(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
考向3已知定义域求参数范围
3 (1)设f(x)的定义域为[0,1],要使函数f(x-a)+f(x+a)有定义,则a的取值范围为
()
A.
B.
C.
D.∪
(2)已知函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是. [总结反思] 根据函数的定义域,将问题转化为含参数的不等式(组),进而求解参数范围.强化演练
1.【考向2】已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是()
A.B.[-1,4]
C. D.[-5,5]
2.【考向2】若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=的定义域是()
A.[0,1)
B.[0,1]
C.[0,1)∪(1,4]
D.(0,1)
3.【考向1】[2017·江西重点中学盟校联考]函数y=ln1++的定义域
为.
4.【考向3】函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是.
5.【考向3】记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为
B.若B⊆A,则实数a的取值范围为.
探究点二函数的解析式
4 (1)已知f=ln x,则f(x)= .
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=5,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)= .
(3)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=3·f+1,则f(x)= .
[总结反思] 求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法:已知关于f(x)与f(或f(-x))的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
(4)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
式题 (1)已知f(+1)=x+2,则f(x)= .
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x<0时,f(x)= .
(3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则
f(x)= .
探究点三分段函数
考向1分段函数的函数求值问题
5 (1)[2017·河南新乡二模]已知函数f(x)=则f[f(-1)]= .
(2)[2017·抚州七校联考]设函数f(x)=则f(3)+f(4)= .
[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系,对于复合函数的求值问题,应由里到外地依次求值.
考向2分段函数的自变量求值问题
6 [2017·湘潭一中、长沙一中等六校联考]已知f(x)=若f(a)=2,则a的取值为()
A.2
B.-1或2
C.±1或2
D.1或2
[总结反思] 与分段函数有关的自变量的求值问题,求解关键是分类讨论思想的应用.
考向3分段函数与方程、不等式问题
7 (1)已知函数f(x)=若f(a)>,则实数a的取值范围是()
A.(-1,0)∪(,+∞)
B.(-1,)
C.(-1,0)∪
D.
(2)[2017·渭南二模]设f(x)=若f[f(4)]=,则a= .
[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式与方程问题,主要表现为解不等式(或方程).若自变量取值不确定,则要分类讨论求解;若自变量取值确定,则只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.
强化演练
1.【考向1】[2017·桂林中学三模]已知函数f(x)=则f(2+log32)的值为()
A.-
B.
C. D.-54
2.【考向1】已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足f(0)=2,f(-1)=3,则f[f(-3)]=
()
A.-3
B.-2
C.3
D.2
3.【考向2】[2017·石家庄二中三模]已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则
a=()
A.-2
B.-1
C.-1或-
D.2
4.【考向3】已知函数f(x)=则满足f(a)≥2的实数a的取值范围是
()
A.(-∞,-2)∪(0,+∞)
B.(-1,0)
C.(-2,0)
D.(-∞,-1]∪[0,+∞)
5.【考向3】设函数f(x)=则满足f[f(a)]=2f(a)的a的取值范围是()
A .B.[0,1]
C .D.[1,+∞)
第5讲函数的单调性与最值
课前双击巩固
1.单调函数的定义
自左向右看图像是
2.单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫作函数y=f(x)的单调区间.
3.函数的最值
常用结论
1.复合函数的单调性
函数y=f (u ),u=φ(x ),在函数y=f [φ(x )]的定义域上,如果y=f (u ),u=φ(x )的单调性相同,则y=f [φ(x )]单调递增;如果y=f (u ),u=φ(x )的单调性相反,则y=f [φ(x )]单调递减. 2.单调性定义的等价形式 设任意x 1,x 2∈[a ,b ],x 1≠x 2.
(1)若有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0或>0,则f (x )在闭区间[a ,b ]上是增函数.
(2)若有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0或<0,则f (x )在闭区间[a ,b ]上是减函数.
3.函数单调性的常用结论
(1)若
f (x ),
g (x )均为区间A 上的增(减)函数,则f (x )+g (x )也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf (x )与f (x )单调性相同,若k<0,则kf (x )与f (x )单调性相反.
(3)函数y=f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y=-f (x ),y=的单调性相反.
(4)函数y=f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f (x )=(2a-1)x-3是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .
2.[教材改编] 函数f (x )=(x-2)2
+5(x ∈[-3,3])的单调递增区间是 ;单调递减区间是 .
3.[教材改编]函数f(x)=(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.
4.函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.
题组二常错题
◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.
5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.
6.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围为.
7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围
是.
8.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围
是.
(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为.
课堂考点探究
探究点一函数单调性的判断与证明
1 判断函数f(x)=(a>0),x∈(-1,1)的单调性,并加以证明.
[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差
f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(2)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
式题 [2017·南阳一中月考]下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是()
A.y=-x2+1
B.y=|x-1|
C.y=x3
D.y=2-x
探究点二求函数的单调区间
2 (1)[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()
A.(-∞,-2)
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.
[总结反思] 求函数单调区间的常见方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)导数法.
求复合函数单调区间的一般解题步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.
式题 (1) 函数y=的单调递增区间为()
A.(1,+∞)
B.
C.D.
(2)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是. 探究点三函数单调性的应用
考向1利用函数的单调性比较大小
3 (1)[2017·吉林实验中学二模]设a=log52,b=,c=log73,则a,b,c的大小关系是
()
A.b>a>c
B.a>c>b
C.b>c>a
D.a>b>c
(2)[2017·达州二诊]已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意x∈
(0,+∞),f[f(x)-ln x]=e+1,设a=f,b=f,c=f(log2π),则a,b,c的大小关系
是.(用“>”号连接表示)
[总结反思] 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
考向2利用函数的单调性解决不等式问题
4 (1)已知函数f的定义域为R,对任意x1<x2,都有f-f<x1-x2,且f=-4,则不等式f>lo|3x-1|-1的解集为()
A.
B.
C.∪
D.∪
(2)[2017·云南师大附中月考]已知函数f(x)=e x+x3,若f(x2)<f(3x-2),则实数x的取值范围是.
[总结反思] 解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.
考向3利用函数的单调性求最值问题
5 设函数f(x)=+2016sin x,x∈-,的最大值为M,最小值为N,那么
M+N= .
[总结反思] 若函数在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.
考向4利用函数的单调性求参数
6 [2017·南充三模]已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a
的取值范围是()
A.(0,3)
B.(1,3)
C.(1,+∞)
D.
[总结反思] (1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.
强化演练
1.【考向1】已知函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0成立.若a=f(log47),b=f(log23),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是()
A.c<b<a
B.b<a<c
C.b<c<a
D.a<b<c
2.【考向2】已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是.
3.【考向3】[2017·青岛一模]已知函数f(x)=则函数f(x)的最大值
是.
4.【考向4】若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.
5.【考向4】[2017·武汉调研]若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则实数a 的取值范围为.
第6讲函数的奇偶性与周期性
课前双击巩固
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都
有,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫作f(x)的最小正周期.
常用结论
1.奇(偶)函数定义的等价形式
(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1⇔f(x)为偶函数;
(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1⇔f(x)为奇函数.
2.对f(x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期为T
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=,则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.
3.函数图像的对称关系
(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=对称;
(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点对称.
题组一常识题
1.[教材改编]函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=+|x|中,偶函数的个数
是.
2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是函数.
3.[教材改编]已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=-1,则f(-2)= .
4.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=log4(x2+3),则
f(2017)= .
题组二常错题
◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;性质应用不熟练,找不到解题方法;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.
5.函数f(x)=是(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数.
6.具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.有下列函
数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=其中满足“倒负”变换的函数
是.(填序号)
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f,且f(1)=2,则f(2017)= .
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+4x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=.
课堂考点探究
探究点一函数奇偶性的判断
1 (1)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
(2)下列函数奇偶性的判断,正确的是()
①f(x)=+;②f(x)=;
③f(x)=
A.①是奇函数,②是奇函数,③是偶函数
B.①是偶函数,②是奇函数,③是偶函数
C.①既是奇函数又是偶函数,②是奇函数,③是奇函数
D.①既是奇函数又是偶函数,②是偶函数,③是偶函数
[总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0 (偶函数)是否成立.
式题 (1)[2017·衡水中学三调]已知函数f(x)=,g(x)=,则下列结论正确的是
()
A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数
B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数
C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数
D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数
(2)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是()
A.f(x)=x+sin 2x
B.f(x)=x2-cos x
C.f(x)=3x-
D.f(x)=x2+tan x
探究点二函数的周期性
2 (1)已知函数f(x)满足f x-=f x+,当x∈0,时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)
在区间(0,6]上的零点个数是()
A.3
B.4
C.5
D.6
(2) [2017·芜湖二模]已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=2-,且对任意的x都有
f(x+2)=,则f(2018)=()
A.-2-
B.-2+
C.2-
D.2+
[总结反思] (1)只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合考查.
(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
式题已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,当x∈(1,4]时,f(x)=3x-1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)= .
探究点三函数性质的综合应用
考向1奇偶性的应用
3 (1)[2017·福建四地六校联考]设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则
f(-)=()
A.-
B.
C.2
D.-2
(2)[2017·许昌二模]已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()
A.0
B.2
C.4
D.8
[总结反思] 利用函数的奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得出方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.
(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值和为零可求一些特殊结构的函数值.
考向2奇偶性与单调性
4 (1)已知f(x)是奇函数,并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是()
A. B.
C.-
D.-
(2)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则满足f(a-2)>0的实数a的取值范围为()
A.(2,+∞)
B.(4,+∞)
C.(0,4)
D.(-∞,0)∪(4,+∞)
[总结反思] (1)利用偶函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相同,可以把函数不等式化为一般的不等式;(2)注意偶函数性质
f(x)=f(|x|)的应用.
考向3奇偶性与周期性
5 (1)[2017·广州花都区二模]已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且
f(1)=1,则f(2016)+f(2017)=()
A.-2
B.1
C.0
D.-1
(2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin |x|在[-10,10]内的根的个数为.
[总结反思] 利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.
考向4奇偶性﹑周期性与单调性
6 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在下列哪个区间上单调递减()
A.[3,7]
B.[4,5]
C.[5,8]
D.[6,10]
(2)[2017·哈尔滨六中二模]定义在R上的奇函数f(x)满足f x+=f(x),当x∈0,
时,f(x)=lo(1-x),则f(x)在区间1,内是()
A.减函数且f(x)>0
B.减函数且f(x)<0
C.增函数且f(x)>0
D.增函数且f(x)<0
[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.
强化演练
1.【考向1】[2018·济南外国语学校月考]已知函数y=f(x),满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=()
A. B.
C.π
D.
2.【考向2】[2017·大连二模]已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(ln x)<f(2),则x的取值范围是()
A.(0,e2)
B.(e-2,+∞)
C.(e2,+∞)
D.(e-2,e2)
3.【考向4】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()
A.f(-25)<f(11)<f(80)
B.f(80)<f(11)<f(-25)
C.f(11)<f(80)<f(-25)
D.f(-25)<f(80)<f(11)
4.【考向3】设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f= .
5.【考向3】[2017·武汉模拟]设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条
件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1.则
f+f(1)+f+f(2)+f= .
第7讲二次函数与幂函数
课前双击巩固
1.二次函数的图像和性质
上单调递增上单调递减
2.幂函数
(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较
常用结论
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.
(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.
题组一常识题
1.[教材改编]若函数f(x)=4x2-kx-8在上是单调函数,则实数k的取值范围
是.
2.[教材改编]已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),则函数f(x)= .
3.[教材改编]已知f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是.
4.[教材改编]若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b= .
题组二常错题
◆索引:图像特征把握不准出错;二次函数的单调性理解不到位;幂函数的图像掌握不到位.
5.如图2-7-1,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图像是(填序号).
图2-7-1
6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)(填“>”“<”或“=”)0.
7.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是.
8.已知当x∈时,函数y=x p的图像在直线y=x的上方,则p的取值范围是.
课堂考点探究
探究点一幂函数的图像和性质
1 (1)若幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像大致是()
图2-7-2
(2)[2017·南阳一中月考]已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈
(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.若a,b∈R且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值()
A.恒大于0
B.恒小于0
C.等于0
D.无法判断
[总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
式题幂函数的图像经过点2,,则它的单调递增区间是()
A.(0,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(-∞,0)
探究点二二次函数的解析式
2 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= .
(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)= .
[总结反思] 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图像与x轴两交点的坐标,宜选用零点式.
式题 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则
f(x)= .
(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为f(x)= .
探究点三二次函数的图像与性质
考向1二次函数的单调性问题
3 (1)[2017·安徽江淮十校三模]函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()
A.f(b x)≤f(c x)
B.f(b x)≥f(c x)
C.f(b x)>f(c x)
D.与x有关,不确定
(2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是()
A.(-∞,0]
B.[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)
D.[0,2]
[总结反思] (1)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解;(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.
考向2二次函数的最值问题
4 已知函数f(x)=ax2-2x(a>0),求函数f(x)在区间[0,2]上的最小值.
[总结反思] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分类讨论求解.
考向3二次函数中的恒成立问题
5 (1)[2017·仙桃中学月考]已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为.
(2)函数f(x)=a2x+3a x-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值
为.
[总结反思] 二次函数中恒成立问题的解题关键是根据二次函数的对称性、单调性等得出关于参数的不等式,进而求得参数范围.
强化演练
1.【考向1】函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为()
A.-3
B.13
C.7
D.5
2.【考向2】若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为
()
A. [-3,3]
B.[-1,3]
C.{-3,3}
D.{-1,-3,3}
3.【考向2】[2017·皖北联考]若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a 的值为.
4.【考向3】已知函数y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x ∈-2,
-时,n≤f(x)
≤m恒成立,则m-n的最小值为.
5.【考向3】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为.
第8讲指数与指数函数
课前双击巩固
1.根式
x=±,
记作=
叫作
,
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*且n>1).
②正数的负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*且n>1).
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.
(2)有理数指数幂的性质
①a r a s= (a>0,r,s∈Q);
② (a r)s= (a>0,r,s∈Q);
③ (ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图像与性质
常用结论
1.指数函数y=a x+b(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1+b).
2.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图像以x轴为渐近线.
题组一常识题
1.[教材改编]若x+x-1=3,则x2-x-2= .
2.[教材改编]已知2x-1<23-x,则x的取值范围是.
3.[教材改编]函数y=a x-1+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点.
4.[教材改编]下列所给函数中值域为(0,+∞)的是.(填序号)
①y=-5x,②y=,③y=,④y=.
题组二常错题
◆索引:忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况.
5.计算+= .
6.若函数f(x)=(a2-3)·a x为指数函数,则a= .
7.若函数f(x)=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= .
8.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)满足f(1-x)=f(1+x),则f(2x)与f(3x)的大小关系
是.
课堂考点探究
探究点一指数幂的化简与求值
1 (1)[2017·兰州铁一中月考]已知a-=3(a>0),则a2+a+a-2+a-1的值为()
A.13-
B.11-
C.13+
D.11+
(2)计算0.02+2560.75--72= .
[总结反思] 指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
式题 (1)计算:×2+3π0= .
(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则= .
探究点二指数函数的图像及应用
2 (1)函数y=1-e|x|的图像大致是()
图2-8-1
(2)[2017·天津河西区二模]已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有
()
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b>0,c>0
C.2-a<2c
D.1<2a+2c<2
[总结反思] (1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊
点:(1,a),(0,1),-1,.
(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.
式题 (1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a x(a>0且a≠1)与y=(1-a)x的图像可能是()
图2-8-2
(2)已知函数y=的图像与指数函数y=a x的图像关于y轴对称,则实数a的值为()
A.1
B.2
C.4
D.8
探究点三指数函数的性质及应用
考向1比较指数式的大小
3 (1)[2017·遂宁三诊]已知a=,b=,c=2,则()
A.b<a<c
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
(2)若-1<a<0,则3a,,a3的大小关系是(用“>”连接).
[总结反思] 指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小.
考向2解简单的指数方程或不等式
4 (1)已知函数f(x)=则不等式f(x)<f的解集是.
(2)方程4x+|1-2x|=11的解为.
[总结反思] (1)a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x).(2)a f(x)>a g(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).
考向3指数函数性质的综合问题
5 (1)函数f(x)=a+(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点ln 3,,则函数f(x)的值域为
()
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-3,3)
D.(-4,4)
(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈时恒成立,则实数a的取值范围是.
[总结反思] 指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化.
强化演练
1.【考向1】[2017·南昌一模]已知a=,b=,c=,则()
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<c<a
2.【考向2】若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()
A.(-∞,+∞)
B.(-2,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-1,+∞)
3.【考向2】已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值
为.
4.【考向2】若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集
为.
5.【考向3】已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数m的取值范围为.
第9讲对数与对数函数
课前双击巩固。